(完整版)平面向量知识归纳和题型总结材料

平面向量

章节分析:

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.

向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.

对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.

平面向量的概念、几何运算和基本定理

1.向量的相关概念

2.向量的线性运算

3.向量的共线定理 非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。

延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ⇔⇔当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ

4.平面向量的基本定理

如果12,e e 是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ,其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+,

①若a b =当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==.

（2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC =，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。若OC OB OA =λ+μ，求,λμ的值。

5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+.

练习:设ABC ∆的重心为点G ,设,.AB a AC b ==试用,a b 表示AG .

典型例题分析:

知识点一:基本概念

例1.

1.如果12,e e 是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )

①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成12+e e λμ(,λμ∈R )。

②对于平面α中的任一向量a 使12=+a e e λμ的λ,μ有无数多对;

③若向量1112+e e λμ与2122+e e λμ共线,则有且只有一个k R ∈,21221112()k +=+e e e e λμλμ ④若实数λ,μ使12+=e e λμ0,则0λμ==.

A.①②

B.②③

C.③④

D.②

练习:1) 判断下列命题的真假

(1)向量AB 与向量CD 为共线向量,则D C B A ,,,四点共线.

(2)若=AB CD 则四边形ABCD 为平行四边形.

(3)若向量a b ∥,b c 则a c .

(4),a b 是两个向量,则||||||a b a b +<+当且仅当,a b 不共线时成立

知识点二:向量的线性运算

例1. 化简:

(1);AB BC CA ++ (2)();AB MB BO OM +++ (3);OA OC BO CO +++

(4);AB AC BD CD -+- (5);OA OD AD -+ (6);AB AD DC --

(7).NQ QP MN MP ++-

例 2.如图,四边形ABCD ,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,求证:2AB DC EF +=.

练习:（1)已知ABC △三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,若PA PB PC AB ++=,则 ( )

A .P 在ABC △内部

B .P 在AB

C △外部 C .P 在AB 边所在直线上

D .P 在线段BC 上

(2)设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点,则OA OB OC OD +++=

. .2 C.3OM D.4AOM B OM OM

知识点三:平面向量基本定理和共线定理

例1.1）已知12,e e 为不共线向量,1232,a e e =-122,b e e =-+1274c e e =-用,a b 表示c .

2) 设1e ,2e 是两个不共线的向量,已知122AB e ke =+,1223CB e e =+,122CD e e =-若A ,B ,D 三点共线,求k 的值.

例2. 证明:平面内三点,,A B C 共线⇔存在两个均不为0的实数,m n ,

使,OA mOB nOC =+且 1.m n +=

练习: 证明:平面内三点,,A B C 共线⇔存在三个均不为0的实数,,l m n ,

使0,lOA mOB nOC ++=且0.l m n ++=

向量数量积及坐标运算

一、基本知识回顾:

1、已知向量,,a b 其中1122(,),(,)a x y b x y ==:向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在向量坐标表示或运算1(a b x x ±=±与向量a 的积是一个向量记作λa 11(,)a x y λ=λa b ⋅=cos ,a b a b <>

数量积a b ⋅ a b ⋅=21x x 存在唯一的实数，λ使a b =λ

（0b ≠） 向量//a b (0)b ≠

2121y y x x ⇒=⇒0a b ⋅= 向量a b ⊥

2121+y y x x a =2a (22a a =)

向量的模a a =21x +cos ,a b <>=a b a b ⋅ 向量夹角 11cos ,a b x y x <>=+//AB BC ⇔BC AB λ=

C ,三点共线 ,OA xOB yOC x =++且练习:

1、 判断下列命题的真假 1）若向量//a b ,//b c ,则//a c . 2）若,a b b c ⋅=⋅则a c =

3）()(),a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 4）22

2()2a b a a b b ±=±⋅+

5）a b a b =⇔= 6）00,00a a ⋅=⋅=

2、已知(4,2),(,3)a b x ==.若//a b ,则=x ;若a b ⊥,则=x .

3、已知),3,7(),1,4(-B A 则与AB 同向的单位向量是 ,与AB 平行的单位向量是 .

4、已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =,若3AB a =,则点B 的坐标为

5、已知(5,5),(6,3)a b =-=--,(1,8)c =,若a mb nc =+,求实数.,n m

6、已知(1,0),(2,1)a b ==,则|3|a b +=

7）下列各组向量中,可以作为平面基底的是（ ）

A.12(0,0),(2,1)e e ==-

B. 12(4,6),(6,9)e e ==