高二数学解析几何测试题

高二数学解析几何综合提高

【本讲主要内容】

解析几何综合提高

直角坐标系（平面及空间），直线和圆的方程，简单的线性归划，直线与圆的位置关系

【知识掌握】 【知识点精析】

1. 两点间距离公式：

①数轴上：d A B x x ()||，=-21

②平面上：d A B x x y y ()()()，=-+-212212

③空间：d A B x x y y z z ()()()()，=-+-+-212212212

平面上线段AB 的中点坐标公式x x x y y y =+=+⎧⎨

⎪⎪⎩

⎪⎪12122

2

2. 直线的倾斜角、斜率

直线的倾斜角α∈︒︒[)0180，；

直线的斜率：k k y y x x ==

--tan α，2121

直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在判断两条直线的位置关系和确定它们的夹角等问题中起着关键作用。

3. 直线的方程：

①点斜式：y y k x x -=-00() ②斜截式：y kx b =+ ③两点式：

）

，（21211

21

121x x y y x x x x y y y y ≠≠--=--

④截距式：x a y

b

+=1

⑤一般式：Ax By C A B ++=00（、不全为）

4. 两条直线的位置关系：若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2 则：l l 12//⇔k k b b 1212=≠且 l l 12⊥⇔k k 121⋅=- l 1与l 2的夹角公式：tan θ=

-+k k k k 2121

1（θ为l 1与l 2的夹角）

点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax By C ++=0的距离公式：

d Ax By C A B

=

+++||

002

2

5. 简单的线性归划：

在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax By C ++>0表示在直线Ax By C ++=0的某一侧的平面区域。

简单的线性归划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax ＋by 的最值问题，一些实际问题可以借助这种方法解决。

6. 曲线和方程：

把曲线看作适合某种条件P 的点M 的集合P ＝{M|P(M)}，建立直角坐标系后，点集P 中任一元素M 都有一个有序实数对（x ，y ）和它对应，（x ，y ）是某个二元方程f(x,y)＝0的解，反之以二元方程f(x,y)＝0的解为坐标，都有一点M 与它对应，且M 是点集P 中的一个元素。这种对应关系就是曲线与方程的关系。 7. 圆的方程：

标准方程：()()x a y b r -+-=222，其中圆心是（a ，b ），半径为r 一般方程：x y Dx Ey F D E F 2222040++++=+->，其中

参数方程：)b ,a (sin r b y cos a x ，其中圆心⎩

⎨

⎧+=+=θθ

，半径为r ，θ为参数

8. 直线与圆的位置关系：

相切：d ＝r 相离：d>r 相交：d

【解题方法指导】

例1. 如图，圆x y 228+=内有一点P 012（，）-，AB 为过P 0点且倾斜角为α的弦。 （1）当απ=34

时，求AB 的长。

（2）当弦AB 被点P 0平分时，写出AB 的直线方程。

x

解：（1）当απ=34

时，直线AB 的斜率为

k ==-tan

34

1π

直线AB 的方程为：y x -=-+21() 即：y x =-+1 ① 把①代入x y 228+=，得 x x 2218+-+=() 即22702x x --= 解此方程得x =-±115

2

所以，||||

cos

||AB x x x x =

-=-=⨯=21214

221530π

（2）当弦AB 被点P 0平分时，OP AB 0⊥，直线O P 0的斜率为－2，所

以直线AB 的斜率为12

，根据点斜式，直线AB 的方程为

y x -=

+21

2

1()

即x y -+=250 点评：（1）中求|AB|时，由直线的方程和圆的方程联立消元得一元二次方程。此法是解直线与二次曲线问题的通则通法，本题求出A 、B 的横坐标后，在直角三角形中求出了|AB|比较简单。

例2. 求证到圆心距离为a （a>0）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。

证明：建立平面直角坐标系（如图）

x

设圆O 的坐标为（0，0），半径为r 圆A 的坐标为A （a ，0），半径为R

过点P （x ，y ）的直线PB 与圆O 相切于点B 直线PC 与圆A 相切于点C ，且PB ＝PC

圆O 的方程为x y r 222+=，圆A 的方程为()x a y R -+=222 ∵PB ＝PC ∴PB PC 22=

由勾股定理得PO OB PA AC 2222-=-

即x y r x a y R 222222+-=-+-()

化简得x a r R a

a =+->222

20（）

这就是点P 的轨迹方程，它表示一条垂直于x 轴的直线

点评：恰当建立坐标系，可简化运算过程且所得轨迹方程形式简单。

【考点突破】

【考点指要】

本部分内容在高考题中，主要考查两类问题，基本概念题和求在不同条件下的直线方程大都属中、低档题，以选择和填空形式出现，每年必考。直线与圆综合性试题，此类题难度属中等，一般以选择题形式出现，偶尔也有大题出现，高考比重10~15分。

【典型例题分析】

例3. （’05苏，19）如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O O 124=。过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 为切点），使得PM =2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程。

x

解：如图，以O O 12的中点O 为原点，O O 12所在的直线为x 轴，建立直角坐标系

则O 1（－2，0），O 2（2，0） 由已知PM PN =2 得PM PN 222=

因为两圆的半径均为1

所以PO PO 12

22121-=-()

设P （x ，y ），则

()[()]x y x y ++-=-+-212212222 即()x y -+=63322

所以，所求的轨迹方程为

()x y x y x -+=+-+=63312302222（或）

点评：本题考查了建立直角坐标系、求曲线方程的方法及圆的有