全称量词和特称量词

3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．探究点一全称量词与全称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．答语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考2如何判定一个全称命题的真假？答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)．例1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．探究点二存在量词与特称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x 能被2和3整除；(3)存在一个x 0∈R ，使2x 0＋1＝3；(4)至少有一个x 0∈Z ，使x 0能被2和3整除．答 (1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x 的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考2 怎样判断一个特称命题的真假？答 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．例2 判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解 (1)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，特称命题“有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练2 判断下列命题的真假：(1)存在x 0∈Z ，x 30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x 0∈R ，cos x 0＝π2. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x 0∈Z ，x 30<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义． (4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2>1，∴不存在x 0∈R ， 使cos x 0＝π2， ∴原命题是假命题．探究点三 全称命题、特称命题的应用思考 不等式有解和不等式恒成立有何区别？答 不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．例3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，∴a >1.反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．1．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析 D 选项是特称命题．3．下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，lg x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝1C ．任意x ∈R ，x 3>0D ．任意x ∈R,2x >0答案 C 解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0，错误；对于D ，任意x ∈R,2x ＞0，正确．4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸n 边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x 0满足x 20＝3.(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)任意x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π.(2)存在x 0∈Q ，x 20＝3.(3)任意α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1.[呈重点、现规律]1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 命题①②④都是全称命题．2．下列特称命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立． 3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题答案 C解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．4．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①②③为真命题．5．下列全称命题为真命题的是( )A ．所有的素数是奇数B ．任意x ∈R ，x 2＋3≥3C ．任意x ∈R,2x －1＝0 D ．所有的平行向量都相等答案 B6．下列命题中，真命题是________．①存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；②任意x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1；③存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数；④任意x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x .答案 ②③解析 对于①，任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴此命题为假命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，∴此命题为真命题；对于③，当m ＝0时， f (x )＝x 2为偶函数，∴此命题为真命题；对于④，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0<sin x ，∴此命题为假命题．7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2. 解 (1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．二、能力提升8．对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.9．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③存在x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案①②④解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．10．四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∵当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．判断下列命题的真假：(1)对任意x∈R，|x|>0；(2)对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数；(3)对任意x∈R，x2>－1；(4)存在a∈{向量}，使a·b＝0.解(1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝log a x无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数”是假命题．(3)由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.因此命题“对任意x∈R，x2>－1”是真命题．(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与拓展13．若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1,1]．。