材料力学课件：扭转 (2)

GI P
GI P
工程实际中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率。
许用扭转角变化率： []
工作时扭转角变化率： d T
dx GIP
刚度条件：
T ( GI P
)max
[
]
一般[]单位为度/m
强度条件：
max
T
WP
max
[ ]
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例：计算总扭转角，并校核轴的强度与刚度
m=2M/a 3M
d
dx
dA
T
T
dT
A
A dA
G d 2dA T dx A
定义 A 2dA IP
圆轴扭转角变化率
d T
dx GIP
极惯性矩
Page11
G
d
dx
d T
dx GIP
圆轴扭转剪应力一般公式
T
IP
分布：与 成正比
方向：垂直于半径
Page12
总结
外部变形
平面假设
切应变
d
dx
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程)
➢ 研究思路
几何、物理、静力学三方面分析
1、几何方面 方法： 观察外部变形 建立几何方程
假设内部变形
Page4
观察外部变形
圆周线： 形状与大小不变
径向无变形
间距不变
轴向无变形
纵向线 ： 偏转同一个角度
周向无变形
结论：相邻圆周线只绕轴线作相对刚性转动
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内部变形规律(假设): 相邻横截面只绕轴线作相对 刚性转动
➢ 薄壁圆管的扭转切应力 1、精确计算
R1 R2
——按空心圆筒的计算办法
2、近似计算
管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布
T= AR0
T
A2R0
2 R02
当R0/10时，足够精确
适用于弹性、非弹性、各向同性、各向异性的均质材料薄壁管。
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§4-3 圆轴扭转强度
➢ 扭转失效与扭转极限应力
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
Page1
内容
§4-2 圆轴扭转横截面上的应力 §4-3 圆轴扭转强度 §4-4 圆轴扭转变形与刚度计算
Page2
§4-2 圆轴扭转横截面上的应力
➢ 问题的性质 已知条件： 横截面的扭矩 未知量： 横截面上各点的应力 （类型、大小、方向？） o
T
Page3
取： Dk 77mm
dk Dk 69mm
3、二者重量比β等于横截面面积之比
4
( Dk2
d
2 k
)
/(
4
Ds2 )
39.5%
Page24
➢ 圆轴合理设计
实心轴
空心轴
如果管壁过薄，
管受扭时会产 生皱折现象
过渡处有应力集中
圆角过渡可以减小应力集中
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§4-4 圆轴扭转变形与刚度
➢ 圆轴扭转变形
G1
组合轴G2>G1
R1
R2
G2 G1
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组合轴扭转切应力分析
平面假设成立
r
d
dx
0 R1
G
所以：
G2 G1
d
dx
d
dx
0 R2 R2 R1
R1
R2
T
G2
G1
R1 R2 G2 G1
组合轴 G2 G1
扭转应力的一般公式适用范围：圆截面轴， max
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横截面上剪应力
T
IP
验证?
Page13
➢ 圆轴横截面上最大扭转切应力
T
IP
max
圆轴扭转最大切应力：
max
TR IP
T IP / R
定义
WP
IP R
max
T WP
Page14
公式的适用范围
max
T WP
● 材料在比例极限范围内。
● 只能用于圆截面轴(包括空心圆截面轴)。
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➢ 极惯性矩与抗扭截面模量
B
:
2M
A: D3
16 M
D3(1
扭转极限应力
u
s b
塑性材料 脆性材料
➢ 圆轴扭转强度条件
许用切应力： u
n
塑性材料：[ ] (0.5 ~ 0.577)[ ] 脆性材料： [ ] (0.8 ~ 1.0)[ t ]
工作应力：
max
T
WP
max
强度条件：
max
T
WP
max
[ ]
Page21
强度条件
max
max
T
WP
max
[
]
根据强度条件设计轴的直径：1）实心轴；
2）=0.9的空心轴
解：1、实心轴直径
T
16
DS3
[ ]
取：Ds=54mm
16T
Ds 3 [ ] 53.5mm
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2、空心轴直径
T
[ ]
D3（1 4）
16 空
max
T
WP
max
[
]
16T
D空 3 (1 4 )[ ] 76.3mm
M dD
a
a
a
a
解：
1、扭矩图 T
d T dx
l
l GI P
M
x
2M
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2、总扭转角
T
A
总
a 0
2M xdx a
G D4
2Ma
G D4
Ma
G D
4
G
2M
Ma
D4 d 4
32
32
32
32
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Bx
3、强度校核
T Wp
max
AB,CD段为危险段
dD
a
a
a
a
max
m
ax
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变形几何方程 小变形
bb' tan ab
d
dx
d
dx
dx
O1
O2
d
b
a b’
d c
d’
Page9
d
dx
2、物理方程
a
b
c
d
d’
G
G d
dx
O1
O2
A
B
C
D
分布：与 成正比
方向：垂直于半径
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3、静力学方面
微剪力 dQ dA
微力矩 dT dQ
则有：
G
T
WP
max
[
]
根据强度条件可以解决以下几类强度问题
max
T WP
max
?[
]
WP
Tmax
[ ]
Tmax WP [ ]
1、校核构件的强度 2、选择构件截面尺寸 3、确定构件承载能力
给定T、 []，确定结构参数
4、最轻重量设 计
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例：已知 T=1.5kN.m, 50MPa
d T
dx GIP
d T dx
GI P
相距l的两横截面间的扭转角：
l
d
l
T dx GI P
对于常扭矩等截面圆轴的相对扭转角： T l
GI P
M
2M
M
M l1 M l2
GI P
GI P
m
l mx dx
0 GI P
x
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➢ 圆轴扭转刚度条件
M
2M
M
M l1 M l2
平面假设
横截面
保持平面，形状与大小不变 半径仍为直线 间距不变
Page6
dx
轴内某点的变形规律
截取微段
用相距dx的一对横截面 截取微楔
取夹角为d的一 对径向纵截面
R
a
dx
O1
O2
d b
Ac
d
B
C
D
Page7
微楔的变形情况
O1
dx
O2
d
R
a
b
b’
A
d
B
B’ d’
C
D
D’
dx a
c
b
b’ d
d d’
d
DD dd
dA 2d
I p
2dA
D/ 2 2 2d
d/2
(D4 d4)
32
A
WP
IP D/2
(D4 d4)
16D
Page16
例: 画空心轴横截面扭转剪应力示意图
R1 R2
T
T
IP
空心轴
M’
M’
M’
M’
Page17
例：画组合轴横截面扭转切应力示意图
R1 R2 T G2