简单的三角恒等变换练习题
课时作业2：简单的三角恒等变换
§4.6 简单的三角恒等变换A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12D.233．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－17184．(2015·成都第一次诊断性检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4 5．(2015·菏泽期末)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)10．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π211．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π312．若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π13．设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为______________. 14．(2015·临沂一模)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值．答案解析1．A [sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.]2．A [因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.] 3．D [cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.] 4．A [∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π. ∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，cos 2α＝－255. ∵β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π， ∴α＋β＝7π4.]5．C [∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.]6．－45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．－210解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103，∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 8．－73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74. ∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73.9．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．B [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.]11．D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D.]12．D [因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D.] 13.3解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x ，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点 P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率． 又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x .∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0.∴32tan x ＋12tan x ≥232tan x ·12tan x＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.14．解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x .∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
4.5 简单的三角恒等变换
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【例1】 求证： 】 证明： 法一：左端＝ 证明：证法一：左端＝ ＝sin α＋cos α＝右端则原恒等式成立． ＋ ＝右端则原恒等式成立． 证法二：设sin α＋cos α＝t，则左端＝ 证法二： ＋ ＝ ，则左端＝ ＝t＝右端则原恒等式成立． ＝右端则原恒等式成立．
＝sin α＋cos α. ＋
(2)f(θ)＝2sin2 ＝ ＝(1＋sin 2θ)－ ＋ － ＝2sin ∵θ∈ ∈ ∴2≤2sin 即当θ＝ 即当 ＝ ＋1≤3. ＋1.
cos 2θ＝ ＝ cos 2θ＝sin 2θ－ ＝ － cos 2θ＋1 ＋
cos 2θ
时，f(θ)max＝3；当θ＝ ； ＝
时，f(θ)min＝2.
【分析点评】 分析点评】
∴sin 2x＝－ ＝－ ∴原式＝ 原式＝
变式2.求 变式 求值：
解答： 解答：原式＝
＝
＝
解决三角函数的图象与性质问题很大程度上可通过三角恒等变换将函数转化为y 解决三角函数的图象与性质问题很大程度上可通过三角恒等变换将函数转化为 的形式， ＝Asin(ωx＋φ)的形式，进而可解决函数的周期、奇偶性、单调性和作函数图象 ＋ 的形式 进而可解决函数的周期、奇偶性、 等问题． 等问题．
4.5
简单的三角恒等变换
能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、 能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差三角函 数公式进行简单的恒等变换
1．降幂公式 ． sin αcos α＝ ＝ 2．半角公式 ． sin 2α；sin2α＝ ； ＝
3．Asin x＋Bcos x＝ ． ＋ ＝ cos φ＝ ＝
【例3】已知函数 】 知函数f(x)＝sin ＝ x∈R(其中 ∈ 其中 其中ω>0)． ． (1)求函数 的值域； 求函数f(x)的值域 的值域； 求函数 (2)若对任意的 ∈R，函数 ＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图象与直线 ＝－ 有且仅 若对任意的a∈ ，函数y＝ ， ∈ ， ＋ 的图象与直线 ＝－1有且仅 的图象与直线y＝－ 若对任意的 有两个不同的交点，试确定 的值 不必证明)，并求函数y＝ ， ∈ 的单 的值(不必证明 有两个不同的交点，试确定ω的值 不必证明 ，并求函数 ＝f(x)，x∈R的单 调增区间． 调增区间．
高考数学一轮复习练习 简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
三角恒等变换经典例题
三角恒等变换经典例题删除明显有问题的段落，改写每段话如下：三角恒等变换半角公式是根据角度所在的象限来选择符号的。
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ2）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ3）tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)2.万能公式：tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)，tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)3.角度的三角函数值：sinα=1/2，cosα=1/2，tanα=24.降幂公式：sin^2α=(1-cos2α)/2，cos^2α=(1+cos2α)/2，tan^2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)5.辅角公式：asinθ+bcosθ=sqrt(a^2+b^2)sin(θ+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)所在的象限决定，sinφ=b/sqrt(a^2+b^2)，cosφ=a/sqrt(a^2+b^2)，tanφ=b/a6.二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-17.常见数据：sin15°=cos75°=(sqrt(6)-sqrt(2))/4，sin75°=cos15°=(sqrt(6)+sqrt(2))/4.1.cos2a = 1 + cos2a2.sin2a = 1 - cos2atan15° = 2 - √3.tan75° = 2 + √34.升幂公式：1) 1 + cosα = 2cos2α/22) 1 - cosα = 2sin2α/23) 1 ± sinα = (sinα ± cosα)2/24) 1 = sin2α + cos2α1.解：sin20cos10 - cos160sin10 = sin20cos10 + cos20sin10 = sin30 = 1/2，选B。
三角恒等变换常考题(含答案)
三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．若，则=（）A． B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．（2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017•德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．【解答】解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选：C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．13．（2017•榆林一模）已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（2017春•荔城区校级期中）已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina+cosa=，∴（sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选：D．。
新高考数学计算题型精练 三角恒等变换(解析版)
