2021年高中数学课时作业18对数函数及其性质的应用新人教A版必修

2021年高中数学课时作业18对数函数及其性质的应用新人教A 版必修 |基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图像过点(4,0)和(7,1)，则f (x )在定义域上是
( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．奇函数
D ．偶函数
【解析】 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式，
有⎩
⎪⎨⎪⎧
0＝log a 4－m 1＝log a 7－m ， 解得a ＝4，m ＝3，
则有f (x )＝log 4(x －3)．
由于定义域是x >3，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．
【答案】 A
2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )
【解析】 当x >1时，f (x )＝ln(x －1)，
又f (x )的图像关于x ＝1对称，故选B.
【答案】 B
3．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A ．f (3)<f (－2)<f (1)
B ．f (1)<f (－2)<f (3)
C ．f (－2)<f (1)<f (3)
D ．f (3)<f (1)<f (－2)
【解析】 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)． 又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，
所以f (2)＝f (－2)，
所以f (1)<f (－2)<f (3)．
【答案】 B
4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )
A.14
B.12
C ．2
D ．4
【解析】 无论a >1还是0<a <1，f (x )都在[0,1]上是单调函数，
所以a ＝(a 0＋log a 1)＋(a ＋log a 2)，
所以a ＝1＋a ＋log a 2，
所以log a 2＝－1，所以a ＝12
. 【答案】 B
5．若a >b >0,0<c <1，则( )
A ．log a c <log b c
B ．log c a <log c b
C ．a c <b c
D ．c a >c b
【解析】 法一：因为0<c <1，所以y ＝log c x 在(0，＋∞)单调递减，又0<b <a ，所以log c a <log c b ，故选B.
法二：取a ＝4，b ＝2，c ＝12，则log 412＝－12>log 212，排除A ；412＝2>212，排除C ；⎝ ⎛⎭⎪⎫124<⎝ ⎛⎭
⎪⎫122，排除D ；故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若a >0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋2的图像恒过定点________．
【解析】 当x －1＝1时，log a (2－1)＝0，
所以函数过定点(2,2)．
【答案】 (2,2)
7．已知函数f (x )＝log 2a －x 1＋x
为奇函数，则实数a 的值为________． 【解析】 由奇函数得f (x )＝－f (－x )，
log 2 a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x
， a －x 1＋x ＝1－x a ＋x
，a 2＝1， 因为a ≠－1，
所以a ＝1.
【答案】 1
8．设函数
若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0log 2a >－log 2a 或解得a >1
或－1<a <0.
【答案】 (－1,0)∪(1，＋∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数y ＝(log x )2－12
log x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值． 【解析】 利用换元法，转化为二次函数问题来解决．
由y ＝log x 在区间[2,4]上为减函数知，
log2≥log x ≥log4，即－2≤log x ≤－1.
若设t ＝log x ，
则－2≤t ≤－1，且y ＝t 2－12
t ＋5. 而y ＝t 2－12t ＋5的图像的对称轴为t ＝14，且在区间⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，14上为减函数， 而[－2，－1]⊆⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，14. 所以当t ＝－2，即x ＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t ＝－1，即x ＝2时，此函数取得最小值，最小值为132
. 10．已知log a (2a ＋3)<log a 3a ，求a 的取值范围．
【解析】 (1)当a >1时，原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧ a >12a ＋3<3a
2a ＋3>0，解得a >3.
(2)当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12a ＋3>3a
3a >0，
解得0<a <1.
综上所述，a 的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若函数y ＝a |x |
(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
【解析】 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.
【答案】 A
12．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2a x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________． 【解析】 要使函数f (x )的值域为R ， 需使⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <12a ≥－1.
所以－1≤a <12
. 【答案】 ⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 13．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图像上时，点⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3，y
2在函数y ＝g (x )的图像上．
(1)写出y ＝g (x )的解析式；
(2)求方程f (x )－g (x )＝0的根． 【解析】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝f x ＝log 2x ＋1y 2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，
则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12
log 2(x ＋1)， 故g (x )＝12
log 2(3x ＋1)． (2)由f (x )－g (x )＝0得，
log 2(x ＋1)＝12
log 2(3x ＋1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>03x ＋1>0
3x ＋1＝x ＋1
2， 解得，x ＝0或x ＝1.
14．已知a >0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2
－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)求f (x )；
(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；
(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )<0，求m 的取值范围．
【解析】 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，
则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝
⎛⎭⎪⎫a t －1a t ， 所以f (x )＝a a 2－1(a x －a －x
)(x ∈R )； (2)因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x
) ＝－f (x )，
且x ∈R ，所以f (x )为奇函数．
当a >1时，a x －a －x 为增函数，
并且注意到a
a 2－1
>0， 所以这时f (x )为增函数；
当0<a <1时，类似可证f (x )为增函数．
所以f (x )在R 上为增函数；
(3)因为f (1－m )＋f (1－2m )<0，且f (x )为奇函数，
所以f (1－m )<f (2m －1)．
因为f (x )在(－1,1)上为增函数，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－m <1－1<2m －1<1
1－m <2m －1.
解之，得23<m <1. 即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1.。