量子力学--第一章 量子力学产生的历史背景
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体比热都趋于零（如图） ，这是为什么？此 外若 考 虑 到原 子 由原子 核 和若干 电 子组 成，为什么原子核与电子的这样多的自由 度对固体比热都没贡献？这都是经典理论 所无法解释的。 量子理论就是在解决这些生产实践和科学实验同经典物理
学的矛盾中逐步建立起来的。
§2.普朗克能量子假说
* 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值 * 存在着能量的最小单元（能量子=h) * 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量
实验指出：这时频率 d 间的辐射能量密度 d 只与 频率 及黑体的绝对温度 T 有关, 而与腔的形状及组成物质无关。
（4）黑体辐射公式
维恩公式（W.Wien，德国人 1896 年提出）
由热力学得出: d 3 f ( / T)d
（1 ）
Wien 在对黑体的发射与吸收过程进一步作了一些特殊的假设之 后，由理想气体模型得到:
2.光电效应
光电效应的实验规律及经典理论的困难 饱和光电流强度与 入射光强度成正比。 或者说：单位时间内从 金属表面逸出的光电子 数目与入射光强成正比 I IS 3 2 1 G
U
U0Байду номын сангаас
0
U
相同频率，不同入射光强度
经典理论的困难：
* 经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关而与光强无关。
1 2 mV0 h A 2
A 称为逸出功。只与 金属性质有关。与光 （4） 的频率无关。
当 0 A / h （临界频率）时，电子无法克 服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发 出。
Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中 原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K 是趋于0的现象。这时，P lank的光量子能量不连续性概 念才引起很多人的注意。
2. 原子的线状光谱及其规律
最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世 纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。 由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它 们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光 谱线的波数具有下列规律
6562.8Å 4861.3Å 4340.5Å 4101.7Å
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
H∞
图1.2 氢原子光谱（Balmer系）
1 1 ~ R( 2 2 ) 2 n
R 3,4,5
1
R 109677 .581 cm
Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注 意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了 大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项 T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱 项之差
135
Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生 散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的， 由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散 射出去的光子的能量与动量都相应减小，即 X射线 频率变小而波长增大。
相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原 子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。 考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发 生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守 恒，即：
（11）
由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增 大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。
从式（9）可以看出，散射的X射线波长与角度的依 赖关系中包含了Plank常数K。因此，它是经典物理学无 法解释的。 Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有 力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是 它的一部分）被散射。此外，Compton散射实验还证实：
3、Compton散射
Compton散射曾经被认为是光子概念以及PlankEinstein关系的判定性实验。
早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现X射线被 轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把 这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地 解释了实验结果。
d c1 3 e c 2 / T d
（2 ）
其中c1 、c2 是经验常数，T 为平衡时的绝对温度。这个公式只在 辐射频率较高（波长较短）时与实验符合，而在低频时与实验显 著不一致。
实验点 维恩
(5)瑞利-金斯公式（J.W.Raleigh-Jeans，英-美）
英国物理学家 Rayleigh 利用经典统计力学和经典电磁理论 于 1900 年推导出一个能量密度分布公式，后由美国物理学家 Jeans 于 1905 年对此作了修正。
(2) 黑体模型：
一个开有小孔的空腔可以看作为黑体；光线从一小孔进去后 便再也出不来了，它一旦被捕便永无自由，这样我们说，空腔把 进来的辐射能量全部吸收了。
空腔
光谱仪
能量密度
热池 温度T 辐射能量
密度
绝对黑体模型
(3)平衡辐射的性质：当空腔与内部的辐射处于热平衡状态时， 即腔壁维持一定温度时，腔壁辐射同时也吸收能量，当达到平 衡时，单位面积在单位时间内的射、吸相等。且设腔内辐射保 持一定密度且辐射各向同性。
E h
并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实， 得出光子的动量P波长λ的关系：
p E / c h / k notice : h 2
康普顿散射的实验规律：
0
450
散射角
900
1、散射线波长的改变量 随散射角 增加而增加。 2、在同一散射角下 相同 , 与散射物 0 质和入射光波长无关。 3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。
一．经典物理学的成就
大到天体小到原子分子的运动和 各种电磁现象和光的传播等现象. 这些我们在以前的课程中已经学 习了.
当时物理学家们的世界图样:
物质粒子 + 电磁场 = 世界
物质粒子的运动由经典力学描述
电磁场运动由经典电磁学描述.
带电粒子与电磁场相互作用是 洛仑兹力.
