高二数学解析几何测试题
高二数学解析几何试题答案及解析
高二数学解析几何试题答案及解析1.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．【答案】y2＝4x.【解析】略2.（12分）已知圆C过点A（，0）、B（，0），半径为2,且圆心在X轴上方。
（1）求圆C的方程（2）求圆C关于直线对称的圆的方程。
【答案】（1）（2）【解析】（1）中求圆的方程可采用待定系数法，设出方程后将已知条件代入，解出参数得到方程；（2）中首先求圆心关于直线的对称圆心，进而得到对称圆的方程试题解析：（1）设圆的方程为，半径为,代入已知两点得，解方程组得，所以方程为（2）C（1，1）关于的对称点为（-2，2）所以圆C关于直线对称的圆的方程为【考点】1．圆的方程；2．点关于直线的对称点3.双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰好过它们的公共焦点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知点在双曲线上，故，在双曲线上，即【考点】双曲线的离心率4.如图，⊙O上一点在直径上的射影为，且，，则⊙O的半径等于．【答案】5【解析】先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，．【考点】直角三角形中的射影定理5.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为．【答案】【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为1，结合图形可知切线长的最小值为【考点】1．数形结合法；2．直线与圆相切的位置关系6.己知圆和直线，在轴上有一点，在圆上有不与重合的两动点，设直线斜率为，直线斜率为，直线斜率为，（l）若①求出点坐标；②交于，交于，求证：以为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若：判断直线是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．【答案】（1），定点为；（2）直线过定点．【解析】第一问根据两斜率乘积等于，从而得到为直径，从而确定出点的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．试题解析：（1），又因为在圆上，所以为直径，故,法一：设，令得，，令得，且，故，，令，则，故．故定点坐标为：．法二：，，得，，，得，故圆方程为：由，令，则，故．则定点为．（2）法一：解：设与圆联立得：，由韦达定理：，由得：，，同理，再利用．，，直线过定点．法二：可以先猜后证，，所以同号．不妨设，则，与圆联立得，，则，与圆联立得，此时，同理由圆对称性，当时，，此时点坐标，，若直线过定点，则联立上述直线的方程，求出交点，下面验证是否为定点．设过且与圆有交点的直线斜率为，则直线方程为，代入圆方程得：两交点．由韦达定理：，故，过定点．【考点】曲线过定点问题．7.已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】两圆的圆心距为，圆半径为2，由勾股定理求得弦长为，故选B．【考点】两圆的位置关系．8.若圆M的方程为，则圆M的参数方程为．【答案】【解析】由圆的方程,可知圆心,半径为2.所以圆的参数方程为:.【考点】参数方程与普通方程间的互化.9.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：（本小题满分10分）（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6且焦点在轴上（2）已知椭圆的中心在原点,且过点【答案】（1）（2）【解析】（1）由长轴长与短轴长的和为18得到的关系式，由焦距为6得到值，结合得到，从而求得椭圆方程；（2）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，代入两点坐标，从而解方程组求得系数，得到椭圆方程试题解析：（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，因为焦点在椭圆上，所以方程为（2）设椭圆方程为，所以方程为【考点】椭圆的方程及性质10.若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】由双曲线的定义可知,,,即．,．【考点】1双曲线的定义；2双曲线的离心率．11.设是椭圆的左右焦点，P为直线上一点，是底脚为的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设交x轴于点M，∵是底角为30°的等腰三角形∴，且，∵P为直线上一点，，故选C．【考点】椭圆的简单性质12.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】设在准线上的射影分别为，则，，，所以到轴距离为，故选C．【考点】抛物线的定义．【名师点晴】利用抛物线的定义可解决的常见问题：（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线; （2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．13.已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线方程，点到渐近线的距离，所以，即，所以答案应填：．【考点】1、双曲线几何性质；2、点到直线距离．【方法点晴】本题主要考查双曲线的渐近线和双曲线的离心率，涉及点到直线的距离公式，属于中档题．在解题时注意点在轴上，由对称性其到两渐近线的距离相等，故可任选一条，得到关系后，注意转化成的关系，从而得出离心率．14.已知椭圆（）上的点P到左、右两焦点的距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的方程；过右焦点的直线交椭圆于A、B两点．若y轴上一点满足，求直线斜率k的值；（2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中O为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）或，．【解析】（1）先利用椭圆的定义，得到，再利用离心率公式和进行求解；（2）先设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和在线段的垂直平分线上进行求解；利用点到直线的距离公式和弦长公式求三角形的面积，再求其最值，但要注意斜率不存在的情况．试题解析：（1），∴，∵，∴，∴．椭圆的标准方程为．（2）已知，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，化简得：，∴，，，∴AB的中点坐标为G．（1）时，不满足条件；当时，∵，∴，整理得：，解得或．（2）当直线无斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程，此时，，当直线存在斜率时，，∵，，∴，∴，综上，当直线方程为时，．∴满足题意的直线存在，方程为．【考点】1．椭圆的定义；2．椭圆的标准方程；3．直线与椭圆的位置关系．【易错点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2） 中，当斜率不存在时的直线刚好满足条件，且也只有这一条直线符合题意．15.已知椭圆G：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3，2）．（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．【答案】（1）；（2）【解析】由椭圆G的离心率为，右焦点为（，0）得，由此能求出椭圆G的方程；（2）设l：y=x+b，代入椭圆方程得4x2＋6mx＋3m2－12＝0根据韦达定理，所以，由此能求出△PAB的面积试题解析：（1）解：由已知得，，．解得．又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为．（2）解：设直线l的方程为y＝x＋m．由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB中点为E（x，y），则，y0＝x＋m＝．因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．所以PE的斜率．解得m＝2．此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．所以y1＝－1，y2＝2．所以|AB|＝．此时，点P（－3，2）到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．椭圆的标准方程16.直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心在直线上，则，点到直线的距离为，则．故本题答案选．【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离17.如果直线与椭圆相交于A、B两点，直线与该椭圆相交于C、D两点，且是平行四边形，则的方程是．【答案】．【解析】由题意可知，直线，所以的斜率为，又因为是平行四边形，过点，所以过点，所以直线的方程是，即，故应填．【考点】1、直线的方程；2、直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】本题主要考查直线的方程和直线与椭圆的位置关系，渗透着数形结合的数学思想，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据平行四边形的基本性质可得直线，即可得出直线的斜率；然后由对称性可得出直线的方程过点，最后由点斜式方程即可得出直线的方程．其解题的关键是正确地运用椭圆的简单几何性质和平面图形的几何性质．18.已知的三个顶点的坐标为．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）若直线与平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大1，求直线与两条坐标轴围成的三角形的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；（2）当两条直线的斜率都存在时，两条直线平行，则这两条直线的斜率相等，当两条直线垂直时，斜率之积为．