新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简[典例] (1)sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α(2)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．[解] (1)选D 原式＝－sin 2α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝－2sin αcos α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝cos α.(2)原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.[解题技法] [题组训练]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.答案：22cos α2．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α.解：原式＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.考点二 三角函数式的求值考法(一) 给角求值 [典例]cos 10°(1＋3tan 10°)cos 50°的值是________．[解析] 原式＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin (10°＋30°)cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.[答案] 2[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．考法(二) 给值求值[典例] 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 求：(1)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． [解] (1)由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210， 得sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，化简得sin α＋cos α＝15，①又sin 2α＋cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π② 由①②解得cos α＝－35.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35，∴sin α＝45， ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250.[解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 考法(三) 给值求角 [典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， ∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255. 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. [答案] A[解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略 (1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好． (2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围．[题组训练]1．求值：cos 20°cos 35°1－sin 20°＝( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选C 原式＝cos 20°cos 35°|sin 10°－cos 10°|＝cos 210°－sin 210°cos 35°(cos 10°－sin 10°)＝cos 10°＋sin 10°cos 35°＝2⎝⎛⎭⎫22cos 10°＋22sin 10°cos 35°＝2cos (45°－10°)cos 35°＝2cos 35°cos 35°＝ 2.2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 法一：因为sin α＋cos α＝33，所以(sin α＋cos α)2＝13，即2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又因为α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， 所以sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin α)<0.所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53. 法二：由cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得cos α－sin α<0，因为sin α＋cos α＝33， 所以(sin α＋cos α)2＝13＝1＋2sin αcos α，得2sin αcos α＝－23，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53，则cos α－sin α＝－153，所以cos 2α＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53.3．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.考点三 三角恒等变换的综合应用[典例] (2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1， 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.[解题技法]三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x ； (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)； (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[题组训练]1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos 2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32 解析：选D 因为f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，所以T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.对于A ，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，所以不正确；对于B ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，故不正确；对于C ，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数y＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以不正确；对于D ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故正确．故选D. 2．已知函数f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )图象的对称轴和对称中心．解：(1)f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． 令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)． (2)令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．令2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[课时跟踪检测]A 级1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝⎛⎭⎫32－12sin α＝⎝⎛⎭⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1.2．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2D ．2解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，所以⎩⎨⎧sin αcos α＝2，2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－55，sin α＝－255， 则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010. 4．(2019·咸宁模拟)已知tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则sin 2α＝( ) A.725 B.1425C ．－725D ．－1425解析：选C 由题意知tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝－17，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－725.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B ∵cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－79， 解得sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝19，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 6．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．7 B.17C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 7．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·洛阳第一次统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________. 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78. 答案：789．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π310．函数y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最小正周期是________． 解析：y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12sin x cos x －32sin 2x ＝14sin 2x －32·1－cos 2x 2＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－34，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π11．化简：(1)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)； (2)cos 2α1tanα2－tan α2. 解：(1)原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24°＝43sin (12°－60°)sin 48°＝－4 3.(2)法一：原式＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2 αcos 2 α2－sin 2 α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2 α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α.法二：原式＝cos 2αtan α21－tan 2 α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2 α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α. 12．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解：(1)因为f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. B 级1．(2018·大庆中学期末)已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝( )A. 3B. 2 C ．－ 2D ．