第九章静电场中的导体和介质部分习题分析与解答
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(1)取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得
2 r R D 4 r 0 D 0 ; E 0 . 1 1 1
Q Q R r R d D 4 r Q D 2 ; E . 2 2 2 2 4 r 4 r 0 r Q Q 2 r R d D 4 r Q D 2 ; E 2 . 3 3 3 4 r 4 r 0 将不同的r值代入上述两式，可得r=5cm、15cm和25cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向沿径向朝外。
9-3 在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同 心的金属球壳B，已知球壳B的内、外半径分别为 R2=8.0cm, R3=10.0cm.设球A带有总电荷QA=3.0 10-8 C. 球壳B带有总电荷QB=2.0 10-8 C. （1）求球壳B内、外 表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球 壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球 壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
9-4 三个平行板A、B和C的面积均为S，其中A板带 电Q，B、C板不带电，A、B间相距为d1， A、C间相 距为d2。求: （1）各导体板上的电荷分布和导体板间 的电势差；（2）将B、C两导体板分别接地，再求导 体板上的电荷分布和导体板间的电势差。
解:（1）设电荷分布如上图所示，据静电平衡时导体 板上电荷分布的规律，有
2
r1=5cm，该点在导体球内，则 Dr1=0;Er1=0. r2=15cm，该点在介质层内，εr=5.0,则
Q Q 8 2 2 1 D 3 . 5 10 C m ; E 8 . 0 10 V m . r 2 r 2 2 2 4 r 4 r 0 r 2
q d q q 1 V d q 0 S S 4 r 4 R 4 r 4 R 0 0 0 0 R 感应电荷总量为：q d q q S r
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9-8 两根输电线，其导线半径为3.26mm，两线中心 相距0.50m，线位于地面上空很高处，因而大地的影 响可以忽略。求输电线单位长度的电容。 解：由课本第九章9-2节例3可知两输电线的电势差
由高斯定理知：qBL = qCR
qBR =- qAL
qAR =- qCL
又对导体板B：qBL + qBR =0 对导体板C：qCL + qCR =0 对导体板A：qAL + qAR =Q 联立以上各式，得 qBL = qAL= qAR = qCR =Q/2 qBR = qCL=-Q/2
Q 故有： V d BA 1 2 S 0
QA qA VB 40R 3
R R Q 8 1 2 A 解得： q 2 . 12 10 C A R R R R R R 1 2 2 3 1 3
Q q 2 A A 得： V 7 . 92 10 V B 4 R 0 3
即，球A的外表面、球壳B的内、外表面所带的电荷 分别为：2.1210-8 C、 -2.1210-8 C、 -0.910-8 C.
介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同， 但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。 9-15 在一半经为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶 绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为εr。设沿 轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ。试求介质层 内的D、E和P.
D d S D 2 rL L ; 得： D e r; 2 r
SU 0 r Q C U 1 1 ( d ) r
(3)插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容 和极板上的电荷分布为
0S C2 d
导体中电场强度：E2 0
0S Q U 2 d
U 空气中电场强度：E2 d
r 5 cm , V 1 1
R d
R
E d r d r 2 3 E
R d
Q Q Q 540 V ； 4 R4 ( R d ) 4 ( R d ) 0 r 0 r 0
(3)均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的 电容率ε= ε0，极化电荷可忽略，故在介质外表面；有
Q VAC d2 20S
（2）B、C两导体接地，UBC=0,则有 qBL = qCR=0 qAR+ qAL =Q qBR =- qAL qCL =- qAR
q q CL BR d d 1 2 0 0S 0S
联立以上各式，得
d 2 q q Q BR AL d d 1 2 d 1 q q Q CL AR d d 1 2
解：由于带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面， 电介质的极化电荷也均匀分布在介质球形界面上，因 而介质中的电场是球形对称分布的。由高斯定理有：