试题解析：（1），∴边上的高所在直线的斜率为又∵直线过点∴直线的方程为：，即（2）设直线的方程为：，即解得：∴直线的方程为：∴直线过点三角形斜边长为∴直线与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【考点】1、直线方程；2、两条直线的位置关系．19.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．【答案】（1）；（2）△的周长是定值．【解析】（1）这是一个焦点在x轴上的椭圆，给出焦点坐标即得c的值，由椭圆上的点H和焦点结合椭圆的定义易求a的值，再由椭圆中三个参数a，b，c的关系，可得b的值，从而求得椭圆方程；（2）中，△的周长=，其中F是定点，P、Q是直2线PQ与椭圆的两个交点，可先设出P、Q两点的坐标，用两点间距离公式表示出，用弦长公式表示出|PQ|,通过椭圆方程消除其中的纵坐标，得到横坐标之间的关系，把韦达定理代入整理，看周长是否是定值．试题解析：（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是在椭圆上，椭圆的方程是；（2）方法1：设，则，，∵，∴，在圆中，是切点，∴，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．方法2：设的方程为由得则与圆相切即∵，∵，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，函数与方程的思想方法．【方法点晴】（1）求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，有时可以利用椭圆的定义简化运算，提高解题速度；（2）在研究直线与圆锥曲线位置关系中的定值问题，通常是把待证的量用直线与圆锥曲线的两个交点坐标表示出来，先选取合理的参数，联立并整理方程组用韦达定理把两点坐标的和、积表示出来，代入整理，直接得到定值或者构造关于参数的函数关系式，用函数的知识求得定值．20.在△ABC中，、、，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程：：：则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号、、填入）。
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高二数学解析几何试题
高二数学解析几何试题1.中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．【答案】【解析】由题意得：，因此椭圆离心率【考点】椭圆离心率2.（本小题满分12分）已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）待定系数法求椭圆方程；（20先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果．试题解析：（1）因为椭圆经过点A，所以b=4．又因离心率为，所以所以椭圆方程为：依题意可得，直线方程为，并将其代入椭圆方程，得．（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为，则由韦达定理得，,所以中点横坐标为，并将其代入直线方程得，故所求中点坐标为．【考点】求椭圆方程、直线与椭圆相交求弦的中点坐标．3.已知椭圆（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．D．【答案】D【解析】由|F1F2|=8得，由椭圆定义可知△ABF2的周长为【考点】椭圆方程及性质4. 已知椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。
（1）求双曲线C 2的方程； （2）若直线l ：与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且（其中O 为原点），求k 的取值范围。
【答案】（1）（2）（－1，－）∪（，1）【解析】（1）由椭圆方程确定其顶点和焦点坐标，从而得到双曲线的焦点和顶点，求得的值，得到双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立，得到二次方程，找到根与系数的关系，将用点的坐标表示出来，代入已知条件从而得到关于k 的不等式，求得其范围 试题解析：（1）设双曲线C 2的方程为，则A 2＝4－1＝3，C 2＝4， 由A 2＋B 2＝C 2，得B 2＝1，故C 2的方程为．（2）将y ＝kx ＋代入－y 2＝1，得（1－3k 2）x 2－6kx －9＝0．由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得∴k 2≠且k 2＜1． ①设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝．∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋）（kx 2＋）＝（k 2＋1）x 1x 2＋k （x 1＋x 2）＋2＝．又∵·＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴＞2，即＞0，解得＜k 2＜3， ②由①②得＜k 2＜1，故k 的取值范围为（－1，－）∪（，1）．【考点】1．椭圆双曲线的方程及性质；2．直线与双曲线相交的位置关系5. （本小题满分16分）已知椭圆． （1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）研究椭圆性质，一般先将方程化为标准方程，再根据标准方程对应量的几何意义确定性质：椭圆化为标准方程为，因此，从而椭圆的离心率（2）求线段长度的最小值，一般需先根据两点间距离公式列出参数关系式，再根据参数间关系，转化为一元函数关系式，最后根据函数关系特点，利用基本不等式求最值. 设，且，则线段长度中有三个参数，而由题意有两个条件：一是，可得；二是点在椭圆上，即，因此先消去t ，再消去，即得，最后利用基本不等式求最值，注意参数取值范围试题解析：解：（1）椭圆化为标准方程为，∴，∴椭圆的离心率；（2）设，且，∵，∴，∴，∴∵，∴，∵，当且仅当，即时等号成立，∴．∴线段长度的最小值为．【考点】椭圆离心率，直线与椭圆位置关系【名师】1.求椭圆的离心率的方法．①直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值；②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率2.圆锥曲线中最值的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．6.若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】由双曲线的定义可知,,,即．,．【考点】1双曲线的定义；2双曲线的离心率．7.已知点P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是______________．【答案】【解析】抛物线的标准方程为，焦点为，由抛物线的定义知（当且仅当三点共线时等号成立）．故最小值为．【考点】抛物线的定义．【名师点晴】利用抛物线的定义可解决的常见问题:（1）轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线;（2）距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用.8.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】折叠后的对应点的连线相互平行，，，因此与点重合的点为，故选A．【考点】折叠问题．9.已知中心在原点，焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为中心在原点，焦点在轴的双曲线，所以可设该双曲线的方程为：，所以其渐近线的方程为，而双曲线的渐近线方程为，所以，所以，所以，故应选．【考点】1、双曲线的标准方程；2双曲线的简单几何性质．【思路点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，渗透着数形结合的数学思想和方程的数学思想，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件设出双曲线的方程，然后根据双曲线的方程求出其渐近线的方程，结合已知可得的等式关系，最后由即可得出之间的等式关系，进而得出其离心率的大小．10.已知两直线和．试确定的值，使（1）与相交于点；（2）∥；（3），且在轴上的截距为－1．【答案】（1）m＝1，n＝7．（2）m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2（3）m＝0，n＝8【解析】（1）将点P（m，-1）代入两直线方程，解出m和n的值；（2）由∥得斜率相等，求出m值，再把直线可能重合的情况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于-1，从而得到结论试题解析：（1）由题意得，解得m＝1，n＝7．（2）当m＝0时，显然l1不平行于l2；当m≠0时，由得∴或即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2．（3）当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2．又－＝－1，∴n＝8．即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1．【考点】1．直线平行垂直的位置关系；2．直线交点11.已知椭圆过点离心率，（1）求椭圆方程；（2）若过点的直线与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线的方程．【答案】（1）椭圆方程：（2）直线的方程：y="2x-2" 或 y=-2x+2．【解析】（1）求椭圆标准方程，要找到关于的两个等式，把点的坐标代入方程得一个等式，再由离心率是又得一个，两者联立，再结合可得结论；（2）直线与椭圆相交问题，设交点为，直线方程为（斜率不存在的直线不符题意，解题时说明一下），代入椭圆方程，消去参数，得的二次方程，由韦达定理得，而以AB为直径的圆过原点说明，即，即，借助刚才的结论可求得．试题解析：（1）由题意，，解得，椭圆方程：（2）由题义得，代入得：①设②由①．代入②得：【考点】椭圆标准方程；直线与椭圆相交问题．12.（2013秋•下城区校级期中）直线在y轴上的截距是（）A．|b|B．﹣b2C．b2D．±b【答案】B【解析】要求直线与y轴的截距，方法是令x=0求出y的值即可．解：令x=0，得：﹣=1，解得y=﹣b2．故选B【考点】直线的截距式方程．13.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知为直角三角形，且，，，．由数形结合可知当最小时取得最大值．作出不等式组表示的可行域如图:由得直线与的交点．由图可知，所以当最小时．故D正确．【考点】1线性规划；2直线与圆的位置关系问题．【思路点晴】本题主要考查的是线性规划，直线与圆的位置关系，属于中档题．从同一点引的两条直线与圆相切，由图像分析可得当两切线夹角最小时，此点与圆心的距离最大．即将问题转化为定点到可行域内点距离的最值问题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．14.椭圆内有一点P（3,2），过P点的弦恰好以P点为中点，则此弦所在的直线方程为．【答案】【解析】设过点的直线与椭圆交于两点其中点，则将两点代入题意方程作差可得：，即。
