最新李亚普诺夫稳定性分析

对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，因此对 于系统而言只有一种稳定性，可以一般地说系统是否稳定。对 于非线性系统，由于系统中可以存在不同的平衡状态，而不同 的平衡状态又可以有不同的稳定性，所以，一般来说，只能提 某一平衡状态的稳定性，不能笼统地谈系统的稳定性。
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2 李雅普诺夫意义下的稳定性
x1 2范 数 下 球 域
x1
3） 李雅普诺夫意义下的稳定性
若状态方程 x f (x,t) 所描述的系统,
x2
➢ 对于任意的>0和任意初始时刻t0,都对 应存在一个实数(,t0)>0,
➢ 从任意位于球域S(xe,)的初始状态x0
x(0)
x1
出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,
)内,则称系统的平衡状态xe是李雅普
在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数 学名词和符号： ➢ 范数 ➢ 球域
然后介绍 ➢ 李雅普诺夫意义下的稳定性的定义。
1) 范数
范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。 ➢ 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为 ||x1-x2||。 ➢ 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义。 ➢ 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为
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诺夫意义下稳定的。
通常δ与、t0 都有关。如果δ与t0 无关，则称平衡状 态是一致稳定的。定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如
果稳定，则一定是一致稳定的。
注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡 运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的线性定常系统稳定性 定义是有差异的。经典控制理论的稳定性是李雅普诺夫意义下的一 致渐近稳定。
3 渐近稳定性
上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡状态附近的解总是 在该平衡状态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终 状态稳定于何处。 ➢ 下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意 义下的渐近稳定性定义。
系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：
lti m x(t;x0,t0)xe 0
长 的 时 间 隧 道，袅
李亚普诺夫稳定性分析
概述
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。
稳定性的定义为： ➢ 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰 去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。 ➢ 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
➢ 由于导数表示的状态 的运动变化方向,因此 平衡状态即指能够保
对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： ➢ 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 ✓ 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域 S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 ✓ 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出 球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。
4 大范围(全局）渐近稳定性
称此平衡状态是渐近稳定的。
x2
x(0)
x1
x2
x(0)
x1
渐近稳定
李雅普诺夫意义下稳定
✓ 若实数(,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡状态是一致渐 近稳定的。
✓ 对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0 必定无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价。
✓ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。
➢ 对于非线性系统，可以存在一个或多个平衡状态，它们 分别为对应于式f(x,t)0的常值解。
例如，对于非线性系统
xx12
x1 x1
x2
x23
其平衡状态为下列代数方程组
x1x1
0 x2
x23
0
的解，即下述状态空间中的三个状态为其平衡状态。
0
0
0
xe,1 0 xe,2 1 xe,3 1
n
x1x2 (x1,i x2,i)2 i1
其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。
2) 球域
以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长 度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,), ➢ 即S(xe,)包含满足||x-xe||的n维空间中的各点x。
x2
xe
持平衡、维持现状不 运动的状态,如图所示。
平衡态 平衡态
平衡态
显然，对于线性定常系统
x Ax
的平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0
当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡状态 xe=0; ➢ 而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态，且这些平 衡状态不为孤立平衡状态，而构成状态空间中的一个子 空间。