第2讲 整式及其运算
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【点评】
(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础
，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用
法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和
符号的处理．
3．(1)(2014·新疆)下列各式计算正确的是( D ) A．a2＋2a3＝3a5 C．a6÷a2＝a3 B．(a2)3＝a5 D．a· a2＝a3
A．－2
B．0
C．2
4xy－3y
D．4
．
(3)计算：3(2xy－y)－2xy＝
【点评】
整式的加减，实质上就是合并同类项，
有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就
是最后的结果．
1．(1)(2014· 威海)下列运算正确的是( C ) A．2x ÷x ＝2x C．3x2＋2x2＝5x2
2 2
1 2 3 1 6 3 B．(－2a b) ＝－6a b D ．(x－3)3＝x3－9
乘法公式 【例5】 (2013·义乌)如图①，从边长为a的正方形 纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段
AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形
．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分 面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
要点梳理 7．乘法公式
2－b2 ( a ＋ b )( a － b ) ＝ a (1)平方差公式：
；
．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
要点梳理 8．整式除法 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式 除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这 个单项式，然后把所得的商相加．
1．(2014·安徽)x2· x4＝( B ) A．x5 B．x6 C．x8 D．x9
2．(2013·安徽)下列运算正确的是( B ) A．2x＋3y＝5xy B．5m2· m3＝5m5 C．(a－b)2＝a2－b2 D．m2· m3＝m6 3．(2012·安徽)计算(－2x2)3的结果是( B ) A．－2x5 B．－8x6 C．－2x6 D．－8x5
am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0) ． ；
要点梳理 6．整式乘法
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相
乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数一起作为积的一个因式．
单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ma＋mb ；
多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad＋bc＋bd.
(2)(2014· 济宁)化简－5ab＋4ab 的结果是( D ) A．－1 B．a C．b D．－ab
【例3】 (1)(2014·济南)下列运算中，结果是a5的 是( A ) A．a3· a2 C．(a2)3 B．a10÷a2 D．(－a)5
(2)(2012·南京)计算(a2)3÷(a2)2的结果是( B )
－3.
①化简多项式A；
②若(x＋1)2＝6，求A的值．
解： ①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x ＋x－x2－3＝3x＋3 ②(x＋1)2＝6，则 x＋1＝± 6，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝ ± 3 6
4．(2012·安徽)某企业今年3月份产值为a万元，4 月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了 15%，则5月份的产值是( B ) A．(a－10%)(a＋15%)万元 B．a(1－10%)(1＋15%)万元 C．(a－10%－15%)万元 D．a(1－10%－15%)万元
5．(2014·枣庄)如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去 一边长为 (a＋ 2)的小正方形(a＞ 2) ，将剩余部分剪开密铺成 一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )
一座“桥梁” 用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后 续学习的基础，用字母表示数能够简明地表示出 事物的规律及本质特征．只有借助字母，才能把 一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来． 用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字 母的任意性；(3)注意字母的限制性．
二种思维方法
法则公式既可正向运用，也可逆向运用．逆向运用
的思想，也是数学发现的重要方法．
(2)整体思想
在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着
眼点放在问题的整体结构上，把一些紧密联系的代数
式作为一个整体来处理．借助“整体思想”，可以拓
宽解题思路，收到事半功倍之效．整体思想最典型的
是应用于乘法公式中，公式中的字母a和b不仅可以表
示单项式，也可以表示多项式，如(x－2y＋z)(x＋2y－
1 23 (2)(2014· 随州)计算(－2xy ) ，结果正确的是( B ) 1 2 4 A.4x y 1 3 6 C.8x y 1 3 6 B．－8x y 1 3 5 D．－8x y
整式的混合运算及求值
【例 4】 (2014· 绍兴)先化简，再求值：
1 a(a－3b)＋(a＋b) －a(a－b)，其中 a＝1，b＝－2.
常数项 3．整式： ． 单项式和多项式 字母 统称为整式． 相同并且
4．同类项：多项式中所含 相同字母的指数 同类项．
也相同的项，叫做
要点梳理 5．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am· an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0) ；
(2)幂的乘方：
(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0) ；
(3)积的乘方： (ab)n＝an· bn(n是整数，a≠0，b≠0) (4)同底数幂相除：
1 解：(1)S1＝a －b (a－b) 2
2 2
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2
【点评】
(1)在利用完全平方公式求值时，通常
用到以下几种变形：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
和灵活变式运用既可简化计算，又能进行较复杂的
代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时，考
虑逆向运用，可起到化难为易的功效．
三种数学思想
(1)观察、比较、归纳、猜想的数学思想
观察才能获取大量信息，成为智慧的源泉，比较才
能发现信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面，
总结归纳的结果获得猜想、有所发现，这就是归纳
z)＝[x－(2y－z)][x＋(2y－z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－4y2＋
4yz－z2.
