数制的概念

数制的概念（number systems)
进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。

可使用数字符号的数目称为基数(en:radix)或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。

现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。

比如：十进数57(10)，可以用二进制表示为111001(2)，也可以用五进制表示为212(5)，也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16)，它们所代表的数值都是一样的。

数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。

任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理，存储和传输。

编辑本段十进制数（Decimal）
人们通常使用的是十进制。

它的特点有两个：有0，1，2….9十个基本数字组成，十进制数运算是按“逢十进一”的规则进行的.
在计算机中，除了十进制数外，经常使用的数制还有二进制数和十六进制数.在运算中它们分别遵循的是逢二进一和逢十六进一的法则.
编辑本段二进制数（Binary）
二进制数有两个特点：它由两个基本数字0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。

为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或加后面加B表示。

例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B，对于十进制数可以不加注.计算机中的数据均采用二进制数表示，这是因为二进制数具有以下特点：
1）二进制数中只有两个字符0和1，表示具有两个不同稳定状态的元器件。

例如，电路中有，无电流，有电流用1表示，无电流用0表示。

类似的还比如电路中电压的高，低，晶体管的导通和截止等。

2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。

二进制数的加法和乘法运算如下：
0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10
0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1
编辑本段四进制（quaternary）
四进制是以4为底数的进位制，以0、1、2 和3 四个数字表示任何实数。

四进制与所有固定底数的记数系统有着很多共同的属性，比如以标准的形式表示任何实数的能力（近乎独特），以及表示有理数与无理数的特性。

有关属性的讨论可参考十进制和二进制，下面是十进制0至15与四进制与二进制的互换。

七进制是以7为底数的记数系统。

使用数字0-6。

七进制小数通常都是循环小数，除非分母是七的
加法运算举例：1、131+245=4062、406+666=14053、
1405+3456=4534数制转换举例：1、十进制的131转
化成七进制数131（十)=18*7+5=（2*7+4）
*7+5=2*7^2+4*7^1+5=245（七）2、七进制数245转
化成十进制数245（七）
=2*7^2+4*7^1+5=2*49+4*7+5=98+28+5=131（十）
七进制的一个好处是，3.1 (22/7）是圆周率的一
个很好的近似值。

编辑本段八进制数（Octal）
由于二进制数据的基R较小，所以二进制数据的
书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。

八进制的基R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、
7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进
制能很好地反映二进制。

八进制用下标8或数据后面
加O表示例如：二进制数据（11 101 010 . 010 110
100 ）2 对应八进制数据( 3 5 2 . 2 6 4 )8或352.264O.
编辑本段十二进制（duodecimal）
十二进制长度单位一英尺等于12英寸，一先
令等于12便士，就连足球比赛罚点球的英制长度也
是12码。

十二进制来源：传说是十个手指头加两只脚。

这
是过去规定的，现在规定一打dozen为12个。

规定一打12个是一种12进制。

瑞典历史上有一位有远见的国王就说过，从日常
应用的角度看，十二进制比十进制更方便。

他生前曾
设想过，在他管辖的范围内取消十进制，而代之以十
二进制。

现在还能见到十二进制，比如钟表转一圈12小
时等等。

编辑本段十六进制数（Hex）
由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，
所以又提出了十六进制数
十六进制数有两个基本特点：它由十六个字符
0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分别表示十
进制数10～15），十六进制数运算规律是逢十六进一，
即基R=16=2^4，通常在表示时用尾部标志H或下标
16以示区别。

例如：十六进制数4AC8可写成（4AC8）16，或
写成4AC8H。

编辑本段六十进制数sexagesimal
古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，
就牵涉到时间和角度了。

因为历法需要的精确度较高，
时间的单位小时，角度的单位度都嫌太大。

必须进一
步研究他们的小数。

它们的小数都具有这样的性质︰
使1/2,1/3,1/4,1/5,1/6等都能成为他的整数倍。

以1/60
作为单位，就正好具有这个性质。

譬如︰1/2等于30
个1/60,1/3等于20个1/60,1/4等于15个1/60…这种
小数的进位制在表示有些数时很方便。

例如常遇到的
1/3，在十进位制中要变成无限小数，但在这种进位制
中就是一个整数。

编辑本段数的位权概念
对于形式化的进制表示，我们可以从0开始，对
数字的各个数位进行编号，即个位起往左依次为编号
0，1，2，……；对称的，从小数点后的数位则是-1，
-2，……
进行进制转换时，我们不妨设源进制（转换前所
用进制）的基为R1，目标进制（转换后所用进制）的
基为R2，原数值的表示按数位为
AnA(n-1）……A2A1A0.A-1A-2……，R1在R2中的表示为
R，则有（AnA(n-1）……A2A1A0.A-1A-2……）
R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*
R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2
（由于此处不可选择字体，说明如下：An，A2，
A-1等符号中，n，2，-1等均应改为下标，而上标的
幂次均用^作为前缀）
举例：
一个十进制数110，其中百位上的1表示1个10^2，
既100，十位的1表示1个10^1，即10，个位的0表
示0个100，即0。

