初中数学动点问题专题讲解

ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴ OD x , AD x , 3 54 5
∴OD= 3 x ,AD= 4 x . ∴AE= x 3 x = 8 x .
5
5
55
∵△ADE∽△AEP, ∴ AE AD , AP AE
8x 4x ∴5 5 .
y 8x 5
∴ y 16 x ( 0 x 25 ).
围；
②探索：是否存在这样的 x ，以 A 为圆心，以 x 3 长为半径的圆与
O
A′
4
直线 l 相切，若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由．
[题型背景和区分度测量点]
B
C
本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第
一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线 l 沿
相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，10 10 x 32 ， x 4 2 ； x
内切，10 10 x 32 ， x 10 2 17 ．0 x 10 x
∴当⊙ C 和⊙ A 相切时， BE的长为 4 2 或10 2 17 ．
（3）当以边 AC 为直径的⊙ O 与线段 DE 相切时， BE 20 ． 3
2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用 d=R±r( R r )建立方程． 3．解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段.
[ 略解]
解：（1） 证明 CDF ∽ EBD∴ CF CD ，代入数据得 CF 8 ，∴AF=2 BD BE
（2） 设 BE= x ,则 d AC 10, AE 10 x, 利用（1）的方法 CF 32 ， x
数解析式还成立?试说明理由.
A
解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,
D
E
B
C
∴△ADB∽△EAC, ∴ AB BD ,
线 l 过点 B，把△ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A＇重合，求 BC 的长；
(2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO＝ 1 AC，设 AD 的长为 x ，五边
4
l
形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范 A
E
D
5
8
(3)当 BF=1 时，
①若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3(1)，则 CF=4.
∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.
∴5- 8 x =4,得 x 5 .可求得 y 2 ,即 AP=2.
①GP=PH 时, 1 36 3x2 x ,解得 x 6 . 经检验, x 6 是原方程的根,且符合题意. 3
②GP=GH 时, 1 36 3x2 2 ,解得 x 0. 经检验, x 0是原方程的根,但不符合题意. 3
③PH=GH 时, x 2 .
综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 6 或 2.
B P D
点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D, C
交线段 OC 于点 E.作 EP⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F.
3(1)
(1)求证: △ADE∽△AEP.
(2)设 OA= x ,AP= y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定
二、应用比例式建立函数解析式
例 2（2006 年·山东）如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x, CE= y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；
(2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函
（2）当以点 C 为圆心 CF 长为半径的⊙ C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的⊙ A 相切时，
求 BE的长；
（3）当以边 AC 为直径的⊙ O 与线段 DE 相切时，求 BE的长．
[题型背景和区分度测量点]
本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一
A
线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；
分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是
中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯
形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键
l
AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆 A
E
D
的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．
给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题
（一）点动问题．
1．（09 年徐汇区）如图， ABC中， AB AC 10 ， BC 1ห้องสมุดไป่ตู้ ，点 D 在边 BC 上，且 BD 4 ，
以点 D 为顶点作 EDF B ，分别交边 AB 于点 E ，交射线 CA 于点 F ．
（1）当 AE 6 时，求 AF 的长；
运动(与点 B、C 不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y .
(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域.
A
3
B
C
(2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时,
△AOC 的面积.
解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H.
∵∠BAC=90°,AB=AC= 2 2 , ∴BC=4,AH= 1 BC=2. ∴OC=4- x . 2
(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.
解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH
中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= 2 NH= 2 1 OP=2.
B
3 32
P
(2) 在 Rt △ POH 中 , OH OP2 PH 2 36 x2 , ∴
5
8
②若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2.
类似①,可得 CF=CE.
∴5- 8 x =2,得 x 15 .
5
8
可求得 y 6 ,即 AP=6.
综上所述, 当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例 4（2004 年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2 2 ,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上
中考动点专题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运 动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动 观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我 们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式
F
当 E 点在 AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切
问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置
E
关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测
4
B
D
C
量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法]
1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方程．
类题 ⑴一个动点：09 杨浦 25 题（四月、五月）、09 静安 25 题、
⑵两个动点：09 闸北 25 题、09 松江 25 题、09 卢湾 25 题、09 青浦 25 题．
（二）线动问题
在矩形 ABCD 中，AB＝3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直
P B
义域.
F
●
EO
A
(3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长.
解:(1)连结 OD.
D
根据题意,得 OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由 OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△ C
●
EO
A
AEP.
3(2)
(2) ∵ ∠ ABC=90 ° ,AB=4,BC=3, ∴ AC=5. ∵ ∠ ABC= ∠
MH 1 OH 1 36 x2 .
2
2
O
在 Rt△MPH 中,
MP PH 2 MH 2 x 2 9 1 x 2 1 36 3x 2 . 42
N
y Gx
MHA 图1
∴ y =GP= 2 MP= 1 36 3x2 (0< x <6). 33
(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:
∵ SAOC
1 OC 2
AH
,
∴ y x 4 ( 0 x 4 ).
(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,
在 Rt△AOH 中,OA= x 1,OH= 2 x , ∴ (x 1)2 22 (2 x)2 .
此时,△AOC 的面积 y = 4 7 17 . 66
②当⊙O 与⊙A 内切时,
例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA,
垂足为 H,△OPH 的重心为 G.
(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线
段,并求出相应的长度.
(2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围).
图2
CE AC
∴1 x, ∴y 1.
y1
x
2
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90 ,且 2
函数关系式成立,
F
∴ 90 = , 整理得 90 .
2
2
当 90 时,函数解析式 y 1 成立.
2
x
例 3(2005 年·上海)如图 3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种 函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化 关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
1
一、应用勾股定理建立函数解析式
在 Rt△AOH 中,OA= x 1,OH= x 2 , ∴ (x 1)2 22 (x 2)2 .
此时,△AOC 的面积 y = 4 7 1 . 22
综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为 17 或 1 . 62
解得 x 7 . 6
解得 x 7 . 2
专题二：动态几何型压轴题