量子力学--第一章 量子力学产生的历史背景

光电效应
固体低温下的比热,
原子的稳定性与线状光谱.
1、黑体辐射（Black Body Radiation）现象
黑体辐射问题所研究的是辐射与周围的物体处于平衡态时 的能量分布。我们知道所有物体都发射出热辐射，它是一定波 长范围内的电磁波。对于外来的热辐射，物体有反射和吸收的 作用。
(1) 黑体的定义：如果一个物体能够全部吸收而不反射投射于其 上的辐射，就称它为绝对黑体，简称为黑体。
于是他们得到黑体辐射平衡分布的公式为
8 2 d 3 kT d c
（3 ）
这个公式与 Wien 公式恰好相反，它在低频（长波）时与实验 符合，高频时不符合。即只是在可见光的长波部分，绿、黄、 红部分内，这个公式才能很好的与实验一致，当接近蓝、紫、 紫外光线时，这个公式便告失败。
一．经典物理学的成就
大到天体小到原子分子的运动和 各种电磁现象和光的传播等现象. 这些我们在以前的课程中已经学 习了.
当时物理学家们的世界图样:
物质粒子 + 电磁场 = 世界
物质粒子的运动由经典力学描述
电磁场运动由经典电磁学描述.
带电粒子与电磁场相互作用是 洛仑兹力.
二．经典物理学的困难
19世纪末物理学上空的乌云： 黑体辐射的能量密度随波长的分布.
量子力学
Quantum Mechanics
学习量子力学课程的主要目的是：
⑴ 使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒 子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理 和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解 决较简单问题的能力。 ⑵ 使学生了解量子力学在现代科学技术中的广 泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关 内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与 提高打下必要的基础。

散射角
h m c2 h Ee p p pe
Ee / c p m c
2 2 e 2 2 2
（5） （6）
(5) 2 / c 2 (6) 2 并利用相对论中能量动量关系式
可得
2 1 2 2 2 2 ( h mc h ) ( p p ) m c 2 c
3、Compton散射
Compton散射曾经被认为是光子概念以及PlankEinstein关系的判定性实验。
早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现X射线被 轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把 这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地 解释了实验结果。
a. Plank-Einstein关系在定量上是正确的 b. 在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒 定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）
§4.玻尔的原子结构理论
一、原子的线状光谱与稳定性问题
1. 原子的稳定性
1895年Rö ntgen发现X射线
1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性
(2) 黑体模型：
一个开有小孔的空腔可以看作为黑体；光线从一小孔进去后 便再也出不来了，它一旦被捕便永无自由，这样我们说，空腔把 进来的辐射能量全部吸收了。
空腔
光谱仪
能量密度
热池 温度T 辐射能量
密度
绝对黑体模型
(3)平衡辐射的性质：当空腔与内部的辐射处于热平衡状态时， 即腔壁维持一定温度时，腔壁辐射同时也吸收能量，当达到平 衡时，单位面积在单位时间内的射、吸相等。且设腔内辐射保 持一定密度且辐射各向同性。
他们的根据是（经典电动力学和统计力学） ：
(A) 把 腔 内平衡 辐射视 为 驻波， 计算得 到 单位体 积内 包含 的
2 8 d 频率范围的振动方式数为 d ； 3 c (B)把每一振动方式看成一个一维振子，按经典统计的能均分定
k 为 Boltzman 常数。 理：每一振子平均具有能量为kT ，
（ 7）
p h / c, p h / c 则 对于光子，
h 2 p p pp cos cos c
代入式（7），可解出