－ 3解析：选C ∵tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，∴tan α＋1tan α＝k ，tan α·1tan α＝k 2－3.∵3π<α<7π2，∴k >0，∴k ＝2，∴tan α＝1，∴α＝3π＋π4，则cos α＝－22，sin α＝－22，∴cos α＋sin α＝－ 2. 2．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________.解析：∵sin(C －A )＝1， ∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ， ∵sin B ＝13，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.答案：333．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．第七节 正弦定理和余弦定理一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝ab ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________． 解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba ＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D. 6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sinC sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A ，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22.又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2，由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372C ．9D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________.[解析] (1)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372. 法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴t a n B ＝3，∵B ∈()0，π，∴B ＝π3.[答案] (1)B (2)π3[变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 解析：因为sin C ＝2sin A ，所以c ＝2a ，所以a ＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：152.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．解析：∵B ＝π3且C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1t a n A.∵0<t a n A <33，∴1t a n A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca >2. 答案：(2，＋∞)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1. (1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ， ① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3. 在△ABD 中，c os ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC ，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.答案：662.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B－A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12[解析] (1)在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角．又因为sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4. (2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C.[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]． 答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A 3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 所以a sin B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以t a n B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝c os 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.。
简单的三角恒等变换习题
简单的三角恒等变换一、知识清单1．;__________2sin =α2．______;_________________________________2cos ===α3．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=Z k ,k 4______________2tan ππαα 4．.________________sin =α25．.________________cos =α2二、同步练习1.求证（1）cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α. （2） αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a（3）2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x （4）4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ（5）在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．2.化简求值（1）θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ （2）设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α（3）已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.求tan α及sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．3.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值，并指出此时x 的值.4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形5.若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．±173 B ．－173 C.13 D.1736.已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7.已知函数 f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；② f (x )的最小正周期是2π；③ f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④ f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，其中为真命题的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④8.若函数 f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 9.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 10.已知函数. (1) 求的最小正周期. (2) 求的单调递增区间11.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.12.(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为的扇形纸报AOB上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P在弧AB上, 点Q在OA上, 点M、N在OB上, 设∠BOP＝, 平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角.13.（本小题满分10分）已知函数，求：（I）的最小正周期；（Ⅱ）的最大值与最小值，以及相应的.。
简单的三角恒等变换
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三角恒等变换1. (必修4P 115复习题7(2)改编)函数y ＝3cos4x ＋sin4x 的最小正周期为________．答案：π2解析：y ＝3cos4x ＋sin4x ＝2(32cos4x ＋12sin4x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos4x ＋sin π6sin4x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6，故T ＝2π4＝π2. 2. 在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC ＝________.答案：1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213，所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665.3. (必修4P 113练习3(2)改编)已知cos θ＝45，且270°＜θ＜360°，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案：1010 －31010解析：∵ 270°＜θ＜360°， ∴ 135°＜θ2＜180°.∴ sin θ2＝1－cos θ2＝1－452＝1010；cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋452＝－31010. 4. (必修4P 115复习题5改编)已知sin α＝35，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．答案：－724解析：由sin α＝35且α是第二象限角，得tan α＝－34，∵ (α＋β)－α＝β，∴ tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝7.∴ tan2β＝2tan β1－tan 2β＝－724. 5. (必修4P 115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin 4α－cos4α＝________．答案：－255解析：sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝ －cos2α＝－1－sin 22α＝－255.三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝aa 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2. ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式．③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式．② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋cbt (－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1 三角形中的恒等变换例1 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin 2C2＋cos C 2＝2，求角C 的大小．解：由2sin 2C2＋cos C 2＝2，得2⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2C 2＋cos C 2＝2，整理得cos C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2－1＝0.因为在△ABC 中，0<C<π，所以0<C 2<π2.所以cos C 2＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去cos C 2＝0，从而C 2＝π4，即C ＝π2.备选变式（教师专享）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b .求角A 的大小．解：由已知，得2sinAsinB ＝3sinB ，且B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinB ≠0，∴ sinA ＝32，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ A ＝π3.题型2 角的构造技巧与公式的灵活运用例2 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·(32cos10°－12sin10°)＝ 34(sin 210°＋cos 210°)＝34. (解法2)设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x ＝32，故x＝34. 变式训练求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值．解：sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos160°)＋3sin20°cos(60°＋20°) ＝1－12cos40°＋12(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－12cos40°－14cos40°－34sin40°＋34sin40°－32sin 220°＝1－34cos40°－34(1－cos40°)＝14.题型3 三角函数的综合问题例3 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx(x ∈R )． (1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2) 在△ABC 中，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值． 解：(1) f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx ＝ 12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(2) 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1， 所以sinB ＋sinC 的最大值为 3.备选变式（教师专享）已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，设f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b＝(cosx ＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴f(x)的最小正周期T ＝π.(2) ∵0≤x≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)有最小值－1.1. (2013·苏州期末)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________．答案：17250解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin 2(θ＋15°)＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，从而sin(2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250. 2. 函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2·cos(x ＋π6)的最小正周期为________．答案：π解析：∵ f(x)＝－sinx ·(32cosx －12sinx)＝ 14－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴ T ＝π.3. 计算：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________．答案：12解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－s in17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.4. 设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．答案：－1665解析：∵ tan α2＝12，∴ tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，而α∈(0，π)，∴ α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2.由tan α＝sin αcos α＝43及sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝45，cos α＝35；又sin(α＋β)＝513<22，∴ α＋β∈(3π4，π)，cos(α＋β)＝－1213.∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665.1. 已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－12.(1) 若f(α)＝24，α∈(0，π)，求α的值； (2) 求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π上最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝12sinx ＋1＋cosx 2－12＝12(sinx ＋cosx)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由题意知：f(α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12.∵α∈(0，π)，即α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，∴α＋π4＝5π6，即α＝7π12. (2) ∵ －π4≤α≤π， 即0≤α＋π4≤5π4，∴f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f(x)min ＝f(π)＝－12.2. 已知ω＞0，a ＝(2sin ωx ＋cos ωx ，2sin ωx －cos ωx)，b ＝(sin ωx ，cos ωx)．f(x)＝a·b .f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是π2.(1) 求ω的值；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝a ·b＝(2sin ωx ＋cos ωx)sin ωx ＋(2sin ωx －cos ωx)cos ωx＝2sin 2ωx ＋3sin ωxcos ωx －cos 2ωx ＝1－cos2ωx ＋32sin2ωx －12(1＋cos2ωx)＝32(sin2ωx －cos2ωx)＋12＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋12.(1) 因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T ＝π，则ω＝1.(2) ω＝1，f(x)＝322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f(x)取得最大值32＋12.3. 设函数f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为2π3.(1) 求ω的最小正周期；(2) 若函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g(x)的单调增区间．解：(1) f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋sin2ωx ＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω的最小正周期为32.(2) 依题意得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4 ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2，由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k∈Z )，得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k∈Z )， 故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π4，23k π＋7π12(k∈Z )．4. 设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(1) 写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 解：(1) f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴ T ＝π.由π2＋2k π≤2x＋π6≤3π2＋2k π，得π6＋kx≤x≤2π3＋k π.故函数f(x)的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k∈Z )．(2) ∵ －π6≤x ≤π3，∴ －π6≤2x ＋π6≤5π6.∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32，∴ a ＝0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化． (2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。
数学课程三角恒等变换练习题及答案
数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。
