随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第三章-习题讲解

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求

（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。

（3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）

（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)

X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？

解

[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim 2T

T T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞

⇒⎣⎦==⎰是平稳过程

()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)4

1132(1

)224414414(2)121tan 13224X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x ττωωωωωππ

ωωπωωπ

ω

πωω∞

----∞∞

-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦

====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭

=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()

方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率

法功)

2

d ω=

3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-

[]

[]:

()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T

R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦

=-