解析几何-高二上数学好题-原卷版
解析几何-高二上数学好题一、单选题1．已知椭圆C ：()22221,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，点M 在C 上，且12π2F MF ∠=，127π12A MA ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．23B ．423-C ．12D ．222．长为2的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则点B 关于点A 的对称点M 的轨迹方程为（）A ．22142x y +=B ．22142y x +=C ．221164x y +=D ．221164y x +=3．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知112BF F F ⊥，195BF =，11AF =，则光从焦点1F 出发经镜面反射后到达焦点2F 经过的路径长为（）A ．5B ．10C ．6D ．9二、多选题4．已知直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点M 为C 的准线与x 轴的交点，则下列结论正确的是（）A ．若125x x +=，则7AB =B ．过C 的焦点的最短弦长为4C ．当2AF FB =时，直线l 的倾斜角为π3D ．存在2条直线l ，使得AF BM BF AM ⋅=⋅成立5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，MN l ⊥于N ，直线NF 与C 交于A ，B两点，若2NA AF =，则（）A ．60MNF ∠=B ．43NF p =C ．3MB MN =D ．37sin 14NAM ∠=6．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是以FA 为半径的圆F 与抛物线C 的一个公共点，P是圆F 上的动点，则（）A ．直线BF x ⊥轴B ．直线AB 与抛物线C 相切C ．0PA PB ⋅≥ D ．)21PA PB p ⋅≤7．已知圆22:4C x y +=上的两个动点A ，B 始终满足||4AB =，直线:1l x my =+与x 轴交于点M （M ，A ，B 三点不共线），则（）A ．直线l 与圆C 恒有交点B ．0AM MB ⋅> C ．ABM 的面积的最大值为32D ．l 被圆C 截得的弦长最小值为8．已知圆1C ：()2221x y ++=，圆2C ：()2234x y -+=，P ，Q 分别是1C ，2C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为7B ．当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为8C ．当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ 的长可能为D ．当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ 的长可能为49．已知双曲线22:143x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 的右支上，过点P 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，则下列说法正确的是（）A ．12PF PF +的最小值为4B ．与C 仅有公共点P 的直线共有三条C ．若(4,3)P ，且P 为线段MN 的中点，则l 的方程为1y x =-D ．若l 与C 相切于点()0,1P x -，则M ，N 的纵坐标之积为4-10．在平面直角坐标系中，点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，则下列结论中正确的是（）A ．当3AF FB = 时，直线l 的斜率为B ．当3AF FB = 时，163AB =C ．90AOB ∠>︒D ．AMF BMF∠=∠11．如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且1PC '=，则下列结论中正确的是（）A ．若CMB D '⊥，则点M 的轨迹是线段B ．若保持13PM =，则点M 的运动轨迹长度为4π3C ．若点Q 在平面A BD '内，点G 为AC '的中点，且3QG QA +=，则点Q 的轨迹为一个椭圆D ．若点M 到AD 与C D ''的距离相等，则动点M 的轨迹是抛物线的一部分三、填空题12．设P 为圆O ：225x y +=上任意一点，过点P 作椭圆22132x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点O ，P 到直线AB 的距离分别为1d ，2d ，则12d d ⋅的值为．13．已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=，则()222R 2m x y mx my m +-++∈的最小值为．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线1l 和2l 相互平行，直线1l 与双曲线C 交于,A B 两点，直线2l 与双曲线C交于,D E 两点，直线AE 和BD 交于点P （异于坐标原点）.若直线1l 的斜率为3，直线(OP O 是坐标原点)的斜率1k ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为.15．已知F 为拋物线21:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，若1l 和2l 交于点P ，则225||PF AB +的最小值为.四、解答题16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率2,2e P =为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)若,C D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足：MD CD ⊥，连接CM 交椭圆于点,N O 为坐标原点，证明：OM ON ⋅为定值；(3)若点Q 为圆228x y +=上的动点，点(0,R ，求2QR QP PF +-的最小值．17．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，设动点P 的坐标为(),m n ．(1)若2,1m n ==，求过点P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；(2)设过动点P 的两条直线12,l l 均与C 相切，且12,l l 的斜率分别为12,k k ，满足()()12114k k --=．证明：动点P 在一条定直线上．18．已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，且过点81,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过1F 作一条斜率不为0的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，D 为椭圆的左顶点，若直线DP 、DQ 与直线:40l x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为R ，则MR NR ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．19．已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，右焦点(),0F c （0c >）到直线l ：2a x c =-的距离为5.(1)求E 的方程；(2)设过点F 的直线与E 的右支交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，Q （异于点F ），证明：512PQ AB <.20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F ，2F ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为(1)求椭圆的方程；(2)过2F 作不平行于坐标轴的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N ，若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程.21．已知点M 为圆22:(2)4C x y -+=上任意一点，()2,0B -，线段MB 的垂直平分线交直线MC 于点Q ．(1)求Q 点的轨迹方程；(2)设过点C 的直线l 与Q 点的轨迹交于点P ，且点P 在第一象限内．