D d S q ; 0 另： D E ； V Ed r ； 0 r
r
由于极化电荷分布在均 匀介质表面， 故有 P ； n
( 1 ) Q r P ( 1 ) E ； n r 0 n 2 4 ( R d ) r ( 1 ) Q 8 2 r P 1 . 6 10 C m ； n 2 4 ( R d ) r
在介质内表面：
( 1 ) Q r P ( 1 ) E ； n r 0 n 2 4 rR ( 1 ) Q 8 2 r P 6 . 4 10 C m ； n 2 4 R r
D E e r 2 r 0 r 0 r 1 P D E ( 1 ) e 0 r r r 2
在均匀各向同性介质中
解：由介质的高斯定理，有
9-16 设有两个薄导体同心球壳A与B，它们的半径 分别为R1=10cm与R3=20cm，并分别带有电荷-4.0 10-8 C与1.0 10-7 C。球壳间有两层介质，内层介质 的εr1=4.0，外层介质的εr2=2.0，其分界面的半径为R2 =15cm。球壳B外为空气。求: (1)两球间的电势差UAB; (2)离球心30cm处的电场强度； (3)球A的电势. 解: (1)由介质中的高斯定理，有
Q 1 D D e; 1 2 2 r 4 r D Q 1 1 E e. 1 2 r 4 0 r 0 r 1 r 1
2 D d S D 4 r Q ; 1
R rR 1 2
D Q 2 1 E e . 2 r 2 r 0 r 2 4 0 r 2
R 3 R 1
R r R 2 3
R R 2 3 U E d l E d l E d l AB 1 2
R 1 R 2
两球壳间的电势差
Q 1 1 Q 1 1 1 1 ( ) ( ) 60 V ； 4 R 4 R 0 r 1 R 2 0 r 2 R 3 1 2
(3)取无穷远处电势为零，则
9-18 有一空气平板电容器，极板面积为S，间距为d。 现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当(1)充 足电后；(2)然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（ δ <d）、相对电容率为εr的电介质板；(3)将上述电介质 换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容C，极 板上的电荷Q和极板间的电场强度E. 解: (1)空气平板电容器的电容:C0= ε0S/d 充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为：
Q d d 1 2 U BA 0S d d 1 2 Q d d2 1 U AC 0S d 1 d 2
9-6 在真空中，将半径为R的金属球接地，与球心 O相距为r(r>R)处放置一点电荷q，不计接地导线上 电荷的影响。求金属球表面上的感应电荷总量。 解：金属球为等势体，金属 q’ 球上任一点的电势V等于点电 R q 荷q和金属球表面感应电荷q’ O 在球心处激发的电势之和。 r 而金属球接地，总电势为零。 所以球心处的电势为
Q Q 3 A B V 4 . 5 10 V B 4 R 0 3
（2） 将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电 qA ，球A和球壳B的电势为：
q q Q q A A A A V 0 A 4 R R 4 R 0 1 4 0 2 0 3
解： （1）由于静电平衡时电荷只分布于导体的表面上， 故：球A在外表面带电QA=3.0 10-8 C，球壳B内表面 带电-QA= -3.0 10-8 C，球壳B外表面带电QA + QB = 5.0 10-8 C。 由电势的叠加，知球A和球壳B的电势分别为： Q Q Q 3 A A Q A B V 5 . 6 10 V A 4 R R R 0 1 4 0 2 4 0 3
d R U ln 0 R
因此，输电线单位长度的电容为
C U lndR ln d/R R 12 代入数据，得 C 4 . 86 10 F
0
0
9-13 如图所示，半径R=0.10m的导体球带有电荷Q =1.0 10-8 C,导体外有两层均匀介质，一层介质的εr= 5.0，厚度d=0.10m，另一层介质为空气，充满其余空 间。求: (1)离球心为r=5cm、15cm、25cm处的D和E； (2)离球心为r=5cm、15cm、25cm处的V;(3)极化电荷 面电荷密度σ’。
r3=25cm，该点在空气内，空气中εr≈1， ε ≈ ε0则 Q Q 8 2 3 1 D 1 . 3 10 C m ; E 1 . 4 10 V m . r 3 r 3 2 2 4 r 4 r 0 3
(2)取无限远处电势为零，由电势与电场强度的关系得：
Q0= ε0SU/d; E0 =U/d
(2)插入电介质后，电容器的电容C1为 S Q 0 r C 1 Q Q ( d ) r ( d ) S S 0 0 r
介质内电场强度 Q U 1 E 1 S d ) 0 r r( 空气中电场强度 Q U 1 r E 1 S d ) 0 r(
Q r 25 cm , V E d r 360 V ； 3 3 3 r 1 4 r 0
r 15 cm , V 2 2
R d r 2
E d r d r 2 3 E
R d
Q Q Q 480 V ； 4 r ( R d ) 4 ( R d ) 0 r 2 4 0 r 0
（2）同理由高斯定理可得 Q Q 3 1 1 2 E e 6 . 0 10 e V m 3 r 2 r 4 r 0
