三角形四心向量形式的应用

三角形“四心”向量形式的应用

一． 知识总结

1、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点） 命题一：G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++=

命题二：1()3

PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点). 命题三：点O 是三角形ABC 的重心则∆∆∆AOB BOC COA S = S = S

变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0． 变式引申：平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则

1

()4

PO PA PB PC PD =+++

2、三角形的垂心的向量表示及应用：（三边高线交点） 命题一：H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=•

例1：若H 为△ABC 所在平面内一点，且2

2

2

2

2

2

HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心

3．外心(三边垂直平分线交点，外接圆圆心) 命题一：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距

离相等)

4．内心(角平分线交点，内切圆圆心) 命题一：O 是△ABC 的内心⇔

(

)(

)(

)0||||

||||

||||

AB AC

BA BC

CA CB

OA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=

命题二：||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心; 变式：向量(

)(0)||||

AB AC

AB AC λλ+≠所在直线过△ABC

的内心(是∠BAC 的角平分线所在

直线)；

例 1.已知O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

(

),(0,)cos cos AB AC OP OA AB B

AC C

λλ=++

∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）

A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心

变形：（1）(

),(0,)sin sin AB AC

OP OA AB B AC C

λλ=++∈+∞ （2）sin sin (

),(0,)AB C AC B OP OA AB AC λλ=++∈+∞

（3）(

),(0,)cos cos AB AC PB PC AB B

AC C

λλ=-++

∈+∞

例2： 点O 在△ABC 内部且满足220OA OB OC ++=,则△ABC 面积与凹四边形ABOC

的面积之比（ ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3

变形引申：0OA mOB nOC ++=，求△ABC 面积与凹四边形ABOC 的面积之比

5．外心与重心：O 是△ABC 的外心，G 是重心，则3

OA OB OC

OG ++=

6．外心与垂心：O 是△ABC 的外心，H 是垂心，则OH OA OB OC =++

7．重心与垂心：G 是△ABC 的重心，H 是垂心，则3

HA HB HC

HG ++=

8．外心、重心、垂心：O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心，则1

3

OG OH =

9. “欧拉定理”：锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的 (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

二．练习

1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P

满足OP =13(12OA +1

2

OB +2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的( )

A .A

B 边中线的中点 B .AB 边中线的三等分点(非重心)

C .重心

D .AB 边的中点

2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：OA 2+BC 2=OB 2+CA 2＝OC 2＋AB 2

，则Ｏ为△ABC 的( )

A.外心

B.内心 C ．重心 D ．垂心

3．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=，则P 为

△ABC 的( )

A.外心

B. 内心 C ．重心 D ．垂心

4．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足： ()OP OA AB AC λ=++，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D ．垂心 5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，

则P 点为三角形的( )

A.外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

6．在三角形ABC 中，动点P 满足：22

2CA CB AB CP =-•，则P 点一定通过△ABC 的( )

A.外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心 7.非零向量AB 与AC 满足(

||

AB AB +

||

AC AC )·BC =0且

||

AB AB ·

||

AC AC =12

,则△ABC 为

( )

A .三边均不相等的三角形

B .直角三角形 C.等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8.点O 是三角形AB

C 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的( )

(A )三个内角的角平分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点 (C )三条中线的交点 (D )三条高的交点 9.P 是△ABC 所在平面上一点，若PB PA ⋅=PC PB ⋅=PA PC ⋅，则P 是△ABC 的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心