已知()1,0A -，请问是否存在常数λ，使得PCA PAC λ∠=∠恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．22．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .(1)求双曲线C 的方程；(2)点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.23．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>经过31,,(2,0)2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.作斜率为12的直线与椭圆G 交于,A B 两点（A 点在B 的左侧），且点D 在直线l 上方.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)证明：DAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.24．已知抛物线：22y x =，直线:4l y x =-，且点,B D 在抛物线上．(1)若点,A C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成菱形ABCD ，求直线BD 的方程；(2)若点A 为抛物线和直线l 的交点（位于x 轴下方），点C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成矩形ABCD ，求直线BD 的斜率．25．设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为A ，左焦点为F 2AF =．(1)求椭圆方程；(2)设过点A 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于点B （B 异于点A ），与直线1y =-交于点M ，点B 关于y 轴的对称点为E ，直线ME 与y 轴交于点N ，若AMN 的面积为169，求直线l 的方程．26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12,,A A B 分别为椭圆C 的左、右和上顶点，直线1A B 交直线:l y x =于点P ，且点P 的横坐标为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线与椭圆C 交于第二象限内,D E 两点，且E 在,P D 之间，1A E 与直线l 交于点M ，试判断直线1A D 与2A M 是否平行，并说明理由．。
高二数学解析几何练习题带答案
高二数学解析几何练习题带答案一、直线与平面的交点1. 已知直线AB的坐标为A（2，3，5）和B（-1，4，2），平面P 的方程为2x-y+z-1=0，求直线AB与平面P的交点。
解：设交点为M（x，y，z），则M同时满足直线AB的参数方程和平面P的方程，即：x = 2 + t(-1-2)y = 3 + t(4-3)z = 5 + t(2-5)代入平面P的方程得：2(2 + t(-1-2)) - (3 + t(4-3)) + (5 + t(2-5)) - 1 = 0化简得：-3t + 7 = 0解得t = 7/3代入直线AB的参数方程得：x = 2 + 7/3(-1-2) = -5/3y = 3 + 7/3(4-3) = 20/3z = 5 + 7/3(2-5) = -6/3所以，直线AB与平面P的交点为M(-5/3, 20/3, -6/3)。
二、直线的位置关系2. 设直线l1：(x-2)/3=y/2=(z-1)/4，直线l2：(x+1)/2=(y-3)/4=(z+2)/6，判断直线l1和直线l2的位置关系。
解：直线l1和l2方向向量分别为v1=(3,2,4)和v2=(2,4,6)。
若两条直线平行，则v1与v2平行或其比例相等。
计算v1与v2的比例：3/2 = 2/4 = 4/6 = 1/2所以，v1与v2的比例相等，即直线l1和l2平行。
若两条直线相交，则设交点为M(x,y,z)，满足直线l1和l2的参数方程。
由直线l1的参数方程可得：x = 2 + 3ty = 2tz = 1 + 4t代入直线l2的参数方程得：(2 + 3t + 1)/2 = (2t - 3)/4 = (1 + 4t + 2)/6化简得：3t + 1 = 4t - 6 = 4t + 3解得t = -7/3代入直线l1的参数方程得：x = 2 + 3(-7/3) = -19y = 2(-7/3) = -14/3z = 1 + 4(-7/3) = -19/3所以，直线l1和l2的交点为M(-19, -14/3, -19/3)。
高二数学解析几何试题
高二数学解析几何试题1.曲线与曲线的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】C【解析】，．，因此焦距相等，故选C．【考点】椭圆的定义2.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,则,点A在椭圆上且,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，∴，，，，∵，∴，又∵，∴，即，∴或（舍负），故答案为D．【考点】椭圆的简单性质．3.（本小题满分12分）已知双曲线, 若双曲线的渐近线过点, 且双曲线过点（1）求双曲线的方程;（2）若双曲线的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,求直线斜率的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）由双曲线的性质求曲线方程；（2）设出点P（x,y）的坐标，并表示出,注意圆锥曲线经常设而不求，所以如何利用x,y的关系是简化问题的突破口，根据斜率的形式，可求出，然后利用直线的斜率范围求出直线斜率的取值范围。
试题解析：（1）由题意, ,则,故双曲线．（2）设点,由题意,,,故又,则【考点】•求双曲线方程；‚求直线斜率范围。
4.圆与圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【答案】B【解析】由已知得，两圆心距离为，且两半径和，所以两圆外切．故选B．【考点】圆与圆的位置关系．5.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点，已知，，则___________．【答案】．【解析】过分别作准线的垂线交准线于，因为，，所以，，且，设，则．根据三角形的相似性可得：，即，解之得．而，即，所以，故应填．【考点】1、抛物线的定义；2、相似三角形的性质．【思路点睛】本题主要考查了抛物线的定义和相似三角形的性质，考查了学生综合运用能力和计算能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先过分别作准线的垂线交准线于，然后由抛物线的定义并结合已知条件，可得，，，且，再根据三角形的相似可得所求的答案．6.已知椭圆（a>b>0）的右焦点为F（3,0），点（0，－3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件可得：，所以，所以方程是，故选．【考点】椭圆的标准方程7.若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，把圆的方程化为标准方程为圆心坐标为（-2,0），半径r=3，令x=0得设A（0，）,又M（-1,0），直线过第一象限且过点M（-1,0），又因为直线与圆在第一象限内有交点，所以，故选C．【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，直线的斜率公式及数形结合的数学思想．8.设点，分别为椭圆：的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【解析】由题意以为直径的圆与椭圆有除以外的交点，圆方程为，由，得，此方程一根为，另一根为，则，，，所以．【考点】椭圆的几何性质．【名师】本题要求离心率的取值范围，就要列出一个不等式，分析题意“在椭圆上存在异于点，的点，使得”，说明以为直径的圆与椭圆的交点除顶点外至少还有一个（有对称性至少有2个），因此我们可以写出此圆方程与椭圆方程联立方程组，求得另外的交点坐标（因为已有一交点，此方程组易解），由椭圆的范围可得此交点的横坐标一定在区间上，所要的不等式出现了，问题得解．9.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的离心率，得，即，故双曲线的渐近线方程为，故选C．【考点】双曲线的简单几何性质．10.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切．（1）求椭圆标准方程；（2）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据离心率，求得，再根据直线与圆相切，可得，代入，求解的值，从而得到椭圆的方程；（2）利用直线方程与椭圆方程联立，得得，利用韦达定理得，假设存在点，化简与无关，得，代入可得，从确定定值．试题解析：（1）由得，即①又以原点O为圆心，椭圆C的长轴长为半径的圆为且与直线相切，所以代入①得c=2，所以．所以椭圆C的标准方程为（2）由得设，所以根据题意，假设轴上存在定点E（m，0），使得为定值．则=要使上式为定值，即与k无关，，得．此时，，所以在轴上存在定点E（，0）使得为定值，且定值为．【考点】椭圆的标准方程及简单的几何性质；直线与圆锥的综合问题，【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单的几何性质及其应用及直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档试题，本题的解答中，根据椭圆的离心率，确定的关系，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求解，从而求解椭圆的标准方程，第2问中，利用直线与椭圆方程联立，得到，假设存在点，化简，根据题设条件求解的值，代入确定向量的值，其中转化为利用韦达定理的应用是解答此类问题的关键．11.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（）A．4B．C．D．