Q Q 3 1 2 U U E d l U 2 . 1 10 V A AB 3 AB B 4 R 0 3
2 r R D 4 r 0 D 0 ; E 0 . 1 1 1
Q Q R r R d D 4 r Q D 2 ; E . 2 2 2 2 4 r 4 r 0 r Q Q 2 r R d D 4 r Q D 2 ; E 2 . 3 3 3 4 r 4 r 0 将不同的r值代入上述两式，可得r=5cm、15cm和25cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向沿径向朝外。
9-3 在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同 心的金属球壳B，已知球壳B的内、外半径分别为 R2=8.0cm, R3=10.0cm.设球A带有总电荷QA=3.0 10-8 C. 球壳B带有总电荷QB=2.0 10-8 C. （1）求球壳B内、外 表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球 壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球 壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
9-4 三个平行板A、B和C的面积均为S，其中A板带 电Q，B、C板不带电，A、B间相距为d1， A、C间相 距为d2。求: （1）各导体板上的电荷分布和导体板间 的电势差；（2）将B、C两导体板分别接地，再求导 体板上的电荷分布和导体板间的电势差。
解:（1）设电荷分布如上图所示，据静电平衡时导体 板上电荷分布的规律，有
2
r1=5cm，该点在导体球内，则 Dr1=0;Er1=0. r2=15cm，该点在介质层内，εr=5.0,则
Q Q 8 2 2 1 D 3 . 5 10 C m ; E 8 . 0 10 V m . r 2 r 2 2 2 4 r 4 r 0 r 2
q d q q 1 V d q 0 S S 4 r 4 R 4 r 4 R 0 0 0 0 R 感应电荷总量为：q d q q S r
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9-8 两根输电线，其导线半径为3.26mm，两线中心 相距0.50m，线位于地面上空很高处，因而大地的影 响可以忽略。求输电线单位长度的电容。 解：由课本第九章9-2节例3可知两输电线的电势差
由高斯定理知：qBL = qCR
qBR =- qAL
qAR =- qCL
又对导体板B：qBL + qBR =0 对导体板C：qCL + qCR =0 对导体板A：qAL + qAR =Q 联立以上各式，得 qBL = qAL= qAR = qCR =Q/2 qBR = qCL=-Q/2
Q 故有： V d BA 1 2 S 0
QA qA VB 40R 3
R R Q 8 1 2 A 解得： q 2 . 12 10 C A R R R R R R 1 2 2 3 1 3
Q q 2 A A 得： V 7 . 92 10 V B 4 R 0 3
即，球A的外表面、球壳B的内、外表面所带的电荷 分别为：2.1210-8 C、 -2.1210-8 C、 -0.910-8 C.
介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同， 但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。 9-15 在一半经为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶 绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为εr。设沿 轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ。试求介质层 内的D、E和P.
D d S D 2 rL L ; 得： D e r; 2 r
SU 0 r Q C U 1 1 ( d ) r
(3)插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容 和极板上的电荷分布为
0S C2 d
导体中电场强度：E2 0
0S Q U 2 d
U 空气中电场强度：E2 d
r 5 cm , V 1 1
R d
R
E d r d r 2 3 E
R d
Q Q Q 540 V ； 4 R4 ( R d ) 4 ( R d ) 0 r 0 r 0
(3)均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的 电容率ε= ε0，极化电荷可忽略，故在介质外表面；有
Q VAC d2 20S
（2）B、C两导体接地，UBC=0,则有 qBL = qCR=0 qAR+ qAL =Q qBR =- qAL qCL =- qAR
q q CL BR d d 1 2 0 0S 0S
联立以上各式，得
d 2 q q Q BR AL d d 1 2 d 1 q q Q CL AR d d 1 2
解：由于带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面， 电介质的极化电荷也均匀分布在介质球形界面上，因 而介质中的电场是球形对称分布的。由高斯定理有：
D d S q ; 0 另： D E ； V Ed r ； 0 r
