n元线性方程组

分析：因P、Q可逆，由初等矩阵定理，PAQ与A等价。 推论：若B可逆，则R(BA)=R(A)（或R(AB)=R(A)） 分析：在上述推论中，只要令P=B，Q=E即可（或P=E，Q=B）
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
2.不等式（大小比较）运算 1） 0 R( Am×n ) min{m,n}.
分析：由定义，最大k阶子式是行列式，小于m、n 2）部分的秩小于整体的秩 Max{R(A), R(B)} R(A、B)
(1) 矩阵 A 初等行变换 行阶梯形矩阵B;
(2) R(A) = 矩阵 B 非零行的行数.
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
0 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
例：求
矩 阵A
0
1
1
0
0
1
的
秩
0 2 2 0 0 1
0 1 1 2 2 2
分析：首先互换1、2行，第2步，用第一行把第2行以后的第2 列元素变成0，按照上三角形依次做下去
(iii) 有无穷多解的充要条件是 R (A) =R (A , b)< n. 证明: 设 R(A) = r, 增广矩阵 B = ( A ,b ) 的行最简形为:
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
(i) 若 R(A) < R(B), Q dr+1 = 1 0, 得矛盾方程 0=1.
所以(4)无解.
(ii) 若 R(A) =R(B)=n, dr+1 = 0, (或 dr+1不出现)
同时 bij 也不出现 此时方程的个数m大于等于元的个数
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
其对应的方程组为:
x1 d1
x2 L
d L
2
xn dn
故方程(4)有唯一解.
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
(iii) 若 R(A) =R(B) =r < n, dr+1 = 0 (或 dr+1不出现)
x1 b11 xr1 L b1,nr xn d1
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
一、矩阵的秩
1.定义 设在矩阵 A 中有一个不等于0的 r 阶子式D，且所有的 r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D 称为矩阵A的 最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R(A) .
2.秩的性质:初等变换秩不变. 定理 若A~B, 则 R(A) = R(B).
根据初等变换秩不变原则：R( A B, B) R( A, B) 又根据部分的秩小于整体的秩的性质和第一个不等式
R(A B) R(A B, B)＝R(A，B) R(A) R(B)
4）积的秩最小：R( AB) min[ R( A), R(B)]
该不等式下一节有专门证明
系统不等式部分，可得如下连续不等式：
A或B与R( A, B)相比，A的k阶子式总是( A, B)的k阶 子式，故R( A) R( A, B),同理：R(B) R( A, B),所以有：
max{R( A), R(B)} R( A, B) 3）合（并）的秩小于秩的合（并）。即：
R( A, B) R( A) R(B)； R( A B) R( A) R(B)
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
A
~
0
1
1
0
0
1
~
0
0
0
1
1
2
0 2 2 0 0 1 0 0 0 2 2 3
0
1
1
2
2
2
0
0
0
1
1
1
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
(3)
向量方程为: Ax = b
(4)
若线性方程组有解,称为是相容的,若无解,称为不相容. 1.线性方程组秩的解法定理
第八讲：矩阵的秩与二三章总结 定理: n元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是 R(A) < R (A , b);
(ii) 有唯一解的充要条件是 R(A) = R( A , b)= n;
二、矩阵的秩的基本运算: 1.等式（不变）运算
1）R( AT ) R( A) 分析：由定义A的子式也是AT的子式，反之亦然
2） 若A~B, 则 R(A) = R(B); R(A) = R (kA).
分析：由于初等变换不改变子式非零的特性，由定理， 显然初等变换秩不变。
3） 若 P,Q 可逆, 则: R(PAQ) = R(A).
～
0
0
0
0
0
1
~
0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
所以：R（A)＝3
5.满秩定义
对于n 阶可逆矩阵A，因 A 0，知A的最高阶非零子式为 A，
RA n 所以 A 的秩等于它的阶数，故可逆矩阵
又称满秩矩阵而奇异矩阵又称降秩矩阵。
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
其对应的方程组为
x2
b21 xr1
L
b2,nr xn d2
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
(5)
xr br1 xr1 L br,nr xn dr
令自由未知数 xr1 c1 , xr2 c2 ,L xn cnr
第八讲Baidu Nhomakorabea矩阵的秩与二三章总结
证：先看第一个不等式：设R( A) r1, R(B) r2.
Ar1 Ar1
则( A, B)T
AT BT
~
0
Br2 0
~
Br2 0
0
R( A, B)
R( A, B)T
R
AT BT
r1
r2
R( A)
R(B)
R(A + B) R(A) + R(B).
再看第二个不等式：设A、B均为m n阶矩阵，则A B
也为m n阶矩阵。考查矩阵( A B, B).该矩阵从n 1列开始，
往 后 每 一 列 均 是B的 元 素 。 前n列 的 每 一 列 含 有B的 元 素 。
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
第n 1列元素乘 1加到第1列， 第n i列乘 1加到第i列 i 1,2, n.则前n列A B中B的元素全部减为0，只剩下A 的元素，即： ( A B, B) ~ ( A, B)
R(AB) minR(A), R(B) maxR(A), R(B) R(A, B) R(A) R(B)
5)若AmnBnl O,则R( A) R(B) n(下一章相关性以后可证明)
第八讲：矩阵的秩与二三章总结
三、 秩的应用——线性方程组秩的解法 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组，