-4【答案】C【解析】，因为虚轴长是实轴长的2倍，所以，解得，故选C．【考点】双曲线的性质12.（2015秋•红桥区期末）圆（x﹣4）2+（y﹣1）2=5内一点P（3，0），则过P点的最短弦的弦长为．【答案】2．【解析】过点P的最短弦就是垂直于OP的弦，根据垂径定理和勾股定理可求得．解：由圆的标准方程：（x﹣4）2+（y﹣1）2=5，可得圆的圆心坐标为O（4，1），半径为，由于最短弦就是垂直于OP的弦，OP=所以过P点的最短弦的弦长为2=2．故答案为：2．【考点】直线与圆相交的性质．13.（2011•南宁模拟）已知拋物线y2=2px（p＞0）上一动点P，抛物线内一点A（3，2），F 为焦点且|PA|+|PF|的最小值为．（1）求抛物线的方程以及使得|PA|+|PF|取最小值时的P点坐标；（2）过（1）中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点，直线CD是否过一定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）（2，2）；（2）（4，﹣2）．【解析】（1）由已知，（|PA|+|PF|）min=3+，由此能求出抛物线方程和P点坐标．（2）设，，则直线CD的方程为，由PC⊥PD，得y 1y2=﹣8﹣2（y1+y2），代入直线CD，得，由此知直线CD过定点（4，﹣2）．解：（1）由已知，（|PA|+|PF|）min=3+，∴p=1，∴抛物线方程为：y2=2x，此时P点坐标为（2，2）．（2）设，，则直线CD的方程为：，即：，∵PC⊥PD，∴，∴y1y2=﹣8﹣2（y1+y2），代入直线CD，得，即：，∴直线CD过定点（4，﹣2）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．14.（2015秋•南充校级期中）已知P（﹣2，﹣3）和以Q为圆心的圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9．（1）求出以PQ为直径的圆Q1的一般式方程．（2）若圆Q和圆Q1交于A、B两点，直线PA、PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程．【答案】（1）（x﹣1）2+（y+）2=；（2）PB是以Q为圆心的圆的切线．（3）6x+5y=25【解析】（1）由圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9可得圆心Q（4，2）．线段PQ的中点Q1（1，﹣），|PQ1|=，即可得出．（2）由于∠PAQ是以PQ为直径的圆周角，可得∠PAQ=90°．因此直线PA是以Q为圆心的圆的切线．同理PB是以Q为圆心的圆的切线．（3）由于交点A，B既在圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9上，又在圆（x﹣1）2+（y+）2=上．两方程相减即可得出直线AB的方程．解：（1）由圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9可得圆心Q（4，2）．∴线段PQ的中点Q1（1，﹣），|PQ1|=．∴以PQ为直径，Q1为圆心的圆的方程为（x﹣1）2+（y+）2=；（2）∵∠PAQ是以PQ为直径的圆周角，∴∠PAQ=90°．∴直线PA是以Q为圆心的圆的切线．同理PB是以Q为圆心的圆的切线．（3）由于交点A，B既在圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9上，又在圆（x﹣1）2+（y+）2=上．两方程相减可得：6x+5y=25，即为直线AB的方程．【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．15.已知过点作圆的切线，切点分别为，那么的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示：直角三角形CAO中，CO=10，半径OA=5，∴∠ACO=30°，设点C到直线AB的距离为h=CD，直角三角形ACD中，cos∠ACO=cos30°∴h=CA•cos30°= ，【考点】1．圆的切线方程；2．点到直线的距离公式16.过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则．【答案】【解析】双曲线的右焦点为（2,0），其渐近线方程为，双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，可得．【考点】双曲线的性质．17.已知P为圆内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为__________.【答案】【解析】由题意知圆心到弦的距离最大，∴，，又直线过定点，∴直线的方程为，即.【考点】直线的方程．18.过椭圆C：+=1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．（0，]B．（，]C．[，1）D．（，1）【答案】C【解析】先确定P，Q坐标之间的关系，利用椭圆方程，可得Q点轨迹方程，从而可求离心率的取值范围．解：设P（x1，y1），Q（x，y），因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为（3，y）．又∵|HQ|=λ|PH|（λ≥1），所以=，∴由定比分点公式，可得x1=，y1=y，代入椭圆方程，得Q点轨迹方程为+=1∴离心率e==∈[，1）．故选：C．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．19.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【答案】A【解析】试题分析:利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程．解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得，∴，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．【考点】双曲线的简单性质．20.抛物线y2=6x的准线方程是（）A．x=3B．x=﹣3C．x=D．x=﹣【答案】D【解析】直接利用抛物线方程求得答案．解：由抛物线方程y2=6x，得2p=6，则p=3，∴，则抛物线y2=6x的准线方程是x=﹣．故选：D．【考点】抛物线的简单性质．21.双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,满足,则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由双曲线得标准方程，，所以，，设点是双曲线右支一点，则，因为，所以为直角三角形，且，所以，，故选A.【考点】双曲线定义.22.抛物线y＝ax2的准线方程为y＝2，则实数a的值为A．－B．C．8D．－8【答案】A【解析】抛物线标准方程为，准线方程为，解得，故选A.【考点】抛物线的简单几何性质23.已知直线经过点和点.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，并且与轴相切于点，求圆的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程试题解析：（Ⅰ）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为.（Ⅱ）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上.所以.所以圆心坐标为，半径为4.所以，圆的方程为.【考点】直线、圆的方程24.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为 .【答案】【解析】的圆心为,半径,抛物线的准线为,由题意可知.【考点】直线与圆的位置关系.25.已知点,圆,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.（Ⅰ）求的轨迹方程;（Ⅱ）当时,求的方程及的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出的坐标，由与数量积等于列式得的轨迹方程；（Ⅱ）设的轨迹的圆心为，由得到，求岀所在直线的斜率，由直线的方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形的面积公式得答案.试题解析：（Ⅰ）圆的方程可化为 ,所以圆心为,半径为.设,则 .由题设知,故,即 .由于点在圆的内部,所以的轨迹方程是.（Ⅱ）由(1)可知的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.由于,故在线段的垂直平分线上,又在圆上,从而.因为的斜率为,所以直线的斜率为,故的方程为 .又 ,到直线的距离为,故,所以的面积为 .【考点】1、直接法求轨迹方程；2、点到直线的距离公式及三角形面积公式.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意得动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（Ⅰ）就是利用方法①求的轨迹方程的.26.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在点或【解析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F，E，写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P试题解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以．所以，从而．所以椭圆的方程为．解法二：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．①因为点在椭圆上，所以．②由①②解得，，．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．假设在轴上存在点，使得为直角，则．即，即．解得或．故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．