一个二进制数110，其中高位的1表示1个2^2，
即4，低位的1表示1个2^1，即2，最低位的0表示
0个2^0，即0。

一个十六进制数110，其中高位的1表示1个16^2，
即256，低位的1表示1个16^1，即16，最低位的0
表示0个16^0，即0。

可见，在数制中，各位数字所表示值的大小不仅
与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有
关，我们称这关系为数的位权。

十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的
位权是以2为底的幂，十六进制数的位权是以16为
底的幂。

数位由高向低，以降幂的方式排列。

编辑本段进数制之间的转换
1.二进制数、十六进制数转换为十进制数（按权
求和）
二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是
相同的。

把二进制数（或十六进制数）按位权形式展
开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十
进制数——简称“按权求和”.
例如：把（1001.01)2 二进制计算。

解：（1001.01）2
=8*1+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4)
=8+0+0+1+0+0.25
=9.25
把（38A.11)16转换为十进制数
解：（38A.11)16
=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方
+1×16的-1次方+1×16的-2次方
=768+128+10+0.0625+0.25
=906.3125
2.十进制数转换为二进制数，十六进制数（除2/16
取余法）
整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通
常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商
为0，逆序排列余数即可得到――简称除二取余法．
例：将25转换为二进制数
解：25÷2=12 余数1
12÷2=6 余数0
6÷2=3 余数0
3÷2=1 余数1
1÷2=0 余数1
所以25=(11001)2
同理，把十进制数转换为十六进制数时，将基数
2转换成16就可以了.
例：将25转换为十六进制数
解：25÷16=1 余数9
1÷16=0 余数1
所以25=(19)16
3.二进制数与十六进制数之间的转换
由于4位二进制数恰好有16个组合状态，即1
位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以，十
六进制数与二进制数的转换是十分简单的.
(1）十六进制数转换成二进制数，只要将每一位
十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简称
位分四位.
例：将（4AF8B)16转换为二进制数.
解：4 A F 8 B
0100 1010 1111 1000 1011
所以（4AF8B)16=(1001010111110001011)2
(2）二进制数转换为十六进制数，分别向左，向
右每四位一组，依次写出每组4位二进制数所对应的
十六进制数――简称四位合一位.
例：将二进制数（000111010110)2转换为十六进
制数.
解：0001 1101 0110
1 D 6
所以（111010110)2=（1D6）16
转换时注意最后一组不足4位时必须加0补齐4
位
1 / 2
编辑本段数制转换的一般化
1）R进制转换成十进制
任意R进制数据按权展开、相加即可得十进制数
据。

例如：N = 1101.0101B =
1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1
*2^-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125
N = 5A.8H = 5*16^1+A*16^0+8*16^-1 = 80+10+0.5
= 90.5
2）十进制转换R 进制
十进制数转换成R 进制数，须将整数部分和小数
部分分别转换.
1.整数转换——---除R 取余法规则：（1）用R 去
除给出的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后
的R 进制数据的整数部分最低位数字；（2）再用R去
除所得的商，取其余数作为转换后的R 进制数据的高
一位数字；（3）重复执行（2）操作，一直到商为0
结束。

例如：115 转换成Binary数据和Hexadecimal
数据（图2-4）所以115 = 1110011 B = 73 H
2．小数转换————---乘R 取整法规则：（1）用
R 去乘给出的十进制数的小数部分，取乘积的整数部
分作为转换后R 进制小数点后第一位数字；（2）再用
R 去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数
部分作为转换后R 进制小数的低一位数字；（3）重复
（2）操作，一直到乘积为0，或已得到要求精度数位
为止。

编辑本段and、or、xor运算
所有进制的and（和）、or（或）、xor（异或）运
算都要转化为二进制进行运算，然后对齐位数，进行
运算，具体的运算方法和普通的and、or、xor相同，
如：1and1=1，1and0=0，0and0=0，1or1=1，1or0=1，
0or0=0，1xor1=1，1xor0=0，0xor0=1。

就是一般的二
进制运算。

如：35（H）and5（O）=110101（B）and101（B）
=101（B）=5（O）
2 / 2。