8下第14讲反比例函数培优

反比例函数

重难点

1、反比例函数的解析式有三种形式：

的常数）

（；；01

≠===

-k k xy kx

y x

k y

2、反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，双曲线x

k y =

的位置关系及增减性由比例系数k

决定，图象都无限接近但永远不能到达x 轴，y 轴。

3、反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，又是轴对称图形，对称轴是一三象限或二四象限的角平分线。

4、过反比例函数图象上的点作一条坐标轴的垂线段，则该点与垂足、原点组成的直角三角形面积

k

xy S 2121=

=

。（k 的几何意义）

经典例题

例1、对于反比例函数x

y 1=

，下列说法中正确的是（ ）

A 、图象经过点（1，-1） ；

B 、图象位于第二四象限

C 、图象是中心对称图形 ；

D 、当x ＜0时，y 随x 的增大而增大

举一反三

1.1、如图，点A （3，n ）在双曲线x

y 3=

上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ．线段OA 的垂直平分

线交OC 于点M ，则△AMC 周长的值是_____________

1.2、反比例函数x

y 2=

图象上的两点为()）

，，（

，2211y x y x ，且21x x ＜,则下列关系中成立的是

1.3、如图，在等腰Rt △OBA 和等腰△BCD 中，∠OBA=∠BCD=90°，点A 和点C 都在双曲线()

04＞x x

y =

上，求点D 的坐标。

1.4、定义：已知反比例函数

x

k y 1=

与x

k y 2=

，如果存在函数

x

k k y 21=

，（021＞k k ）则称函数

x

k k y 21=

为这两个函数的中和函数．

（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为x

y 2=

，并且其中一个函数满足：当x ＜0时，y 随x

的增大而增大． （2）函数

x

y 3-=

和

x

y 12-=

的中和函数

x

k y =

的图象和函数y=2x 的图象相交于两点，试求当

x

k y =

的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围．

1.5、如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线x

k y =

过OA 的中点，已知等边三角形

的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）

1.6、图1所示矩形ABCD 中，BC=x ，CD=y ，y 与x 满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．当x=3时，EC ＜EM B ．当y=9时，EC ＞EM

C ．当x 增大时，EC •CF 的值增大

D ．当y 增大时，B

E •D

F 的值不变

1.7、函数x

x y 3+

=的图象如图所示，关于该函数，下列结论中正确的是____________

①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当x ＞0时，函数有最小值； ④点（1，4）在函数图象上；⑤当x ＜1或x ＞3时，y ＞4．

例2、如图，点A 在双曲线x

y 1=

上，点B 在双曲线x

y 3=

上，且AB ∥x 轴，点C,D 在x 轴上，若

四边形ABCD 为矩形，则它的面积为____________

2.1、在平面直角坐标系中，若一条平行于x 轴的直线l 分别交双曲线x

y 6-

=和x

y 2=

于A ，B 两点，

P 是x 轴上的任意一点，则△ABP 的面积等于____________

2.2、如图所示，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5…，过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5…分别

作x 轴的垂线与反比例函数x

y 4=

的图象交于点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5…，并设△OA 1P 1、△A 1A 2P 2、△A 2A 3P 3…

面积分别为S 1、S 2、S 3…，按此作法进行下去，则S n 的值为_________（n 为正整数）．

2.3、如图，直线y=mx 与双曲线x

k y =

交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为点M ，连接BM ，

若S △ABM =2，则k 的值为____________

2.4、下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）

A,B 两点，求：

（1）根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．

举一反三

3.1、已知直线y=kx （k ＞0）与双曲线x

y 3=

交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2＋x 2y 1

的值为______________

3.2、如图，函数y 1=x-1和函数x

y 22=

的图象相交于点M （2，m ），N （-1，n ），若y 1＞y 2，则x

的取值范围是_____________

3.3、如图，双曲线x

m y =

与直线y=kx+b 交于点M 、N ，并且点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐

标为-1．根据图象信息可得关于x 的方程b

kx x

m

+=的解为_____________