解法二：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（），则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．假设在轴上存在点，使得为直角，则．即，即．解得或．故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．【考点】椭圆的方程和简单性质，考查直线与圆位置关系的应用27.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．记CD＝2x，梯形面积为S.（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值．【答案】（1）S＝2(x＋r)，其定义域为{x|0<x<r}；（2）r2.【解析】（1）建立平面直角坐标系，得椭圆标准方程，即满足的方程：(y≥0)，由于，可解得y＝2 (0<x<r)．从而得梯形面积，其中；（2）要求最大值，可先求的最大值，这可由导数的知识求得解．试题解析：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图)，设点C的横坐标为x.点C的纵坐标y满足方程(y≥0)，解得y＝2 (0<x<r)．S＝ (2x＋2r) 2＝2(x＋r)·，其定义域为{x|0<x<r}．（2）记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r，则f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．令f ′(x)＝0，则x＝r.因为当0<x<时，f ′(x)>0；当<x<r时，f ′(x)<0，所以f(r)是f(x)的最大值．因此，当x＝r时，S取得最大值，最大值为＝r2，即梯形面积S的最大值为r2.【考点】椭圆在实际问题中的应用，用导数求函数的最值．28.已知曲线（为参数），（为参数）．（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若曲线和相交于两点，求．【答案】（1），曲线为经过和两点的直线，曲线为以为圆心，为半径的圆；（2）．【解析】（1）消去参数，即可得到直角坐标系下的普通方程，可判定曲线的轨迹；（2）把曲线的参数方程代入曲线中，利用根与系数的关系及弦长公式即可求解的长．试题解析：（1）曲线为经过和两点的直线；曲线为以为圆心，1为半径的圆． （2）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则．所以．【考点】参数方程与普通方程的互化；直线的参数方程中参数的几何意义．29. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos （θ－）＝2.求C 1与C 2交点的极坐标；（）【答案】，【解析】先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可试题解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋（y －2）2＝4 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. …4分 解 得所以C 1与C 2交点的极坐标为，【考点】点的极坐标和直角坐标的互化30. 下列在曲线上的点是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】参数方程消去参数变为普通方程可得，代入各点可得在曲线上【考点】参数方程31. 若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ．【答案】 【解析】若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.【考点】点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．32.若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆化为，圆与y正半轴交于因为过定点M（-1，0）且斜率为k的直线与圆在第一象限内的部分有交点，如图，所以，∴0＜k＜【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率33.已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），若，则的最小值是___________.【答案】【解析】如下图所示，由于，所以，所以的轨迹是的垂直平分线.中点为，斜率为，所以的轨迹方程为，即，表示的就是到原点的距离和到点的距离之和.如图所示，三点共线时取得最小值为.【考点】圆与圆的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查空间点线的距离，第一步利用切线和半径垂直，可以将转化为，也即可以得到的轨迹是的垂直平分线.利用中点和斜率，求出点的轨迹方程；第二部根据两点间的距离公式，可知题目是考查动点到两个定点的距离之和，当三点共线时，距离是最短的.34.在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．（1）求顶点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．①求四边形的面积的最小值；②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据得，所以为的重心，由②知是的外心，设求得，，根据化简得；（2）①由已知得，由此可设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系、弦长公式和点到直线距离公式求得面积的表达式，利用基本不等式求得最小值为；②根据中点坐标公式得，同理可求得，利用直线方程两点式求得直线方程，并令求得，所以直线过定点.试题解析：（1）∵，由①知，∴为的重心，设，则，由②知是的外心，∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．（2）解：恰为的右焦点，①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，由，设则，①根据焦半径公式得，又，所以，同理，则，当，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得，则直线的斜率为，∴直线的方程为，整理化简得，令，解得，∴直线恒过定点，②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，综上，的最小值的，直线恒过定点．【考点】直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．35.已知命题p：“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”，命题q：“函数的定义域为R”．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p q是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）（1，2）（2）【解析】若命题p为真命题：则3-m＞m-1＞0，解得m范围．若命题q为真命题：则△＜0，解得m取值范围．再利用复合命题的真假判定方法即可得出试题解析：∵命题p：“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”，∴3﹣m＞m﹣1＞0，解得1＜m＜2．命题q：“函数f（x）=lg（x2﹣mx+）的定义域为R”，∴△=m2﹣4×＜0，解得．（1）由命题p为真命题，则实数m的取值范围是（1，2）；（2）若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，∴，解得．∴实数m的取值范围是．【考点】椭圆的标准方程及其性质、对数函数的性质、复合命题的真假的判定方法36.过点(3,1)作圆的弦,其中最短的弦长为__________【答案】【解析】由圆的方程可知圆心，所以最短的弦长为【考点】直线与圆相交问题37.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)不存在．【解析】(Ⅰ)设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义和焦点坐标求出有关参数值，进而得到椭圆的标准方程；(Ⅱ)先假设存在符合题意的直线，并设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式为正和点到直线的距离公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得，又，∴.故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）假设存在符合题意的直线，其方程为.由得.∵直线与椭圆有公共点，∴，解得.另一方面，直线与的距离等于4，可得，从而.由于，∴符合题意的直线不存在.【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线和椭圆的位置关系．38.已知圆C与y轴相切,圆心C在直线上,且截直线的弦长为2,求圆C 的方程.【答案】或【解析】求圆的方程采用待定系数法，首先设出圆的标准方程，由已知条件求得值，从而得到圆的方程:x-3y=0上, ∴可设圆心为C(3t,t).试题解析：∵圆心C在直线l1又∵圆C与y轴相切, ∴圆的半径r=|3t|.∴,解得∴所求的圆的方程为或-----12分【考点】圆的方程39.过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若,则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C：bx-ay=0交于B，【解析】直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx+ay=0交于C，A（a，0），l与渐近线l2∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质40.已知椭圆：的离心率为，右顶点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）依题意有，解得，故椭圆方程为.（II）联立直线的方程和椭圆的方程，消去，写出韦达定理，由此计算为定值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，由消去，得，易知，得．所以为定值方法二：（ⅰ）当直线斜率不存在时，所以（ⅱ）当直线斜率存在时，设直线方程为，由消去，得，易知，．所以为定值.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，圆锥曲线为椭圆.第一问求椭圆的标准方程，主要根据已知条件，列出两个方程，结合隐含条件，即可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.第二问要求两个斜率的乘积，则先假设出直线方程，联立方程组后利用韦达定理写出根与系数关系，代入斜率的乘积然后化简，就可以求得相应的定值.41.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是() A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1【答案】C【解析】设，设PQ的中点为M的坐标为，则有，又点P在圆x2＋y2＝1上，所以，故选择C【考点】求轨迹方程42.过点与圆相切的直线方程为__________________.【答案】【解析】由题中条件可知直线的斜率存在，可设直线方程为。