课时作业12：3.2 简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换一、选择题1．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2α B.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2α D.1－cos 2αsin 2α2．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45C.415 D ．－354．已知sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3C.13 D ．－135．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有() A ．c <b <a B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a二、填空题6．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14，则12＋12 12＋12cos 2α的值是________．7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1的最小正周期为________．8．已知2sin 2x ＋sin 2x1＋tan x ＝12(π4＜x ＜π2)，则sin x －cos x ＝________.三、解答题9．已知：sin α2sin (π4－α2)sin (π4＋α2)＝2，求1－cos 2αsin αcos α的值．10．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．11．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT ，且PT ＝1，∠P AB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？参考答案一、选择题1．D【解析】1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 2．D【解析】y ＝sin 2x －12＝1－cos 2x 2－12＝－12cos 2x ， ∴函数是最小正周期为π的偶函数．3．B【解析】tan 2α2＝1－cos α1＋cos α＝32＝9，∴cos α＝－45. 4．B【解析】∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan θ＝34. ∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2＜74π， 又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝34，∴tan θ2＝－3或13(舍去)． 5．C【解析】a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a <c <b .二、填空题6．104【解析】原式＝12＋12cos 2α＝12＋12cos α＝12＋12×14＝104. 7．π【解析】y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1＝1＋cos (2x －π6)2＋1－cos (2x ＋π6)2－1＝32cos 2x ＋12sin 2x －32cos 2x ＋12sin 2x 2＝12sin 2x ，∴T ＝2π2＝π. 8．22【解析】原式＝2sin 2x ＋2sin x cos x 1＋sin x cos x＝2sin x cos x （sin x ＋cos x ）sin x ＋cos x ＝2sin x cos x ＝12， 由于π4＜x ＜π2， 此时sin x ＞cos x ， 故sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝ 1－12＝22. 三、解答题9．解：因为sin α2sin (π4－α2)sin (π4＋α2)＝sin α2sin (π4－α2)cos (π4－α2)＝sin αsin (π2－α)＝sin αcos α＝tan α＝2. 所以1－cos 2αsin αcos α＝2sin 2αsin αcos α＝2tan α＝4. 10．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x ＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin(2x －π4)－1， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π)和(k π，k π＋3π8](k ∈Z )． 11．解：如图，连接PB ，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°，∵∠P AB ＝α，AB ＝1，∴PB ＝sin α，P A ＝cos α.又PT 切圆于P 点，则∠TPB ＝∠P AB ＝α.∴S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB＝12P A ·PB ＋12PT·PB ·sin α＝12sin α·cos α＋12sin 2α. ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α)． ＝24sin(2α－π4)＋14， ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π， ∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，四边形面积最大．。
(完整版)简单的三角恒等变换练习题
3.2 简单的三角恒等变换一、填空题1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13．求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x 的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题1． 215+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +- =ααtan 1tan 1+- =右边，原题得证．9．证明：∵cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，所以sin x =2524或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =2524，cos x =－257． 又2x 是第一或第三象限角， 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。
三角恒等变换练习题
三角恒等变换练习题1. 证明： sin^2(x) + cos^2(x) = 1解析：根据三角恒等变换公式 sin^2(x) + cos^2(x) = 1，我们需要证明这个公式的正确性。
下面是证明过程：由于 sin(x) = opp/hyp 和 cos(x) = adj/hyp，其中 opp 表示对边，adj 表示邻边，hyp 表示斜边。
根据勾股定理，我们知道在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方与邻边的平方之和。
即 hyp^2 = opp^2 + adj^2。
将 opp/hyp 和 adj/hyp 代入上述公式，则得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp/hyp)^2 + (adj/hyp)^2 = opp^2/hyp^2 +adj^2/hyp^2 = (opp^2 + adj^2)/hyp^2由于 opp^2 + adj^2 = hyp^2，代入上面的等式可以得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp^2 + adj^2)/hyp^2 = hyp^2/hyp^2 = 1因此，sin^2(x) + cos^2(x) = 1 成立，证毕。
2. 化简：tan(x) / (sec(x) - 1)解析：我们需要将表达式 tan(x) / (sec(x) - 1) 进行化简。
下面是化简过程：首先，我们知道 tan(x) = sin(x) / cos(x) 和 sec(x) = 1 / cos(x)。
将上述等式代入表达式 tan(x) / (sec(x) - 1)，得到：(sin(x) / cos(x)) / (1 / cos(x) - 1)接下来，我们需要找到表达式中的公共分母，并进行合并。
首先，将 1 / cos(x) 相减得到：1 / cos(x) - 1 = (1 - cos(x)) / cos(x)代入原表达式，得到：(sin(x) / cos(x)) / ((1 - cos(x)) / cos(x))接下来，我们将除法转化为乘法，并得到：(sin(x) / cos(x)) * (cos(x) / (1 - cos(x)))cos(x) 可以约去，得到最终的结果：sin(x) / (1 - cos(x))因此，化简后的结果为 sin(x) / (1 - cos(x))。
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换 自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 2．公式的逆向变换及有关变形(1)降幂公式：sin αcos α＝____________________sin 2α＝________________，cos 2α＝________________；（2）升幂公式：1＋cos2 α＝________________，1－cos 2α＝_____________；sin 2α＝________________ ，1=____________（3）变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________.3．辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （a b =ϕtan ）4.化简方法（1）原式中含有根式与分式时一般利用升幂公式（2）当结果需要求周期，单调区间等，则需要降幂公式和辅助角公式化为B x A y ++=)sin(ϕω型（同名同角）巩固练习1．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝( ) A.53 B ．－134C.135D.1342．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.723.化简2cos 22+的结果是（ ）A 1cos 2-B 21cosC 1sin 2D 1sin 2- 4．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 5．将下列函数化为()sin()(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<的形式（1）.________sin 3cos =+x x （2）.sin α+cos α=_________（3）=+x x cos 2sin 3 _________ （4）.22cos y x =（5）2()6cos 2f x x x ==_________. （6）4sin x cos(x ＋π6)（7）.22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++== _________6.2111()sin cos 222f x x x x =+， （Ⅰ）将)(x f 化为k x A ++)s i n (ϕω(00)2πωϕ><<，的形式； （Ⅱ）写出()f x 的最值及相应的x 值；（Ⅲ）若36ππα-<<，且3()52f α=+，求αc o s 的值．。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
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3.2 简单的三角恒等变换
一、填空题
1.若
25π<α<411π,sin2α＝－54,求ｔa ｎ2α___＿_＿_＿_＿_＿＿_＿_
2.已知s ｉn θ=－
53,3π<θ＜2π7,则tan 2θ的值为__＿_＿__＿___.
