逻辑函数及其化简课件

F表示。
例3 F=AB+CD(A+ BC+D)
F AB CD(A BC D) AB CD A(BC D)
注意：用反演规则求反函数时，不能改变运算次序。
3、对偶规则
将一个逻辑函数 F进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 →0 所得新函数表达式叫做F 的对偶式，用 FD 表示。
将一个逻辑函数 F 进行下列变换： ·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0 原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做F的反函数，用
例2 F=AB(C+D)(B+C+D)
F AB(C D)(B C D) A B CD BCD A B CD CD
a b a c bc a b a c
对偶
(a b)(a c)(b c) (a b)(a c)
例4 F=AD+BC+DE
FD (A D)(B C(D E) (A D)(B C DE) AB AC BD CD DE
11 10
A3A 0
最简与或表达式： Z(A,B,C,D)=A3A 2 A1A 0 +A 2 A1A 0 +A 2 A1A 0 +A 2 A1A 0 +A3A 0 无逻辑险象的最简与或表达式：
Z(A,B,C,D)=A3A 2 A1A 0 +A 2 A1A 0 +A 2 A1A 0 +A 3A 2 A1A 0 +A3A 0
例5 F=A+B+C+D
FD =ABCD=AC+BC+D
二、逻辑函数
（自变量） （因变量） 输 x1 入 x2 变 x 量 n
组合 电路
z1 输 z2
zm
出 变 量
逻辑函数（逻辑表达式）
Z i fi ( x1 , x2 , xn ) i 1, 2, , m
…
…
例6 三人表决电路
真值表
与或式（积之和表达式）与最小项表达式
与或式：逻辑表达式为几个与项的和称为与或式（有些书上 称为积之和表达式）。 最小项：在一个n个自变量的逻辑函数中，最小项是包含着n 个变量的一个“与项”，在此“与项”中，每个变量以原变量 或反变量的形式出现一次。 最小项表达式：当与或式中所有与项均为“最小项”时称为最 小项表达式。 例9
BC替代B 例1： A B= A+B 利用反演律
得 ABC A BC A B C 由此反演律能推广到n个变量：
A1 A 2 A n A1 A 2 A n A1 A 2 A n A1 A 2 A n
2、反演规则 设x原变量，称 x 为反变量
三变量情况：
1
四变量情况：
（2）表达式与卡诺图

与或式与卡诺图
F1 A BC
A 0 BC 00 0 1 01 0 1 11 0 1 10 1 1 F1
F2 B A BC
BC 00 01 11 10 A 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 F2
1

或与式和卡诺图
z (a b)(a c)(a b)
最小项表达式与 最大项表达式的关系
例12
已知：z(a, b, c, d) m(0,1, 2, 3, 7, 8, 9,10,11,14)
有：z(a, b, c, d) M(4, 5, 6,12,13,15) z(a, b, c, d) m(4, 5, 6,12,13,15) z(a, b, c, d) M(0,1, 2, 3, 7, 8, 9,10,11,14)
三、逻辑图

（由若干逻辑图形符号构成的电路图）
与-或式对应的逻辑图
z ab ac ab ac

来自百度文库
或-与式对应的逻辑图
z (a b)(a c) (a b) (a c)
四、逻辑化简 逻辑化简的方法：

公式法：直接用布尔代数公式 图解法：用卡诺图，适用于变量数少于6个的情 况。 计算机辅助化简：如用EWB仿真软件。
（3）卡诺图化简
例14 把逻辑函数 F(A,B,C,D)=m(3,4,5,6,8,10,12,14) 化简为最简“与或”式（即积之和表达式）
ABC
AD
A BCD
BD
最简的与或表达式 F(A,B,C,D)=ABCD+ABC+BD+AD
例15 F(A,B,C,D)=ΠM(1,6,11,12)
CD AB 00 01 00 1 1 0 1 01 0 1 1 1 11 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 x x x x x x
（2）最小项表达式
Z(A 3 ,A 2 ,A1 ,A 0 ) m(0,3,5, 6,9) d(10,11,12,13,14,15)
第 2章 逻辑函数及其化简 第2章
一、布尔代数
布尔代数的基本运算
与：0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1 或：0＋0=0,0＋1=1,1＋0=1,1＋1=1 非： 0 1 , 1 0
布尔代数的计算公式
布尔代数的三个规则
1、代入规则 2、反演规则 3、对偶规则
1、代入规则
任何一个含有某变量的等式，如果等式中 所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数 式，则此等式依然成立。
约束方程：
d(10,11,12,13,14,15) 0
或
D(10,11,12,13,14,15) 1
逻辑表达式：
z(b 3 , b 2 , b1 , b 0 ) m(5, 6, 7, 8, 9) d(10,11,12,13,14,15)
z(b 3 , b 2 , b1 , b 0 ) M (0,1, 2, 3, 4) D(10,11,12,13,14,15)
例20：已知：F1(A,B,C,D)=∑m (0, 1, 3, 5, 8, 10, 11, 13, 14)，F2(A,B,C,D)=∑m(0~4, 9, 12~15), 求： (1) F1+F2的最大项表达式 (2) F1⊕F2的最小项表达式 (3) 利用卡诺图，对上述结果进行化简。
答：
卡诺图化简（略）