高二数学综合测试解析几何部分
高二数学综合测试解析几何局部一、选择题1、圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0,当直线l 被C 截得的弦长为32时,a 的值为 ( )A 、2B 、22-C 、12-D 、12+2、光线由A(-1, 3)射入,经过直线x+y+1=0反射,假设反射光线经过点B(4,-2),那么反射光线所在直线的方程为 ( )A 、x+4y+4=0B 、4x+y+4=0C 、4x+4y+1=0D 、x-4y-1=03、设) 2(ππθ，∈,那么直线01sin cos =++θθy x 的倾斜角为 ( ) A 、2πθ- B 、θ C 、2πθ+ D 、θπ-4、如果直线y=ax+2与y=3x-b 关于直线y=x 对称,那么 ( )A 、a=31,b=6B 、a=31,b=-6 C 、a=3,b=-2 D 、a=3,b=6 5、直线x+my+6=0与(m-2)x+3y+2m=0互相平行,那么实数m 的值为 ( )A 、-1或3B 、-1C 、-3D 、1或36、直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),那么m-n+p 的值为 ( )A 、24B 、20C 、0D 、-47、抛物线2ax y =的准线方程是y=2,那么a 的值为 〔 〕A 、81B 、－81 C 、8 D 、－8 8、双曲线中央在原点且一个焦点为F 〔7,0〕直线y=x -1与其相交于M 、N 两点,MN 中点的横坐标为32-,那么此双曲线的方程是 〔 〕 A 、14322=-y x B 、13422=-y x C 、12522=-y x D 、15222=-y x 9、假设点〔3,1〕和〔-4,6〕在直线3x －2y ＋a=0的两侧,那么a 的取值范围是( )A 、a<－7或a>24B 、－7<a<24C 、a=－7或a=24D 、以上都不对二、填空题10、假设双曲线1492222=-ky k x 与圆x 2+y 2=1没有公共点,那么实数k 的取值范围为___________.11、倾斜角为α的直线经过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F,与抛物线交于A 、B 两点,那么线段AB 的长为_________________.12、抛物线y=241x 的焦点为F,定点A(-1, 8),P 为抛物线上的动点,那么|PA|+|PF|的最小值为___________________. 13、设F 为双曲线1322=-y x 的右焦点,定点A(-2, 2),点P 在双曲线上,那么|PA|+21|PF|的最小值是_______________.14、过椭圆141622=+y x 内一点M(2, 1)引一条弦,使弦被M 点平分,那么这条弦所在的直线方程为_________________.15、假设曲线y=1+24x -与直线y=k(x-2)+4有两个交点,那么实数k 的取值范围为_________.16、假设双曲线的两条渐近线的夹角是60°,那么它的离心率为______________.17、中央在原点的双曲线的一个焦点是F 1(-4, 0),一条浙近线的方程是3x-2y=0,那么双曲线的方程是_______________________.18、假设原点在直线l 上的射影为P(2,-1),那么直线l 的方程为_________________.19、假设P 是直线 3x+2y+2=0上的一点,且到A(0, 1)、B(2, 0)的距离之差的绝对值最大,那么点P 的坐标为____________________.20、直线ax+by+16=0与x-2y=0平行,并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点,那么a=_____,b=______. 21、椭圆13422=+y x 上的点到焦点的距离是25,那么该点坐标是______________. 22、过椭圆x 2+2y 2=4的左焦点作倾斜角为3π的弦AB,那么弦AB 的长为____________. 23、过点P(3) 3，作圆x 2+y 2=9的切线,两切点所在直线方程为__________________. 24、假设抛物线y 2-mx+4m+1=0的准线与比曲双的左准线重合三、解做题25、自点P(-3, 3)发出的光线l 经x 轴反射,其反射光线所在直线方程正好与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切,求入射光线l 所在直线方程.26、求过点A(4,-1)且与圆x 2+y 2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程.27、点P 是椭圆16x 2+25y 2=1600上一点,F 1、F 2是椭圆的两个焦点.又知点P 在x 轴上方,F 2为椭圆的右焦点,直线PF 2的斜率为34 ,求△PF 1F 2的面积.28、过点B(1, 1)能否作直线l,使它与双曲线1222=-y x 交于Q 1和Q 2两点,且点B 是线段Q 1Q 2的中点？如果存在,求出方程；如不存在,说明理由.29、点A(0, 1),点B(2,3)及曲线C ：y=x 2+mx+2 (m ∈R),(1) 求证曲线C 过定点,并求此定点坐标；(2) 假设曲线C 和线段AB 有两个交点,求m 的取值范围；23-≤m<-1 (3) 当m 为何值时,可使曲线C 在线段AB 上所截得的弦最长？并求出这个最大弦长.223参考答案：1、C2、A3、A4、A5、B6、B7、B8、D9、B10、k>31或k<31- 11、α2sin 2p 12、9 13、25 14、x+2y-4=0 15、］45 ,125( 16、2或332 17、114413641322=-y x 18、x+2y-2=0 19、(-2,2) 20、a=2、 b=4 21、()23 (1 )23 ,1±±， 22、)3132(-，23、716 24、0933=-+y x 25、28。
2023年高二数学解析几何基础试题
2023年高二数学解析几何基础试题一、选择题1. 设平面α过点A(3, 1, 2)，且垂直于向量u = (2, 1, -1)，则平面α的解析式为（）A. 2x + y - z - 5 = 0B. 2x + y - z + 5 = 0C. 2x + y + z - 5 = 0D. 2x + y + z + 5 = 02. 已知直线l的对称式方程为(x - 3)/2 = (y + 2)/(-1) = z/3，点A(1, -1, -2)在直线l上，则直线l的参数方程为（）A. x = 2t + 3, y = -t - 2, z = 3tB. x = 2t - 3, y = -t - 2, z = 3tC. x = 2t + 3, y = t - 2, z = 3tD. x = 2t - 3, y = t - 2, z = 3t3. 在直线l：(x - 1)/2 = (y + 3)/(-1) = (z - 4)/3 上选一点，记为P，过点P作平面α与平面x + y + z = 0 平行，则平面α的解析式为（）A. 2x - y - z + 1 = 0B. 2x + y - z - 1 = 0C. 2x - y + z + 1 = 0D. 2x + y + z - 1 = 0二、计算题解析几何部分1. 已知平面α过点A(2, 1, 3)和点B(1, -1, 2)，且与直线l：(x + 2)/1 = (y - 3)/-2 = (z - 1)/3 平行，求平面α的解析式。
解：设平面α的解析式为Ax + By + Cz + D = 0。
因为平面α过点A(2, 1, 3)，代入得2A + B + 3C + D = 0。
(1)又因为平面α过点B(1, -1, 2)，代入得A - B + 2C + D = 0。
(2)又因为平面α与直线l平行，所以平面α的法向量与直线l的方向向量平行，即(1, -2, 3)与(A, B, C)平行。
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高二数学解析几何综合提高【本讲主要内容】解析几何综合提高直角坐标系（平面及空间），直线和圆的方程，简单的线性归划，直线与圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 两点间距离公式：①数轴上：d A B x x ()||，=-21②平面上：d A B x x y y ()()()，=-+-212212③空间：d A B x x y y z z ()()()()，=-+-+-212212212平面上线段AB 的中点坐标公式x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1212222. 直线的倾斜角、斜率直线的倾斜角α∈︒︒[)0180，；直线的斜率：k k y y x x ==--tan α，2121直线的斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要特征数值，在判断两条直线的位置关系和确定它们的夹角等问题中起着关键作用。
