常微分方程练习试卷及答案
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常微分方程练习试卷
一、填空题。
1. 方程23
210d x
x dt
+=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程
()x dy
f xy y dx
=经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d y
y x dx
--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.
4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x
y x e e xe =++,则此方程的系数
α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的
条件.
6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .
7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = .
8. 方程组20'05⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.
10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.
11.方程
的待定特解可取 的形式:
12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是
二、计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.
2.求解方程13
dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程22
2()0d x dx x dt dt
+= 。
4.用比较系数法解方程.
.
5.求方程 sin y y x '=+的通解.
6.验证微分方程22
(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.
7.设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dt dX
=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程
2213dy
x y dx
=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.
9.求 的通解
试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
并求expAt 10.若
三、证明题
1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ.
2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程
]
,[,,
])([)(0200
βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y x
x
的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ϕψ≡.
3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程
的一个基本解组. 试证明:
(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和
没有共同的零点.
4.试证:如果)(t ϕ是AX dt
dX
=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解,那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .
2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=
答案
一.填空题。
1. 二,非线性
2.u
xy =,
11
(()1)du dx u f u x
=+ 3.无穷多 4.3,2,1αβγ=-==-
5.必要
6.3
y
7.1()()t t -'ΦΦ 8. 25 00t
At
t e e e ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
9.
10.
11.
12. 1,
二、计算题
1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解: 设曲线方程为 , 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为
, 则由题意
可得如下初值问题:
.
分离变量, 积分并整理后可得 .
代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为
.
2.求解方程13
dy x y dx x y +-=-+. 解:由10,
30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 求得1,2x
y =-= 令 1,
2,
x y ξη=-⎧⎨
=+⎩
则有
.d d ηξηξξη+=-令z ηξ=,解得2
(1)1z dz d z ξξ-=+,积分得21
arctan ln(1)ln ||2
z z C ξ-+=+, 故原方程的解为 222
arctan ln (1)(2)1
y x y C x -=++-++.
3. 求解方程22
2()0d x dx x dt dt
+=
解 令
,直接计算可得,于是原方程化为 ,故