离散数学本科期末复习提要
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《离散数学》本科期末复习提要
四川电大孙继荣
2004年5月
《离散数学》使用的教材为中央电大出版的《离散数学》(刘叙华等编)和《离散数学学习指导书》(虞恩蔚等编)。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系,使学生得到良好的数学训练,提高学生抽象思维和逻辑推理能力,为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。其先修课程为:高等数学、线性代数;后续课程为:数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容
1、集合论部分(集合的基本概念和运算、关系及其性质);
2、数理逻辑部分(命题逻辑、谓词逻辑);
3、图论部分(图的基本概念、树及其性质)。
4、布尔代数
学习建议
离散数学是理论性较强的学科,学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握,对基本原理及基本运算的运用,并要多做练习。
教学要求的层次
各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。了解即能正确判别有关概念和方法;理解是能正确表达有关概念和方法的含义;掌握是在理解的基础上加以灵活应用。
一、各章复习要求与重点
第一章集合
[复习知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律(交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等),文氏(Venn)图
3、序偶与迪卡尔积
本章重点内容:集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律,证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念,掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]
P5~6,4、6;P14~15,3、6、7;P20,5、7。
[疑难解析]
1、集合的概念
因为集合的概念学生在中学阶段已经学过,这里只多了一个幂集概念,重点对幂集加以掌握,一是掌握幂集的构成,一是掌握幂集元数为2n。
2、集合恒等式的证明
通过对集合恒等式证明的练习,既可以加深对集合性质的理解与掌握;又可以为第三
章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上,本章做题是一种基本功训练,尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。 [例题分析]
例1 设A ,B 是两个集合,A={1,2,3},B={1,2},则=-)()(B A ρρ 。 解 }}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A
}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B
于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ 例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ,试求:
(1){}b a A ,-; (2)Φ-A ; (3){}Φ-A ; (4){}{}A b a -,; (5)A -Φ; (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明
()()()()()()
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()()()()()()
B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃
第二章 二元关系
[复习知识点]
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质(自反性、对称性、反对称性、传递性)
4、关系的闭包(自反闭包、对称闭包、传递闭包)
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图(Hasse )、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质(单射、满射、双射)
8、复合函数与反函数
本章重点内容:二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]
1、理解关系的概念:二元关系、空关系、全关系、恒等关系;掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质(自反性、对称性、反对称性、传递性),掌握其判别方法(定义、矩阵、图)。
4、掌握求关系的闭包 (自反闭包、对称闭包、传递闭包)的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念,掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法,极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念:函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念,掌握其判别方法。 [本章重点习题]
P25,1;P32~33,4,8,10; P43,2,3,5; P51~52,5,6; P59,1,2; P64,3; P74~75,2,4,6,7; P81,5,7; P86,1,2。 [疑难解析]
1、关系的概念
关系的概念是第二章全章的基础,又是第一章集合概念的应用。因此,学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握,又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定,可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定,难度稍大一点,这里要提及两点:一是不破坏传递性定义,可认为具有传递性。如空关系具有传递性,同时空关系具有对称性与反对称性,但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”,即若()()()R a a R a a R a a i i ∈∈∈-,,,,,,13221ΛΛ,
则()R a a i ∈,1。如若()()R a b R b a ∈∈,,
,,则有()R a a ∈,,且()R b b ∈,。
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上,主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论:定理2, ()A I R R r ⋃=;定理3, ()1
-⋃=R R R s ;定理4,推论 ()Y n
i i
R
R t 1
==
。
4、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了,对于确定任一子集的最大(小)元,极大(小)元也就容易了。这里要注意,最大(小)元与极大(小)元只能在子集内确定,而上界与下界可在子集之外的全集中确定,最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集中的任一元素,可以与某一元素相等,最大下界也同样。
5、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外,可借助于关系图,而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行,尤其是对各种初等函数。
[例题分析]
例1 设集合{}d c b a A ,,,=,判定下列关系,哪些是自反的,对称的,反对称的和传递的: