图论模型的建立

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图论建模
例1、奇怪的电梯（LIFT.???） 问题描述： 呵呵，有一天我做了一个梦，梦见了一种很奇怪的电梯。大楼的每一层楼都可以停电梯，而且第i层 楼(1<=i<=N)上有一个数字Ki(0<=Ki<=N)。电梯只有四个按钮：开，关，上，下。上下的层数等于当前楼 层上的那个数字。当然，如果不能满足要求，相应的按钮就会失灵。例如：3 3 1 2 5代表了 Ki(K1=3,K2=3,……)，从一楼开始。在一楼，按“上”可以到4楼，按“下”是不起作用的，因为没有-2 楼。那么，从A楼到B楼至少要按几次按钮呢？
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主要程序段如下： for i:=1 to n do s[i]:=maxlongint; s[a]:=0;r:=[a];x:=1; while (s[b]=maxlongint)and(x<>0) do {宽度优先搜索} begin x:=0;r1:=[]; for i:=1 to n do if i in r then {求出上一层的顶点，进行枚举} begin if (i+k[i]<=n)and(s[i]+1<s[i+k[i]])then {如果可以向上乘电梯} begin x:=x+1; s[i+k[i]]:=s[i]+1; r1:=r1+[i+k[i]] end; if (i-k[i]>=0)and(s[i]+1<s[i-k[i]])then {如果能向下乘电梯} begin x:=x+1; s[i-k[i]]:=s[i]+1; r1:=r1+[i-k[i]] end; end; r:=r1 end; if s[b]<>maxlongint then writeln(s[b]) else writeln(-1); 常州市第一中学 林厚从
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[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索， 由于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 2、对于A楼而言，实际上对它最多只能做2个操作， 上到A+X层或下到A-X层，当然前提是存在A+X或A-X层。显 然，如果把每一层楼看做一个顶点，如果A楼可以到B楼， 则从顶点A引一条到顶点B的边。对于样例，如下图： 这样一来，问题就变成了图论中的两顶点间最短路径 问题了！我们只要套用FLOYD算法等编程就可以了，当然 权要设为1。
[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索，由 于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 我们可以用一个集合记录上一层到达层，并用一个变量来 储存集合中的个数，当某次搜索后，该变量值为0，那么可见 以后的搜索也不会有新的层被加入，这就是输出“-1”的时候。 设：n是总层数,a是起始层,b是终止层, x是记录上层到达层数的个数； r,r1:set of 1..200; {记录上一次到达层的集合} k,s:array[1..200]of longint; {记录到达该层所需的次数}
输入：
输入文件共有二行，第一行为三个用空格隔开的正整数，表示N,A,B(1≤N≤200, 1≤A,B≤N)，第二 行为N个用1个空格隔开的正整数，表示Ki。 输出： 输出文件仅一行，即最少按键次数,若无法到达，则输出-1。
样例输入：
5 1 5 3 3 1 2 5 样例输出：
3
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一般通过《数据结构》来学习图论，但它介绍的 往往只限于图论的基本要素、基本概念、相关理论、 经典算法等，至于如何建立图论模型，如何运用这些 理论、算法来研究图论问题，都只有靠自己理解和领 会，并通过大量实践来验证这些理解和感觉，通过摸 索、总结来提高。
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在建立图论模型的过程中，常常会遇到一些困 难，例如难以建立顶点、边、权这些关系，或是原 型中的一些重要因素无法纳入现有模型，或是现有 模型虽然能表示原型，但却无法求解等等。但最困 难的还是很多题目拿到手后，无法想到要把问题转 化成图论模型来求解，是“想不到”而不是“做不 到”。为了克服这些困难，就需要用到某些独特的 思想、方法和技巧，多学习、多比较、多应用。
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例2、渡河问题（river） 一个人带了一只狼、一只羊和一棵白菜想要过河，河上有一只独木船， 每次除了人以外，只能带一样东西。另外如果人不在旁边时狼就要吃羊，羊 就要吃白菜。问：应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西带过河，在河 上来回的次数又最少呢？ [问题分析] 我们用变量M代表人、W代表狼、S代表羊、V代表白菜，∮代表空（什 么都没有）。开始时设人和所有东西都在左岸，这种情况用MWSV表示。 我们用一个集合表示目前左岸的情况，很明显，可能出现16种情况： [MWSV] [MWS] [MWV] [MSV] [WSV] [MW] [MS] [MV] [WS] [WV] [SV] [M] [W] [S] [V] [∮] 但要剔除掉6种可能发生狼吃羊和羊吃白菜的情况（红色），实际是10 种。下面我们就把这10种情况作为10个顶点，来构造一个无向图G，图G的边 按下列原则来定义：如果经过一次渡河，情况甲能变成情况乙，那么就在情 况甲与情况乙之间连一条边。得到下图：
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[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索， 由于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 2、对于A楼而言，实际上对它最多只能做2个操作， 上到A+X层或下到A-X层，当然前提是存在A+X或A-X层。显 然，如果把每一层楼看做一个顶点，如果A楼可以到B楼， 则从顶点A引一条到顶点B的边。对于样例，如下图：
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图论模型和其它模型在研究方法上有着很大的 不同，例如可以运用典型的图论算法来对图论模型 进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模 型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所 不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种 直观的结构来描述的也很少。
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图论建模是指对一些客观事物进行抽象、化简， 并利用图来描述事物特征及其内在联系的过程。建 立图论模型的目的和建立其它数学模型一样，都是 为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以 是存在性或构造性问题；并且和几何模型、运筹学 模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用到 集合、映射、函数等基本的数学概念和工具。