(3)数形结合思想 在列代数式时，常常能遇到另外一种类型的题：给 你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集 图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的
代数式，也能用图形验证整式的乘法和乘法公式．
1 (2)化简4(－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一个结果( D )
A．－16x－10 C．56x－40 B．－16x－4 D．14x－10
(3)(2014· 厦门)先化简下式，再求值：
(－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)，其中 x＝ 2＋1.
解：原式＝x2－2x－4＝(x－1)2－5，把 x＝ 2＋1 代入原 式，原式＝( 2＋1－1)2－5＝－3
2
解：原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab＝a2＋b2＝ 1 5 1＋ ＝ 4 4
【点评】
注意多项式乘多项式的运算中要做到
不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去
括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化
简，即合并同类项，再代值计算．
4．(2012·杭州)化简2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－ 1)m－m(m＋1)]，若m是任意整数，请观察化简后 的结果，你发现原式表示一个什么数？ 解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)] ＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式 ＝(－2m)3，表示3个－2m相乘，或者说是一个立方 数，8的倍数等
A．a2＋4 C．3a2－4a－4
B．2a2＋4a D．4a2－a－2
整式的加减运算 【例1】 (1)(2014·邵阳)下列计算正确的是( A ) B．a3· a2＝a6 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
A．2x－x＝x C．(a－b)2＝a2－b2
(2)(2014·威海)已知x2－2＝y，则x(x－3y)＋y(3x－1) －2的值是( B )
同类项的概念及合并同类项 【例2】 3 ． 若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝____
【点评】
(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指
数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含 数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．
1 n－2m 4 2．(1)(2012· y 与－ x3y2n 是同类项 ，则 毕节)已知2x (mn)2010 的值为( C ) A．2010 B．－2010 C．1 D．－1
安 徽 省
数
学
第一章 数与式
第2讲 整式及其运算
要点梳理
1．单项式：由
数与字母
或 字母与字母 相乘
组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做 单项式的次数 ，数字因数叫做 单项式的系数 ． __ 单独的数、字母也是单项式．
要点梳理 2．多项式：由几个 单项式相加 组成的代数式
叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这 个 多项式的次数 ，其中不含字母的项叫做
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
注意公式的变式及整体代入的思想．
(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，
任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．
5．(1)整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，则A
＝ 4mn .
(2)(2014·广州)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)
【点评】
(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础
，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用
法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和
符号的处理．
3．(1)(2014·新疆)下列各式计算正确的是( D ) A．a2＋2a3＝3a5 C．a6÷a2＝a3 B．(a2)3＝a5 D．a· a2＝a3
A．－2
B．0
C．2
4xy－3y
D．4
．
(3)计算：3(2xy－y)－2xy＝
【点评】
整式的加减，实质上就是合并同类项，
有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就
是最后的结果．
1．(1)(2014· 威海)下列运算正确的是( C ) A．2x ÷x ＝2x C．3x2＋2x2＝5x2
2 2
1 2 3 1 6 3 B．(－2a b) ＝－6a b D ．(x－3)3＝x3－9
乘法公式 【例5】 (2013·义乌)如图①，从边长为a的正方形 纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段
AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形
．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分 面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
要点梳理 7．乘法公式
2－b2 ( a ＋ b )( a － b ) ＝ a (1)平方差公式：
；
．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
要点梳理 8．整式除法 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式 除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这 个单项式，然后把所得的商相加．
1．(2014·安徽)x2· x4＝( B ) A．x5 B．x6 C．x8 D．x9
2．(2013·安徽)下列运算正确的是( B ) A．2x＋3y＝5xy B．5m2· m3＝5m5 C．(a－b)2＝a2－b2 D．m2· m3＝m6 3．(2012·安徽)计算(－2x2)3的结果是( B ) A．－2x5 B．－8x6 C．－2x6 D．－8x5
am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0) ． ；
要点梳理 6．整式乘法
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相
乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数一起作为积的一个因式．
单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ma＋mb ；
多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ac＋ad＋bc＋bd.
(2)(2014· 济宁)化简－5ab＋4ab 的结果是( D ) A．－1 B．a C．b D．－ab
【例3】 (1)(2014·济南)下列运算中，结果是a5的 是( A ) A．a3· a2 C．(a2)3 B．a10÷a2 D．(－a)5
(2)(2012·南京)计算(a2)3÷(a2)2的结果是( B )
－3.