二．经典物理学的困难
19世纪末物理学上空的乌云： 黑体辐射的能量密度随波长的分布.
他们的根据是（经典电动力学和统计力学） ：
(A) 把 腔 内平衡 辐射视 为 驻波， 计算得 到 单位体 积内 包含 的
2 8 d 频率范围的振动方式数为 d ； 3 c (B)把每一振动方式看成一个一维振子，按经典统计的能均分定
k 为 Boltzman 常数。 理：每一振子平均具有能量为kT ，
2、跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁 时，吸收或发射的辐射的频率ν是
h En Em
（频率条件）
二.玻尔理论的成就和局限性:
成就:
玻尔理论成功地解释了氢 原子和碱金属的线光谱. 局限性: 无法解释光谱线的强度, 无法解释其它的复杂原子.
于是他们得到黑体辐射平衡分布的公式为
8 2 d 3 kT d c
（3 ）
这个公式与 Wien 公式恰好相反，它在低频（长波）时与实验 符合，高频时不符合。即只是在可见光的长波部分，绿、黄、 红部分内，这个公式才能很好的与实验一致，当接近蓝、紫、 紫外光线时，这个公式便告失败。
~ T (n) T (m) nm
其中m, n是某些整数。 显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。
(3)玻尔的量子论 (一) Bohr量子论的主要内容：
1、定态假定：原子只能够存在于满足玻尔-索末菲量子 化条件的一系列状态中,称为定态。
p dq
i
i
ni h
ni 1,2,3,
a. Plank-Einstein关系在定量上是正确的 b. 在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒 定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）
§4.玻尔的原子结构理论
一、原子的线状光谱与稳定性问题
1. 原子的稳定性
1895年Rö ntgen发现X射线
1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性
量子力学
Quantum Mechanics
学习量子力学课程的主要目的是：
⑴ 使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒 子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理 和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解 决较简单问题的能力。 ⑵ 使学生了解量子力学在现代科学技术中的广 泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关 内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与 提高打下必要的基础。
四、固体比热问题
固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具 有三个自由度的粒子( 振子)。按照经典统计力学，其平均动能与
3 势能均各为 kT ,总能量为 3kT 。 2
因此， 1mol 固体物质的平均热能为 3NkT=3RT(N 为阿伏加德罗常 数，R=Nk 为气体常数)，故固体的定容热容量为 C V =3R 5.958 卡/度，此即杜隆—珀替经验定律（1819） 。 但后来实验发现，在极低温度下，固
利用 c / , c / 上式改写成
h (1 cos ) mc
令
（9）
0 h 2 （10） c 2.43 10 A （电子的Compton波长） mc
c (1 cos )
c (1 cos )
光电效应
固体低温下的比热,
原子的稳定性与线状光谱.
1、黑体辐射（Black Body Radiation）现象
黑体辐射问题所研究的是辐射与周围的物体处于平衡态时 的能量分布。我们知道所有物体都发射出热辐射，它是一定波 长范围内的电磁波。对于外来的热辐射，物体有反射和吸收的 作用。
(1) 黑体的定义：如果一个物体能够全部吸收而不反射投射于其 上的辐射，就称它为绝对黑体，简称为黑体。
散射角
h m c2 h Ee p p pe
Ee / c p m c
2 2 e 2 2 2
（5） （6）
(5) 2 / c 2 (6) 2 并利用相对论中能量动量关系式
可得
2 1 2 2 2 2 ( h mc h ) ( p p ) m c 2 c
教 材与参 考书
l 1.陈鄂生，量子力学基础教程，山东大学出版社 2.周世勋，量子力学教程，人民教育出版社。
2． 3.曾谨言，量子力学，科学出版社。
3． 4.钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。
第一章 量子力学产生的 历史背景
§1.1 20世纪初经典物理学遇到的困难
经典力学(17世纪, 牛顿) 经典电磁学(19世纪, 麦克斯韦)
1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭 电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永 恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。 原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带 负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样， 原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。
* 只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。 而经典认为有无光电效应不应与频率有关。 * 瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。
当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。 当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即 被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一 个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸 出金属表面。逸出表面后，电子的动能为：
从理论上推出：
M 0 ( , T ) 2hc
2
5
1 e
hc kT
1
k和c 分别是玻尔兹曼常数和光速。
h=6.62610-34焦耳。
§3. Einstein光量子概念
Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念： 即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射 场的频率的关系是：
（ 7）
p h / c, p h / c 则 对于光子，
h 2 p p pp cos cos c
代入式（7），可解出
或
h 1 2 (1 cos ) mc
（ 8）
1 1 h [1 (1 cos )] 2 mc
学的矛盾中逐步建立起来的。
§2.普朗克能量子假说
