第四章 物流运筹学——运输问题

【例4-1】现有m个发点 A1 , , Ai , , Am ， 可供应某种物资给n个收点 B1 , , B j , , Bn 。 发点Ai的物资供应量（发量）为ai，收点Bj 对物资的需求量（收量）为 bj，且收发平衡， m n ai b j 。又设单位物资从Ai运往Bj的单 即 i 1 j 1 位运价为cij。问怎样运输这些物资，以使总运 费最小？
运输问题的数学模型
min z cij xij
i 1 j 1 m n
s.t.
n i 1, , m, xij ai , j 1 m j 1, , n, xij b j , i 1 xij 0, i 1, , m; j 1,
表4-6 例4-2运需平衡表
Ai Bj B1 B2 B3 B4 ai 15 20 10 12 15 10 8
A1 A2 A3 bj
【例4-4】运输问题见表4-11， 用最小元素法求初始基可行解。
表4-11 例4-4运量及运价表
Ai
Bj
B1 4
B2 7
B3 3
B4 10
ai 20
A1 A2 A3 bj 12
知识目标
• 掌握运输问题的基本形式（数学模型）
• 掌握表上作业法的求解过程
技能目标
• 能够结合实际情况建立运输问题的模型， 并可利用表上作业法求解 • 能够利用所学方法指导实际工作，解决实 际问题
第一节 运输问题的数学模型
• 建立运输问题的数学模型 • 介绍闭回路和孤立点的概念 • 给出运输问题数学模型的特性
2
5
2
6
10
9
3
8
4
25
16
14
13
【例4-7】求解表4-17所给的运输问题 （用最小元素法求初始基可行解）。
表4-17 例4-7运输表
Ai
Bj
B1
Biblioteka BaiduB2
B3
B4
ai 25 10 25
A1 A2 A3 bj
4
2 9 12
7
5 3 16
3
2 8 14
10
6 4 18
第三节 物流配送应用实例
【例4-8】运输问题如表4-21所示，试建立 该问题的运输模型。
B2
2 6 4 10
B3
3 4 5 10
ai
10 15 20
3 最低需求量
本章小结
• 本章首先介绍了一般平衡物资运输问题及其模型， 依据单纯形法的基本原理，给出了求解平衡运输 问题的直观方法——表上作业法。讨论了非平衡 运输问题向平衡运输问题的转换。最后，介绍了 运输模型在物流配送领域中的应用。 • 本章的重点是求解平衡运输问题的表上作业法原 理及其具体计算方法。其中，初试调运方案的确 定、调运方案优劣性检验、调运方法的改进是掌 握该方法的难点。
其中
(4-1)
, n,
a b
i 1 i j 1
m
n
j
闭回路和孤立点的概念
• 设E是运输问题的一组变量。如果对E中变量作适当 的排列后能得到下列形式：
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,
, is
1
, xis js , xis j1
s
其中 互不相同，j , j , , j 互不相同， 则称E为运输问题的一个闭回路。闭回路中的相应变 量称为闭回路的顶点。
表4-21 例4-8运输表 Ai Bj B1 4 6 B2 5 8 B3 2 3 ai 10 15
A1 A2
bj
8
7
6
【例4-9】（不平衡运输问题）若发点的发量必须 运走，具体信息如表4-24，试建立运输模型。
表4-24 例4-9运量及运价表 Ai
Ai ai
Bj A1 A2 A
B1
4 5 3 10
位势法求解
位势法的算法步骤： （1）应用西北角法或最小元素法求得初始基本可 行解xij和相应的基本变量组Q。 （2）由方程组（4-3），求得位势ui和vj。 （3）计算检验数σij=cij-ui-vj，取σst=min{σst }。 （4）判断σst是否为零。 若为零，则xij即为最优解，算法终止。 若不为零，则确定 Q {xst } 中的闭回路E以及E+和E-
第二节 表上作业法
• 初始基可行解的确定 • 位势法求解
初始基可行解的确定
•西北角法：西北角法按以下规则在mn个变 量中选择m+n-1个基变量构成变量组Q：从运 输表格的西北角x 开始，优先安排编号小的 发点和收点之间的运输任务。
11
•最小元素法：最小元素法按以下规则选取 m+n-1个基变量，优先安排单位运价cij小的发 点Ai与收点Bj之间的运输任务。。
案例分析
• 案例 加拿大太平洋铁路公司：完善铁路运量规划的方法 • 1 ．问题描述 加拿大太平洋铁路公司是一个完全一体化运作且技术 领先的一级铁路网络，为加拿大、美国东部和中西部提供 铁路运输和多式联运服务。北美货运铁路基本采用“以吨 位为基础的批运”方式，即在货物积累到一定量时列车才 能发车。这一方式试图通过最大限度地利用列车的装载量 来使发车总数最小。但实践表明，这一方式妨碍了高效率 地利用车组人员、机车和设备，并且它还使得运输周期不 确定，在当前运输业竞争日益激烈、服务水平提高很快的 情况下，这种不可靠性成为铁路运输服务争夺市场份额的 一大弱点。要找到一个更好的替代方法，需要利用到运筹 学中的时序安排的约束条件等具体技术。
（5）取 d xpq min{xij | xij E} 。 （6）取
xij d , xij E xij xij d , xij E x, 其他 ij

Q Q {xst } {xpq }
转步骤（2）。
【例4-2】给出运输问题，如表4-6所示。 使用西北角法确定它的一个基可行解。
2
i1 , i2 ,
• 设Q是运输问题一组变量，若xij为Q中的一个变量， 且xij是第i行或第j列中属于Q的唯一变量，则称xij为Q 的一个孤立点。
运输问题数学模型的特性
（1）在运输问题的m+n个等式约束方程中只有m+n-1个方程 是相互独立的，而且其中任意一组m+n-1个约束方程都是相 互独立的。 （2）在运输问题的mn个变量中，选取m+n-1个变量构成变量 组Q，则Q能成为基变量组的充要条件是：Q中不存在闭回路。 （3）设Q是运输问题的一组基变量，xst为非基变量，则xst必 对应一条唯一的闭回路E。E除顶点xst外，其余顶点都为基变 量。 （4）如果在运输问题中ai (i=1,…,m)和bj(j=1, …,n)都为整数，则 任一基解中各变量的取值亦均为整数。