①化简多项式A；
②若(x＋1)2＝6，求A的值．
解： ①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x ＋x－x2－3＝3x＋3 ②(x＋1)2＝6，则 x＋1＝± 6，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝ ± 3 6
4．(2012·安徽)某企业今年3月份产值为a万元，4 月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了 15%，则5月份的产值是( B ) A．(a－10%)(a＋15%)万元 B．a(1－10%)(1＋15%)万元 C．(a－10%－15%)万元 D．a(1－10%－15%)万元
5．(2014·枣庄)如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去 一边长为 (a＋ 2)的小正方形(a＞ 2) ，将剩余部分剪开密铺成 一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )
一座“桥梁” 用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后 续学习的基础，用字母表示数能够简明地表示出 事物的规律及本质特征．只有借助字母，才能把 一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来． 用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字 母的任意性；(3)注意字母的限制性．
二种思维方法
法则公式既可正向运用，也可逆向运用．逆向运用
的思想，也是数学发现的重要方法．
(2)整体思想
在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着
眼点放在问题的整体结构上，把一些紧密联系的代数
式作为一个整体来处理．借助“整体思想”，可以拓
宽解题思路，收到事半功倍之效．整体思想最典型的
是应用于乘法公式中，公式中的字母a和b不仅可以表
示单项式，也可以表示多项式，如(x－2y＋z)(x＋2y－
1 23 (2)(2014· 随州)计算(－2xy ) ，结果正确的是( B ) 1 2 4 A.4x y 1 3 6 C.8x y 1 3 6 B．－8x y 1 3 5 D．－8x y
整式的混合运算及求值
【例 4】 (2014· 绍兴)先化简，再求值：
1 a(a－3b)＋(a＋b) －a(a－b)，其中 a＝1，b＝－2.
常数项 3．整式： ． 单项式和多项式 字母 统称为整式． 相同并且
4．同类项：多项式中所含 相同字母的指数 同类项．
也相同的项，叫做
要点梳理 5．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am· an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0) ；
(2)幂的乘方：
(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0) ；
(3)积的乘方： (ab)n＝an· bn(n是整数，a≠0，b≠0) (4)同底数幂相除：
1 解：(1)S1＝a －b (a－b) 2
2 2
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2
【点评】
(1)在利用完全平方公式求值时，通常
用到以下几种变形：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
和灵活变式运用既可简化计算，又能进行较复杂的
代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时，考
虑逆向运用，可起到化难为易的功效．
三种数学思想
(1)观察、比较、归纳、猜想的数学思想
观察才能获取大量信息，成为智慧的源泉，比较才
能发现信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面，
总结归纳的结果获得猜想、有所发现，这就是归纳
z)＝[x－(2y－z)][x＋(2y－z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－4y2＋
4yz－z2.
(3)数形结合思想 在列代数式时，常常能遇到另外一种类型的题：给 你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集 图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的
代数式，也能用图形验证整式的乘法和乘法公式．
1 (2)化简4(－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一个结果( D )
A．－16x－10 C．56x－40 B．－16x－4 D．14x－10
(3)(2014· 厦门)先化简下式，再求值：
(－x2＋3－7x)＋(5x－7＋2x2)，其中 x＝ 2＋1.
解：原式＝x2－2x－4＝(x－1)2－5，把 x＝ 2＋1 代入原 式，原式＝( 2＋1－1)2－5＝－3
2
解：原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab＝a2＋b2＝ 1 5 1＋ ＝ 4 4
【点评】
注意多项式乘多项式的运算中要做到
不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去
括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化
简，即合并同类项，再代值计算．
4．(2012·杭州)化简2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－ 1)m－m(m＋1)]，若m是任意整数，请观察化简后 的结果，你发现原式表示一个什么数？ 解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)] ＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)＝－8m3.原式 ＝(－2m)3，表示3个－2m相乘，或者说是一个立方 数，8的倍数等
A．a2＋4 C．3a2－4a－4
B．2a2＋4a D．4a2－a－2
整式的加减运算 【例1】 (1)(2014·邵阳)下列计算正确的是( A ) B．a3· a2＝a6 D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
A．2x－x＝x C．(a－b)2＝a2－b2
(2)(2014·威海)已知x2－2＝y，则x(x－3y)＋y(3x－1) －2的值是( B )
同类项的概念及合并同类项 【例2】 3 ． 若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝____
【点评】
(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指
数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含 数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．
1 n－2m 4 2．(1)(2012· y 与－ x3y2n 是同类项 ，则 毕节)已知2x (mn)2010 的值为( C ) A．2010 B．－2010 C．1 D．－1
安 徽 省
数
学
第一章 数与式
第2讲 整式及其运算
要点梳理
1．单项式：由
数与字母
或 字母与字母 相乘
组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做 单项式的次数 ，数字因数叫做 单项式的系数 ． __ 单独的数、字母也是单项式．
要点梳理 2．多项式：由几个 单项式相加 组成的代数式
叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这 个 多项式的次数 ，其中不含字母的项叫做
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
注意公式的变式及整体代入的思想．
(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，
任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．
5．(1)整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，则A
＝ 4mn .
(2)(2014·广州)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)