用幻方妙解数学趣题

上．现 在就 可 以根据 三个 “ 四 阶幻方 ” 推演 出 图 １ ０的答 案来
了． 时 ，将 内外 两个 立方 体 同
顶点 上 的数 字 交换 ， 可得 另 外
×
ｏ ｏ ×
个面） 四个 顶 点 的数 字 之 和均
为 ３． ４ 这应该 如何 填？
Байду номын сангаас
的答案． 回
Ｏ × ｏ
“ 四阶幻 方” 巧填
“ 摩西约利斯米难题” 玛・ １５ ４ ３年 前后 ， 耳其 君 士 土 坦 丁堡 的 学 者玛 ・ 摩西 约 利 斯 米 出了如下 一个填 数题 ：
则 要 竭 力 阻 拦 这 种 局 面 的形 成 ．实际上 ，这 就是 中国古 老 的游戏 “ 吃井 字” 图 ５ 两 人 ．如 ， 轮 流 在 一 个 “ ” 框 里 分 打 井 字 “ ” “ ” 谁 能 把 自己 画 的 Ｏ 或 ｘ， “ 或 … 成一条 直线 ， ｏ” ｘ 连 谁就 算赢
上， ２ ４ 让 — －９组成 一 个 大 角
奇 葩 ， 千年 的数 学历 史 长 河 几 中 ， 们一 直 都对 幻方 有 着 浓 人 厚 的兴 趣 ．一 直 都 在研 究 它． “ 阶幻 方 ”如 图 １ “ 三 、 四阶 幻 方 ” 图 ２ 都是 最古 老的幻方． 如 ．
形 ， ３放 在 ５ ８线 上 ． 成 把 — 组 ３ —７大 三 角 形 ．其 余 相 —５
同， 图 ４ 见 ．
图 ３
图４
１ ３ ２ ｌ ６ ３ ５ １ １ ８ ０ １
９ ６ ７ １ ２ １ １ ｌ ． ５ ４
图 ２
观 察 、 析 “ 因斯 坦 填 分 爱 数 题 ”它 具 有 “ 阶 幻 方 ” ， 三 的 特 征要求 ．于是联 想到用 “ 三 阶幻 方 ”来 帮助 解决 ． 察发 观
组 数之 和都等 于 １．于是上 面 ５ 的取 牌 游 戏 就 变 成 了另 一 种 全 然 不 同 的 形 式 ：对 策 的 双 方， 一方 要 尽可 能使 自己 占据 “ 阶幻 方 ” 三 中某行 、 某列 、 某对
角 线上 的三个 位 置 ： 而另 一 方
５中 的记 号 ， 就 会 明 白其 中 你 的奥秘 ．
两 个立 方 体 ， 一个 含 于 另
一
１ ６这 １ 数 中每个数 皆会 出 ６个
现在 ６组 和为 ３ ４的 四数组 合
个 之 中 ． 相 应 顶点 处 有连 且
线 （ ６． 图 ） 请在其顶点处分别
填 上 ｌ２ ３４… … ｌ 、、、 ６这 １ ６个 数， 而使 图 中每 个 面 上 （ ２ 有 ４
现： 中间 三角形 的三个 圆圈 和
同理 可填 出 另三 种情 况 ， 请读者 自己试 试．
用 “ 阶 幻 方 ” 决 三 解
“ 取牌 游戏 问题”
其 余 ６个 三 角 形 的联 系 最 多 ． 而 这 一 点 和 “ 阶幻 方 ” 的 三 中 对角 线上 的数 比较相 似．我们
上．这 就是 说一 张幻 方不 足 以
凑 出 ６组 和 为 ３ ４的数 来 ． 为 解决 这 一 问题 ， 只要 在 原幻 方
的基础 上 ， 加 改造 后 得 到新 稍 的幻 方 ， 如图 ７ ８ 、． 同时 又另 构 造一 个 “ 阶 四 幻方 ”如 图 ９ ， ．
有 了这 些幻 方 ，这 时 １ —
ｌ科 生舌学 嘲 ｕ ａ ｆ， 字 与 ； 科 Ｓｄ ｎＬ ・ ． 馆１ ｑ ｄｉ ｔ— ｅ
用幻方妙解数学趣题
０ 丁学明 幻方 是 数 学 界 里 的一 朵
较 大 的等 腰 三 角 形 和 ３个 大 的等腰 三 角形 的顶 点 ． １ ９ 将 — 这 九个 数字 填入 圆圈 ， 求这 要 ７个三 角形 中每个 三角形 顶点 的数 字之 和相等 ．
不 妨 在 中 间三 个 圆 圈里 填 上 ５ ２ ８或 ４ —６ — — —５ ．下 面 是
一
它的 最大 特征 是 行 、列 、 对 角 线 上 的几 个 数 之 和都 相 等 ．我 们 正好 利 用 这 一 特点 ． 可 以 巧妙 的 去解 决 数 学智 力 问题 ． 面举 三例 ． 下 以飨读 者．
曾有 人 向世 界 杰 出 的 数
学 家 ， 一 台电子 计 算机 发 明 第
者冯 ・ 依曼 教授 请 教 了如 下 诺
一
个取牌 游戏 问题 ：
九 张 扑 克 牌 ，分 别 是 Ａ
种具 体 的填法 ：
① 中 间三个 圆 圈填 ５ —
用 “ 阶幻方 ” 三 巧填
“ 爱因斯 坦填数题 ”
思考 时间里 ， 就想 到 了“ 阶幻 三 方” ．因为“ 阶幻方 ” 所有 ８ 三 里
著 名 物 理 学 家 爱 因斯 坦 曾经设计 过这样 一道填 数题 ：
如 图 ３所 示 的 ９个 圆 圈 是 ３个 小 的等 腰 三 角 形 ， １个
圈里应填 ３４ －；③确定 ３４的 ， 、
位 置 ．观 察 “ 阶 幻 方 ” 有 三 ， ４ — ２和 ３ ５ ．这 样 就 —９ — —７
简 单 了 ，把 ４放 在 ２ —８横线
１ 中 科 学叹 ２初 全 导 瞬 快 三 源 ： 为有 爱有 希 。 乐 大 泉有 ； ： 望 所 所 所
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图５
我们敞开思路 ， 会联想到
“ 阶幻 方 ” 四 ．用 “ 四
（ 为 ｌ ）２ ３ 作 点 、 、 ……９ 翻在 桌 ，
子上 ， 两人 轮 流取 牌 ， 取 走 已
２ ； 从 “ 阶幻 方 ” —８ ② 三 中看
出 ， ４ ３相加得 １ ， 以与 ８与 、 ５所 ８ 成小 三角 形 中的另两 个 圆 组
的牌不 能 重新 放 回去 ． 手 中 谁 有 ３张 牌 点 数 加 起 来 会 等 于 ｌ． ５ 谁就 赢． 冯・ 诺依 曼 教授 在一 分 钟