4.已知α为钝角、β为锐角且si ｎα=
54,ｓｉｎβ=1312,则co ｓ2-βα的值为_＿_________＿.
5． 设5π<θ<６π，cos
2θ＝a ，则s ｉn 4θ的值等于＿____＿__________
二、解答题 ６．化简
θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．
7．求证:2s ｉｎ(
4π－x )·s ｉn(4π+x ）=c ｏs2x .
8.求证：
α
ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a .
9．在△ABC 中,已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅,求证:b a b a B A
-+=2tan 2tan 2
2
.
1０. 求ｓin15°,ｃos15°，ta ｎ15°的值.
11. 设-３π＜α<-
2π5,化简2)πcos(1--α.
12. 求证：1+2c ｏｓ2θ－ｃｏｓ2θ=2．
1３．
求证:4ｓｉn θ·cos 22θ=2sin θ＋ｓin ２θ.
1４. 设25s ｉｎ２x +s ｉn x －24=0,ｘ是第二象限角，求ｃo ｓ2x 的值.
15． 已知ｓi ｎα=
1312，ｓi ｎ（α＋β）=54,α与β均为锐角,求cos 2
β．
参考答案
一、填空题
1． 2
15+． ２.-3 ４. 65657 ５．-21a - 二、解答题
６．解:原式=θ
θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ ＝1)
-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ
θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ ＝)
cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．
７.证明：左边＝2ｓｉn （
4π-x ）·sin （4π+ｘ) =2si ｎ(4π－x ）·cos （4
π-ｘ) =ｓｉn(
2π－2x ） =c ｏs2x
=右边，原题得证.
8.证明：左边=α
ααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)
sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)
sin )(cos sin (cos )sin (cos 2
αααααα+-- ＝
ααααsin cos sin cos +- ＝α
αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．
9.证明：∵cos Ａ=
B b a b B a cos cos ⋅--⋅, ∴1－c ｏs A ＝
B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+, 1+cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-. ∴)
cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2
tan 2
cos 22sin 2cos 1cos 1222A B A
A A ==+-， 2
tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·ｔan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 2
2
．
10．解：因为15°是第一象限的角,所以
sin １5°＝4264)26(434823222312
30cos 12-=-=-=-=-=︒-， co ｓ15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+, ta ｎ15°=︒
+︒-30cos 130cos 1=2-3. 1１．解:∵－3π＜α<－2π5，∴－2π3＜2α<－4π5，ｃos 2α＜0． 又由诱导公式得co ｓ（α－π)=－co ｓα, ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=-ｃo ｓ2
α. 12.证明:左边=1+2cos 2θ－co ｓ2θ=１+２·2
2cos 1θ+-c ｏｓ２θ＝2＝右边. 13．证明:左边=4s ｉｎθ·co ｓ22θ＝２ｓi ｎθ·
２ｃos 22θ=２sin θ·（1+co ｓθ） =2ｓin θ+2ｓｉｎθcos θ＝2ｓi ｎθ+s ｉn2θ＝右边.
14．解：因为25sin 2ｘ+ｓin x －２4＝0,
所以sin x =25
24或ｓi ｎｘ=-1. 又因为x 是第二象限角， 所以si ｎx =
2524,c ｏs ｘ＝-257． 又2
x 是第一或第三象限角, 从而ｃｏｓ
2x =±225712cos 1-±=+x =±53． １5．解：∵０＜α＜
2π，∴ｃos α＝135sin 12=-α. 又∵０<α<2π,0<β<2
π, ∴0<α＋β＜π．若０<α＋β＜
2π, ∵s ｉn(α＋β）<sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴co ｓ（α＋β)=－5
3. ∴ｃos β=ｃos[(α+β)-α］ =ｃo ｓ（α＋β）co ｓα+s ｉn(α+β）sin α=-
53·54135+·65331312=， ∵0＜β<
2π, ∴0＜2β<4
π． 故cos
656572cos 1=+=2ββ
．。