* 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值 * 存在着能量的最小单元（能量子=h) * 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量
实验指出：这时频率 d 间的辐射能量密度 d 只与 频率 及黑体的绝对温度 T 有关, 而与腔的形状及组成物质无关。
（4）黑体辐射公式
维恩公式（W.Wien，德国人 1896 年提出）
由热力学得出: d 3 f ( / T)d
（1 ）
Wien 在对黑体的发射与吸收过程进一步作了一些特殊的假设之 后，由理想气体模型得到:
2.光电效应
光电效应的实验规律及经典理论的困难 饱和光电流强度与 入射光强度成正比。 或者说：单位时间内从 金属表面逸出的光电子 数目与入射光强成正比 I IS 3 2 1 G
U
U0Байду номын сангаас
0
U
相同频率，不同入射光强度
经典理论的困难：
* 经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关而与光强无关。
1 2 mV0 h A 2
A 称为逸出功。只与 金属性质有关。与光 （4） 的频率无关。
当 0 A / h （临界频率）时，电子无法克 服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发 出。
Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中 原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K 是趋于0的现象。这时，P lank的光量子能量不连续性概 念才引起很多人的注意。
2. 原子的线状光谱及其规律
最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世 纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。 由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它 们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光 谱线的波数具有下列规律
6562.8Å 4861.3Å 4340.5Å 4101.7Å
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
H∞
图1.2 氢原子光谱（Balmer系）
1 1 ~ R( 2 2 ) 2 n
R 3,4,5
1
R 109677 .581 cm
Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注 意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了 大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项 T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱 项之差
135
Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生 散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的， 由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散 射出去的光子的能量与动量都相应减小，即 X射线 频率变小而波长增大。
相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原 子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。 考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发 生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守 恒，即：
（11）
由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增 大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。
从式（9）可以看出，散射的X射线波长与角度的依 赖关系中包含了Plank常数K。因此，它是经典物理学无 法解释的。 Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有 力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是 它的一部分）被散射。此外，Compton散射实验还证实：
3、Compton散射
Compton散射曾经被认为是光子概念以及PlankEinstein关系的判定性实验。
早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现X射线被 轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把 这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地 解释了实验结果。
d c1 3 e c 2 / T d
（2 ）
其中c1 、c2 是经验常数，T 为平衡时的绝对温度。这个公式只在 辐射频率较高（波长较短）时与实验符合，而在低频时与实验显 著不一致。
实验点 维恩
(5)瑞利-金斯公式（J.W.Raleigh-Jeans，英-美）
英国物理学家 Rayleigh 利用经典统计力学和经典电磁理论 于 1900 年推导出一个能量密度分布公式，后由美国物理学家 Jeans 于 1905 年对此作了修正。
(2) 黑体模型：
一个开有小孔的空腔可以看作为黑体；光线从一小孔进去后 便再也出不来了，它一旦被捕便永无自由，这样我们说，空腔把 进来的辐射能量全部吸收了。
空腔
光谱仪
能量密度
热池 温度T 辐射能量
密度
绝对黑体模型
(3)平衡辐射的性质：当空腔与内部的辐射处于热平衡状态时， 即腔壁维持一定温度时，腔壁辐射同时也吸收能量，当达到平 衡时，单位面积在单位时间内的射、吸相等。且设腔内辐射保 持一定密度且辐射各向同性。
E h
并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实， 得出光子的动量P波长λ的关系：
p E / c h / k notice : h 2
康普顿散射的实验规律：
0
450
散射角
900
1、散射线波长的改变量 随散射角 增加而增加。 2、在同一散射角下 相同 , 与散射物 0 质和入射光波长无关。 3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。
一．经典物理学的成就
大到天体小到原子分子的运动和 各种电磁现象和光的传播等现象. 这些我们在以前的课程中已经学 习了.
当时物理学家们的世界图样:
物质粒子 + 电磁场 = 世界
物质粒子的运动由经典力学描述
电磁场运动由经典电磁学描述.
带电粒子与电磁场相互作用是 洛仑兹力.
二．经典物理学的困难
19世纪末物理学上空的乌云： 黑体辐射的能量密度随波长的分布.
