立体几何中的最值问题(一)
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立体几何中的最值问题（一）
海红楼
立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。
一、运用变量的相对性求最值
例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为，点P 、Q 分别在线
2段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（
）
A.
B.
C. 2
D. 1
5
55
5
2解析：如图1，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ ⊥SC ，在Rt △SOC 中，中。又P 在BD 上运动，且当5
5
2=
OQ
P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为
，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B 。 5
5
2
图1
二、定性分析法求最值
例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。
解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α于E ，则BE=CD 。连结AE ，因为AB ⊥CD ，故AB ⊥BE 。则在Rt △ABE 中，BE=AB ·tan ∠BAE ≥AB ·tan ∠BAO=3·tan30°=
。故。
33≥CD
图2
三、展成平面求最值
例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（
）
A. 2a
B. 2b
C. 2c
D. a+b+c
图3-1
解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与A’、D 与D’在四面体中是同一点，且，，
''////D A BC AD '//CD AB A 、C 、A’共线，D 、B 、D’共线，
。又四边形PQRS 在展开图中变为折线S’PQRS ，
BD DD AA 2''==S’与S 在四面体中是同一点。因而当P 、Q 、R 在S’S 上时，最小，也就是四边
RS QR PQ P S +++'形PQRS 周长最小。又，所以最小值。故选B 。
''SA A
S =''DD SS L ==b BD 22==
图3-2
四、利用向量求最值
例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为_______。
解析：以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），G （1，1，1）。根据题意设
P （x ，0，x ），则，)01
(x x BP ，，-=→
，那么
)111(---=→
x x GP ，
，
图4
12234222+-++-=+x x x x PB GP
2
22221021220)1(2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x 式子
可以看成x 轴正半轴上一点（x ，0，
222
221021220)1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-x x 0）到xAy 平面上两点、的距离之和，其最小值为。所以GP+PB 的最
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0221，⎪⎭⎫ ⎝⎛02121，221+小值为
。
222
2
12+=+
⋅
立体几何中的最值问题
一、线段长度最短或截面周长最小问题
例1. 正三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.
解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝＝
2
2AN AM +2
2)12(1++＝
10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2.
则MN ＝
＝＝
︒⋅-+120cos 222AN AM AN AM 2
1
312)3(122⨯
⨯⨯++3
4+∵
＜
∴＝.
3
4+10min MN 3
4+例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=（1）求MN 的长；
a