1. 公式法
例13 用公式法化简下列逻辑函数
z1 abc a b bc a b c a b
z3 ab ac bc ab ( a b )c ab abc ab c
公式法化简的缺点：不直观，要求经验、技巧较高。
2. 卡诺图法 （1）真值表与卡诺图
规则： （1）a、b、c同意为1，不同意为0； （2）议案通过z=1，不通过z=0； （3）少数服从多数。
z abc a bc abc abc z ab ac bc z (a b c)(a b c )(a b c)(a b c)
结论：相同逻辑的真值表是唯一的，但是 可以用不同的逻辑表达式描述。
例7 一位二进制全加器 xi yi cii coi Σ
FA
i xi yi cii xi yi cii xi yi cii xi yi cii xi yi cii coi xi yi cii xi yi cii xi yi cii xi yi cii xi yi xi cii yi cii
（3）卡诺图
A 3 A 2 A1A 0
A 2 A1A 0
A1A0 A3A2
A 2 A1A 0
A3 A 2 A1A 0
A 2 A1A 0
00 1 0 x 0
A3A 0
01 0 1 x 1
11 1 0 x x
10 0 1 x x Z
A 3 A 2 A1A 0
00 01
A 2 A1A 0
A 2 A1A 0
例8 由异或门构成的码组A变换成码组B的电路如图所示。
（1）试写出电路的逻辑方程，列出真值表，讨论其逻辑功能，并 指出码组B的特性； （2）如果要把码组B反变换为码组A，试写出相应的逻辑方程组， 并用最少的门电路（包含异或门）实现之。
答：（ 答： 1）逻辑方程： B2 =A 2
真值表
B1 =A1 A 2 B0 =A 0 A1
逻辑功能：3位自然二进制码到格雷码变换器。 码组B特性：循环性和反射性。
A 2 =B2
（2）码组B反变换为码组A，逻辑方程组
=B2 B1 +B2 B1 =B1 B2 =B1 A 2
A1 =B2 B1B0 B2 B1B0 B2 B1B0 B2 B1B0
逻辑电路
A 0 =B2 B1B0 B2 B1B0 B2 B1B0 B2 B1B0 =B2 (B1B0 +B1B0 )+B2 (B1B0 +B1B0 ) =B2 (B1 B0 )+B2 (B1 B0 ) =B2 B1 B0 =B0 A1
ACD
10 1 0
ABC
ABC
1 1
11 10
ABC
BD
ACD
ACD
F BD ACD ABC ACD ABC
ABC
ACD
BD
F BD ACD ABC ACD ABC
(4) 未完全规定的逻辑函数及其化简
例16
四舍五入电路真值表
函数自变量的某些输入 组合不会出现，因此，对应 的输出可以任意取 0 或 1 （记 作×），这些称为无关项或 任意项或约束项。这类函数 称为未完全规定的逻辑函数。
例18 用卡诺图求出逻辑函数 F(A,B,C,D)=ΠM(0,4,5.14.15) ΠD(6,9,10,12,13) 的最简与或式及最简或与式。
F=AC+AC(或AB)+BD =(B+C)(A+B)(A+C+D)
例19 如图所示是一奇偶检测电路，其输入信号A3、A2、A1、
A0为8421BCD码的一位十进制数，若A3、A2、A1、A0中有偶数 个1，输出Z=1，否则，Z=0。 （1）画出该电路的真值表； 答：（1） （2）写出该电路的最小项表达式； 真值表 （3）用卡诺图法求其最简与或 A3 A2 A1 A0 Z 表达式和无逻辑险象的最简 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 与或表达式。
z(a, b, c) ab ac ab(c c) a(b b)c abc abc abc abc
或与式（和之积表达式）和最大项表达式
或与式：逻辑表达式为几个或项的积称为或-与式（又称为和之 积表达式）。 最大项：在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量的或 项，在此或项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一 次，此或项称为最大项。 最大项表达式：当或与式中所有或项为最大项时称为最大项表 达式。
例10
z(a, b,c) (a b c)(a b c)(a b c)(a b c)
真值表和最小项、最大项的关系
逻辑函数的最小项 表达式和最大项表达式 是唯一的。
例11
z a bc abc abc abc m(1,3,6,7) z (a b c)(a b c)(a b c)(a b c) M (0,2,4,5)
逻辑化简：
逻辑图
z (b3 , b2 , b1 , b0 ) b3 b2 b1 b2 b0
例17
用卡诺图化简下一逻辑函数成为最简积之和表达式 （即最简“与或”式）。
F(A,B,C,D)=Σm(0,2,9,11,13)+Σd(4,8,10,15)
BD
AD
最简的与或表达式
F(A, B, C, D) AD BD