他们的根据是（经典电动力学和统计力学） ：
(A) 把 腔 内平衡 辐射视 为 驻波， 计算得 到 单位体 积内 包含 的
2 8 d 频率范围的振动方式数为 d ； 3 c (B)把每一振动方式看成一个一维振子，按经典统计的能均分定
k 为 Boltzman 常数。 理：每一振子平均具有能量为kT ，
2、跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁 时，吸收或发射的辐射的频率ν是
h En Em
（频率条件）
二.玻尔理论的成就和局限性:
成就:
玻尔理论成功地解释了氢 原子和碱金属的线光谱. 局限性: 无法解释光谱线的强度, 无法解释其它的复杂原子.
于是他们得到黑体辐射平衡分布的公式为
8 2 d 3 kT d c
（3 ）
这个公式与 Wien 公式恰好相反，它在低频（长波）时与实验 符合，高频时不符合。即只是在可见光的长波部分，绿、黄、 红部分内，这个公式才能很好的与实验一致，当接近蓝、紫、 紫外光线时，这个公式便告失败。
~ T (n) T (m) nm
其中m, n是某些整数。 显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。
(3)玻尔的量子论 (一) Bohr量子论的主要内容：
1、定态假定：原子只能够存在于满足玻尔-索末菲量子 化条件的一系列状态中,称为定态。
p dq
i
i
ni h
ni 1,2,3,
a. Plank-Einstein关系在定量上是正确的 b. 在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒 定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）
§4.玻尔的原子结构理论
一、原子的线状光谱与稳定性问题
1. 原子的稳定性
1895年Rö ntgen发现X射线
1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性
量子力学
Quantum Mechanics
学习量子力学课程的主要目的是：
⑴ 使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒 子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理 和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解 决较简单问题的能力。 ⑵ 使学生了解量子力学在现代科学技术中的广 泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关 内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与 提高打下必要的基础。
四、固体比热问题
固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具 有三个自由度的粒子( 振子)。按照经典统计力学，其平均动能与
3 势能均各为 kT ,总能量为 3kT 。 2
因此， 1mol 固体物质的平均热能为 3NkT=3RT(N 为阿伏加德罗常 数，R=Nk 为气体常数)，故固体的定容热容量为 C V =3R 5.958 卡/度，此即杜隆—珀替经验定律（1819） 。 但后来实验发现，在极低温度下，固
利用 c / , c / 上式改写成
h (1 cos ) mc
令
（9）
0 h 2 （10） c 2.43 10 A （电子的Compton波长） mc
c (1 cos )
c (1 cos )
光电效应
固体低温下的比热,
原子的稳定性与线状光谱.
1、黑体辐射（Black Body Radiation）现象
黑体辐射问题所研究的是辐射与周围的物体处于平衡态时 的能量分布。我们知道所有物体都发射出热辐射，它是一定波 长范围内的电磁波。对于外来的热辐射，物体有反射和吸收的 作用。
(1) 黑体的定义：如果一个物体能够全部吸收而不反射投射于其 上的辐射，就称它为绝对黑体，简称为黑体。
散射角
h m c2 h Ee p p pe
Ee / c p m c
2 2 e 2 2 2
（5） （6）
(5) 2 / c 2 (6) 2 并利用相对论中能量动量关系式
可得
2 1 2 2 2 2 ( h mc h ) ( p p ) m c 2 c
教 材与参 考书
l 1.陈鄂生，量子力学基础教程，山东大学出版社 2.周世勋，量子力学教程，人民教育出版社。
2． 3.曾谨言，量子力学，科学出版社。
3． 4.钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。
第一章 量子力学产生的 历史背景
§1.1 20世纪初经典物理学遇到的困难
经典力学(17世纪, 牛顿) 经典电磁学(19世纪, 麦克斯韦)
1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭 电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永 恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。 原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带 负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样， 原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。
* 只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。 而经典认为有无光电效应不应与频率有关。 * 瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。
当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。 当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即 被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一 个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸 出金属表面。逸出表面后，电子的动能为：
从理论上推出：
M 0 ( , T ) 2hc
2
5
1 e
hc kT
1
k和c 分别是玻尔兹曼常数和光速。
h=6.62610-34焦耳。
§3. Einstein光量子概念
Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念： 即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射 场的频率的关系是：
（ 7）
p h / c, p h / c 则 对于光子，
h 2 p p pp cos cos c
代入式（7），可解出
或
h 1 2 (1 cos ) mc
（ 8）
1 1 h [1 (1 cos )] 2 mc