3. 直线的方程：①点斜式：y y k x x -=-00() ②斜截式：y kx b =+ ③两点式：），（2121121121x x y y x x x x y y y y ≠≠--=--④截距式：x a yb+=1⑤一般式：Ax By C A B ++=00（、不全为）4. 两条直线的位置关系：若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2 则：l l 12//⇔k k b b 1212=≠且 l l 12⊥⇔k k 121⋅=- l 1与l 2的夹角公式：tan θ=-+k k k k 21211（θ为l 1与l 2的夹角）点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax By C ++=0的距离公式：d Ax By C A B=+++||00225. 简单的线性归划：在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax By C ++>0表示在直线Ax By C ++=0的某一侧的平面区域。
简单的线性归划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax ＋by 的最值问题，一些实际问题可以借助这种方法解决。
6. 曲线和方程：把曲线看作适合某种条件P 的点M 的集合P ＝{M|P(M)}，建立直角坐标系后，点集P 中任一元素M 都有一个有序实数对（x ，y ）和它对应，（x ，y ）是某个二元方程f(x,y)＝0的解，反之以二元方程f(x,y)＝0的解为坐标，都有一点M 与它对应，且M 是点集P 中的一个元素。
这种对应关系就是曲线与方程的关系。
7. 圆的方程：标准方程：()()x a y b r -+-=222，其中圆心是（a ，b ），半径为r 一般方程：x y Dx Ey F D E F 2222040++++=+->，其中参数方程：)b ,a (sin r b y cos a x ，其中圆心⎩⎨⎧+=+=θθ，半径为r ，θ为参数8. 直线与圆的位置关系：相切：d ＝r 相离：d>r 相交：d<r 其中：d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径【解题方法指导】例1. 如图，圆x y 228+=内有一点P 012（，）-，AB 为过P 0点且倾斜角为α的弦。
（1）当απ=34时，求AB 的长。
（2）当弦AB 被点P 0平分时，写出AB 的直线方程。
x解：（1）当απ=34时，直线AB 的斜率为k ==-tan341π直线AB 的方程为：y x -=-+21() 即：y x =-+1 ① 把①代入x y 228+=，得 x x 2218+-+=() 即22702x x --= 解此方程得x =-±1152所以，||||cos||AB x x x x =-=-=⨯=21214221530π（2）当弦AB 被点P 0平分时，OP AB 0⊥，直线O P 0的斜率为－2，所以直线AB 的斜率为12，根据点斜式，直线AB 的方程为y x -=+2121()即x y -+=250 点评：（1）中求|AB|时，由直线的方程和圆的方程联立消元得一元二次方程。
此法是解直线与二次曲线问题的通则通法，本题求出A 、B 的横坐标后，在直角三角形中求出了|AB|比较简单。
例2. 求证到圆心距离为a （a>0）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。
证明：建立平面直角坐标系（如图）x设圆O 的坐标为（0，0），半径为r 圆A 的坐标为A （a ，0），半径为R过点P （x ，y ）的直线PB 与圆O 相切于点B 直线PC 与圆A 相切于点C ，且PB ＝PC圆O 的方程为x y r 222+=，圆A 的方程为()x a y R -+=222 ∵PB ＝PC ∴PB PC 22=由勾股定理得PO OB PA AC 2222-=-即x y r x a y R 222222+-=-+-()化简得x a r R aa =+->22220（）这就是点P 的轨迹方程，它表示一条垂直于x 轴的直线点评：恰当建立坐标系，可简化运算过程且所得轨迹方程形式简单。
【考点突破】【考点指要】本部分内容在高考题中，主要考查两类问题，基本概念题和求在不同条件下的直线方程大都属中、低档题，以选择和填空形式出现，每年必考。
直线与圆综合性试题，此类题难度属中等，一般以选择题形式出现，偶尔也有大题出现，高考比重10~15分。
【典型例题分析】例3. （’05苏，19）如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O O 124=。
过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 为切点），使得PM =2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程。
x解：如图，以O O 12的中点O 为原点，O O 12所在的直线为x 轴，建立直角坐标系则O 1（－2，0），O 2（2，0） 由已知PM PN =2 得PM PN 222=因为两圆的半径均为1所以PO PO 1222121-=-()设P （x ，y ），则()[()]x y x y ++-=-+-212212222 即()x y -+=63322所以，所求的轨迹方程为()x y x y x -+=+-+=63312302222（或）点评：本题考查了建立直角坐标系、求曲线方程的方法及圆的有关知识，属中档题。
例4. （’04成都第三次检测，22）如图，已知⊙A ：()x y ++=225422，⊙B ：()x y -+=21422，动圆P 与⊙A 、⊙B 都相切。
（I ）求动圆圆心P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（II ）若直线y ＝kx ＋1与（I ）中的曲线有两个不同的交点P 1、P 2，求k 的取值范围。
（III ）若直线l 垂直平分（II ）中弦P 1P 2，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。
x解：（I ）设⊙P 的圆心P （x ，y ），半径为R 由题设，有||||PA R PB R =+=+5212，∴-=||||PA PB 2∴⊙P 的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x 轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为x y x 22310-=>（）（II ）由y kx x y x k x kx x =+-=>⎧⎨⎪⎩⎪---=>1310324002222（）有（）() ①因为直线与双曲线有两个不同交点∴>+>⋅>-≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒<-<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒-<<<-<<<->⎧⎨⎪⎩⎪∆000304303223033312122222x x x x k k kk k k k k k k 或或 ∴-<<-23k（III ）设P P M x y x x x kk M M M 1212223的中点，，则()=+=-又M 在y kx =+1上∴y kx k M M =+=-1332∴M （k k k 33322--，）P 1P 2的垂直平分线l 的方程 y y kx x M M -=--1() 即y k k x kk--=---331322() 令x ＝0得截距b kk =-∈--43232()，又-<<-23k∴b b <->443或点评：本题考查了圆和圆的位置关系；双曲线定义、标准方程；直线与双曲线的位置关系等，是一道综合性较强的题目，属难题。
第（I ）问中得出双曲线的标准方程时，一定要考虑是双曲线的一支还是两支，要写出x 的范围。
【综合测试】一、选择题（本大题共6个小题，共30分）1. （’05浙，2）点（1，－1）到直线x y -+=10的距离是（ ） A.12B.32C.22D.3222. （’05全国III ，2）已知过点A （－2，m ）和B （m ，4）的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A. 0B. －8C. 2D. 103. 过点A （4，a ）和B （5，b ）的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB|的值为（ ）A. 6B. 2C. 2D. 不能确定 4. （’05湘，4）已知点P （x ，y ）在不等式组x y x y -≤-≤+-≥⎧⎨⎪⎩⎪2010220表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A. [－2，－1]B. [－2，1]C. [－1，2]D. [1，2] 5. （’04湖北，4）两个圆C 1：x y x y 222220+++-=与C 2：x y x y 224210+--+=的公切线有且仅有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6. （’05辽，9）若直线20x y C -+=按向量a ＝（1，－1）平移后与圆x y 225+=相切，则C 的值为（ ） A. 8或－2 B. 6或－4 C. 4或－6 D. 2或－8二、填空题：（本大题共4个小题，共20分）7. （’04上海理，8）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4），B （0，－2），则圆C 的方程为_____________。
8. 直线l 1：1x 3y +=与l 2：y =3的夹角为α，则α等于_____________，过点（0，1）且与l 1垂直的直线方程是_____________。
9. （’04北京理，12）曲线C ：x y ==-+⎧⎨⎩cos sin θθθ1（为参数）的普通方程是_____________，如果曲线C 与直线x y a ++=0有公共点，那么实数a 的取值范围是_____________。
10. （’03黄冈第一次调研，14）设l 1的倾斜角为α，α∈()02，π，l 1绕l 1上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转πα2-角得直线l 3：x y +-=210，则l 1方程为_____________。