或
h 1 2 (1 cos ) mc

（ 8）
1 1 h [1 (1 cos )] 2 mc
E h
并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实， 得出光子的动量P波长λ的关系：
p E / c h / k notice : h 2
康普顿散射的实验规律：
0
450
散射角
900
1、散射线波长的改变量 随散射角 增加而增加。 2、在同一散射角下 相同 , 与散射物 0 质和入射光波长无关。 3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
H∞
图1.2 氢原子光谱（Balmer系）
1 1 ~ R( 2 2 ) 2 n
R 3,4,5
1
R 109677 .581 cm
Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注 意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了 大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项 T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱 项之差
1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭 电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永 恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。 原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带 负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样， 原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。
利用 c / , c / 上式改写成
h (1 cos ) mc
令
（9）
0 h 2 （10） c 2.43 10 A （电子的Compton波长） mc
c (1 cos )
c (1 cos )
四、固体比热问题
固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具 有三个自由度的粒子( 振子)。按照经典统计力学，其平均动能与
3 势能均各为 kT ,总能量为 3kT 。 2
因此， 1mol 固体物质的平均热能为 3NkT=3RT(N 为阿伏加德罗常 数，R=Nk 为气体常数)，故固体的定容热容量为 C V =3R 5.958 卡/度，此即杜隆—珀替经验定律（1819） 。 但后来实验发现，在极低温度下，固
* 只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。 而经典认为有无光电效应不应与频率有关。 * 瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。
当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。 当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即 被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一 个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸 出金属表面。逸出表面后，电子的动能为：
1 2 mV0 h A 2
A 称为逸出功。只与 金属性质有关。与光 （4） 的频率无关。
当 0 A / h （临界频率）时，电子无法克 服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发 出。
Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中 原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K 是趋于0的现象。这时，P lank的光量子能量不连续性概 念才引起很多人的注意。
d c1 3 e c 2 / T d
（2 ）
其中c1 、c2 是经验常数，T 为平衡时的绝对温度。这个公式只在 辐射频率较高（波长较短）时与实验符合，而在低频时与实验显 著不一致。
实验点 维恩
(5)瑞利-金斯公式（J.W.Raleigh-Jeans，英-美）
英国物理学家 Rayleigh 利用经典统计力学和经典电磁理论 于 1900 年推导出一个能量密度分布公式，后由美国物理学家 Jeans 于 1905 年对此作了修正。
（11）
由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增 大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。
从式（9）可以看出，散射的X射线波长与角度的依 赖关系中包含了Plank常数K。因此，它是经典物理学无 法解释的。 Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有 力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是 它的一部分）被散射。此外，Compton散射实验还证实：
2.光电效应
光电效应的实验规律及经典理论的困难 饱和光电流强度与 入射光强度成正比。 或者说：单位时间内从 金属表面逸出的光电子 数目与入射光强成正比 I IS 3 2 1 G
U
U0
0
U
相同频率，不同入射光强度
经典理论的困难：
* 经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关而与光强无关。
体比热都趋于零（如图） ，这是为什么？此 外若 考 虑 到原 子 由原子 核 和若干 电 子组 成，为什么原子核与电子的这样多的自由 度对固体比热都没贡献？这都是经典理论 所无法解释的。 量子理论就是在解决这些生产实践和科学实验同经典物理
学的矛盾中逐步建立起来的。
§2.普朗克能量子假说
* 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值 * 存在着能量的最小单元（能量子=h) * 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量
2. 原子的线状光谱及其规律
最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世 纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。 由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它 们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光 谱线的波数具有下列规律
6562.8Å 4861.3Å 4340.5Å 4101.7Å
135
Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生 散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的， 由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散 射出去的光子的能量与动量都相应减小，即 X射线 频率变小而波长增大。
相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原 子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。 考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发 生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守 恒，即：

教 材与参 考书
l 1.陈鄂生，量子力学基础教程，山东大学出版社 2.周世勋，量子力学教程，人民教育出版社。
2． 3.曾谨言，量子力学，科学出版社。
3． 4.钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。
第一章 量子力学产生的 历史背景
§1.1 20世纪初经典物理学遇到的困难
经典力学(17世纪, 牛顿) 经典电磁学(19世纪, 麦克斯韦)
从理论上推出：
M 0 ( , T ) 2hc
2
5
1 e
hc kT
1
k和c 分别是玻尔兹曼常数和光速。
h=6.62610-34焦耳。
§3. Einstein光量子概念
Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念： 即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射 场的频率的关系是：
~ T (n) T (m) nm
其中m, n是某些整数。 显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。
(3)玻尔的量子论 (一) Bohr量子论的主要内容：
1、定态假定：原子只能够存在于满足玻尔-索末菲量子 化条件的一系列状态中,称为定态。
p dq
i
i
ni h
ni 1,2,3,
பைடு நூலகம்
实验指出：这时频率 d 间的辐射能量密度 d 只与 频率 及黑体的绝对温度 T 有关, 而与腔的形状及组成物质无关。
（4）黑体辐射公式
维恩公式（W.Wien，德国人 1896 年提出）
由热力学得出: d 3 f ( / T)d
（1 ）
Wien 在对黑体的发射与吸收过程进一步作了一些特殊的假设之 后，由理想气体模型得到:
2、跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁 时，吸收或发射的辐射的频率ν是
h En Em
（频率条件）
二.玻尔理论的成就和局限性:
成就:
玻尔理论成功地解释了氢 原子和碱金属的线光谱. 局限性: 无法解释光谱线的强度, 无法解释其它的复杂原子.