r
由于极化电荷分布在均 匀介质表面， 故有 P ； n
( 1 ) Q r P ( 1 ) E ； n r 0 n 2 4 ( R d ) r ( 1 ) Q 8 2 r P 1 . 6 10 C m ； n 2 4 ( R d ) r
在介质内表面：
( 1 ) Q r P ( 1 ) E ； n r 0 n 2 4 rR ( 1 ) Q 8 2 r P 6 . 4 10 C m ； n 2 4 R r
D E e r 2 r 0 r 0 r 1 P D E ( 1 ) e 0 r r r 2
在均匀各向同性介质中
解：由介质的高斯定理，有
9-16 设有两个薄导体同心球壳A与B，它们的半径 分别为R1=10cm与R3=20cm，并分别带有电荷-4.0 10-8 C与1.0 10-7 C。球壳间有两层介质，内层介质 的εr1=4.0，外层介质的εr2=2.0，其分界面的半径为R2 =15cm。球壳B外为空气。求: (1)两球间的电势差UAB; (2)离球心30cm处的电场强度； (3)球A的电势. 解: (1)由介质中的高斯定理，有
Q 1 D D e; 1 2 2 r 4 r D Q 1 1 E e. 1 2 r 4 0 r 0 r 1 r 1
2 D d S D 4 r Q ; 1
R rR 1 2
D Q 2 1 E e . 2 r 2 r 0 r 2 4 0 r 2
R 3 R 1
R r R 2 3
R R 2 3 U E d l E d l E d l AB 1 2
R 1 R 2
两球壳间的电势差
Q 1 1 Q 1 1 1 1 ( ) ( ) 60 V ； 4 R 4 R 0 r 1 R 2 0 r 2 R 3 1 2
(3)取无穷远处电势为零，则
9-18 有一空气平板电容器，极板面积为S，间距为d。 现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当(1)充 足电后；(2)然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（ δ <d）、相对电容率为εr的电介质板；(3)将上述电介质 换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容C，极 板上的电荷Q和极板间的电场强度E. 解: (1)空气平板电容器的电容:C0= ε0S/d 充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为：
Q d d 1 2 U BA 0S d d 1 2 Q d d2 1 U AC 0S d 1 d 2
9-6 在真空中，将半径为R的金属球接地，与球心 O相距为r(r>R)处放置一点电荷q，不计接地导线上 电荷的影响。求金属球表面上的感应电荷总量。 解：金属球为等势体，金属 q’ 球上任一点的电势V等于点电 R q 荷q和金属球表面感应电荷q’ O 在球心处激发的电势之和。 r 而金属球接地，总电势为零。 所以球心处的电势为
Q Q 3 A B V 4 . 5 10 V B 4 R 0 3
（2） 将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电 qA ，球A和球壳B的电势为：
q q Q q A A A A V 0 A 4 R R 4 R 0 1 4 0 2 0 3
解： （1）由于静电平衡时电荷只分布于导体的表面上， 故：球A在外表面带电QA=3.0 10-8 C，球壳B内表面 带电-QA= -3.0 10-8 C，球壳B外表面带电QA + QB = 5.0 10-8 C。 由电势的叠加，知球A和球壳B的电势分别为： Q Q Q 3 A A Q A B V 5 . 6 10 V A 4 R R R 0 1 4 0 2 4 0 3
d R U ln 0 R
因此，输电线单位长度的电容为
C U lndR ln d/R R 12 代入数据，得 C 4 . 86 10 F
0
0
9-13 如图所示，半径R=0.10m的导体球带有电荷Q =1.0 10-8 C,导体外有两层均匀介质，一层介质的εr= 5.0，厚度d=0.10m，另一层介质为空气，充满其余空 间。求: (1)离球心为r=5cm、15cm、25cm处的D和E； (2)离球心为r=5cm、15cm、25cm处的V;(3)极化电荷 面电荷密度σ’。
r3=25cm，该点在空气内，空气中εr≈1， ε ≈ ε0则 Q Q 8 2 3 1 D 1 . 3 10 C m ; E 1 . 4 10 V m . r 3 r 3 2 2 4 r 4 r 0 3
(2)取无限远处电势为零，由电势与电场强度的关系得：
Q0= ε0SU/d; E0 =U/d
(2)插入电介质后，电容器的电容C1为 S Q 0 r C 1 Q Q ( d ) r ( d ) S S 0 0 r
介质内电场强度 Q U 1 E 1 S d ) 0 r r( 空气中电场强度 Q U 1 r E 1 S d ) 0 r(
Q r 25 cm , V E d r 360 V ； 3 3 3 r 1 4 r 0
r 15 cm , V 2 2
R d r 2
E d r d r 2 3 E
R d
Q Q Q 480 V ； 4 r ( R d ) 4 ( R d ) 0 r 2 4 0 r 0
（2）同理由高斯定理可得 Q Q 3 1 1 2 E e 6 . 0 10 e V m 3 r 2 r 4 r 0
Q Q 3 1 2 U U E d l U 2 . 1 10 V A AB 3 AB B 4 R 0 3