正态分布及其经典习题和答案整理

专题：正态分布【知识网络】

1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；

2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；

3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

【典型例题】

例1：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为（）

A．n=4，p=0.6 B．n=6,p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1

答案：B。解析：()4.2

=p

np

V。

-

X

=np

1(=

X

=

E，()44.1

)

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞

+的面积为( )。

A．95% B．50% C．97.5% D．不能确定（与标准差的大小有关）

答案：B。解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，

标准差为

10，理论上说在80分到90分的人数是

（ ）

A 32

B 16

C 8

D 20

答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)，

80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为

___________ 。

答案：8.5。解析：设两数之积为X ，

∴E(X)=8.5.

（5）如图，两个正态分布曲线图：

1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ， 则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于）

答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能

答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题

进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的

概率.

答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的

概率

分布如下：

甲答对试题数ξ的数学期望

E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310

381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立，

方法一：

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45

115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=⋅=⋅B P A P B A P

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-

=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45

44． 方法二：

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45

44. 例3：

甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的

随机变量X 和Y ，其分布列如下： （1）求

a,b 的值； （2）比

较两名射手的水平. 答案：（1）

a=0.3,b=0.4;

（2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX

所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．

例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6

个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5

红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢

得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人

认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心

动”.。

答案：设取出的红球数为X ，则X —H （6，6，12），666612()k k C C P X

k C -⋅==，其中

k=0,1,2,…,6

设赢得的钱数为Y ，则Y 的分布列为

∴1675100()100502010029.4446277154231

E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-，故我们不该“心动”。 【课内练习】

1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A ．0与1

B ．1与0

C ．0与0

D ．1与1

答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A ．μ越大

B ．μ越小

C ．σ越大

D ．σ越小

答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()

∑=-n i i x x n 121是指 A ．σ B ．μ C ．2σ D ．2μ（ ）

答案：C 。解析：由方差的统计定义知。

4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4=ξV ，则n 的值是 。

答案：4。解析：()12==np E ξ，()4)1(=-=p np V ξ

5．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34

，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E （X ）= 。 答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342

P X ==⨯=。 ∴15117()012212212E X =⨯

+⨯+⨯=。 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是 。

(1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=

(2))0(1)(2)|(|>-<=

(3))0)((21)|(|><-=

(4))0)(|(|1)|(|>>-=

答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0P a ξ==。