三角形中的三角函数
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的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.
测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别
为75°，30°，于水面C处测得B点和D点 的仰角均为60°，AC=0.1 km.
(1)试探究图中B，D间的距离 与另外哪两点间距离会相等？ (2)求B，D间的距离.
【规范解答】(1)如图，在△ADC中，∠DAC=30°，
∠BCA=α,
cos AC2 BC2 AB2 ， 2AC BC
由余co弦s定 理20，2 得282 122 13.
2 20 28 14
即
因为αs为in锐角1， cos2 1 (13)2 3 3 .
14 14
所以
3 3. 14
答：sinα的值为
例3如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直
【思路启迪】 在△ABD 中，可考虑正弦定理，在△BCD 中，可考虑用余弦定理求 CD.
【解】 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△ABD
中，由正弦定理，得 sin
D∠BDAB＝sin
【规范解答】(1)依题意， ∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC中，由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784， 解得BC=28. 所以渔船甲的速度为 BC 14(海里/小时).
例 1．如图，A，B 是海面上位于东西 方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点， 现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位 于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立 即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
S ABC
1 absin C 2
1 bcsin 2
A
1 2
ac sin
B
SABC
abc 4R
2R2
sin
Asin
B sin C
海伦公式 SABC
p
p
a
p
b
p
c
p
a
b 2
c
SABC = pr
(其中
p=
a
b 2
c
,r
为内切圆半径)
5. 三角形内角平分线定理：
△ABC
中，AＤ为
A
的平分线，
AB AC
BD DC
6、中线长公式： 在△ABC 中， BC 上的 中线长 AD 2AB2 2AC2 BC2
2
6．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、
计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线 上方 叫仰角，目标视线在水平视 线 下方 叫俯角(如图①)．
∠ADC=60°－∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km，……………………………………………4 分 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，∴∠CED=90°， ∴CB是△CAD底边AD的中垂线， ∴BD=BA.………………………………………………………6分
(2)在△ABC中，由正弦定理得：
20 3(海里)，
在△DBC 中，由余弦定理，得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12＝900，
∴CD＝30(海里)，∴需要的时间 t＝3300＝1(小时)． 故救援船到达 D 点需要 1 小时．
例2.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的 B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小 时的速度从岛屿A出发沿正北方向 航行，若渔船甲同时从B处出发 沿北偏东α的方向追赶渔船乙， 刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值.
2
(2)方法一：在△ABC中，因为AB=12， ∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由正弦定理，得 AB BC .
sin sin120
即 sin ABsin120 12
3 2
3
3.
BC
28 14
答：sinα的值为 3 3 .
14
方法二：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，
cos(A+B)= -cosC, tan(A+B)= -tanC
cos
C 2
=sin
A
2
B
,
sin
C 2
=cos
A
2
B
,等等
3、角 A 为锐角 cos A 0 b2 c2 a2 ， 角 A 为直角 b2 c2 a2 ， 角 A 为钝角 b2 c2 a2 ，
4、三角形面积公式：
4.3解三角形（二） 三角形中的三角函数
一、结论归纳
1、三角形的基本结论： （1）大边对大角，大角对大边。如 A B a b sin A sin B （2）构成三角形的充要条件：每两边之和大于第三边， 每两边之差小于第三边，或较小的两边之和大于最大边。
2、内角和定理：A+B+C=180°， sin(A+B)=sinC,
AB AC , sinBCA sinABC
即 AB AC sin60 3…2… …6…(k…m)…, ……………8分
sin15
20
BD 3 2 …6…(k…m…) ………………………………11分
20
答：B，D间的距离是3 2 6…km…. ……………………12分
20
【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下
(2)方位角：指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如 B 点的方位角为 α(如图②)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)称为方向 角．北偏东 α°即由指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向；北 偏西 α°即由指北方向逆时针旋转 α°到达目标方向；
南偏西等其他方向角类似． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
∠ABADB，
∴DB＝ABsi·nsin∠∠ADDBAB＝53＋sin
3·sin 45° 105°
＝ sin
53＋ 3·sin 45° 45°cos 60°＋cos 45°sin
＝5 60°
3 3＋1 3＋1
2
＝10 3(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝
测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别
为75°，30°，于水面C处测得B点和D点 的仰角均为60°，AC=0.1 km.
(1)试探究图中B，D间的距离 与另外哪两点间距离会相等？ (2)求B，D间的距离.
【规范解答】(1)如图，在△ADC中，∠DAC=30°，
∠BCA=α,
cos AC2 BC2 AB2 ， 2AC BC
由余co弦s定 理20，2 得282 122 13.
2 20 28 14
即
因为αs为in锐角1， cos2 1 (13)2 3 3 .
14 14
所以
3 3. 14
答：sinα的值为
例3如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直
【思路启迪】 在△ABD 中，可考虑正弦定理，在△BCD 中，可考虑用余弦定理求 CD.
【解】 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△ABD
中，由正弦定理，得 sin
D∠BDAB＝sin
【规范解答】(1)依题意， ∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC中，由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784， 解得BC=28. 所以渔船甲的速度为 BC 14(海里/小时).
例 1．如图，A，B 是海面上位于东西 方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点， 现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位 于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立 即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
S ABC
1 absin C 2
1 bcsin 2
A
1 2
ac sin
B
SABC
abc 4R
2R2
sin
Asin
B sin C
海伦公式 SABC
p
p
a
p
b
p
c
p
a
b 2
c
SABC = pr
(其中
p=
a
b 2
c
,r
为内切圆半径)
5. 三角形内角平分线定理：
△ABC
中，AＤ为
A
的平分线，
AB AC
BD DC
6、中线长公式： 在△ABC 中， BC 上的 中线长 AD 2AB2 2AC2 BC2
2
6．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、
计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线 上方 叫仰角，目标视线在水平视 线 下方 叫俯角(如图①)．
∠ADC=60°－∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km，……………………………………………4 分 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，∴∠CED=90°， ∴CB是△CAD底边AD的中垂线， ∴BD=BA.………………………………………………………6分
(2)在△ABC中，由正弦定理得：
20 3(海里)，
在△DBC 中，由余弦定理，得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12＝900，
∴CD＝30(海里)，∴需要的时间 t＝3300＝1(小时)． 故救援船到达 D 点需要 1 小时．
例2.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的 B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小 时的速度从岛屿A出发沿正北方向 航行，若渔船甲同时从B处出发 沿北偏东α的方向追赶渔船乙， 刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值.
2
(2)方法一：在△ABC中，因为AB=12， ∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由正弦定理，得 AB BC .
sin sin120
即 sin ABsin120 12
3 2
3
3.
BC
28 14
答：sinα的值为 3 3 .
14
方法二：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，
cos(A+B)= -cosC, tan(A+B)= -tanC
cos
C 2
=sin
A
2
B
,
sin
C 2
=cos
A
2
B
,等等
3、角 A 为锐角 cos A 0 b2 c2 a2 ， 角 A 为直角 b2 c2 a2 ， 角 A 为钝角 b2 c2 a2 ，
4、三角形面积公式：
4.3解三角形（二） 三角形中的三角函数
一、结论归纳
1、三角形的基本结论： （1）大边对大角，大角对大边。如 A B a b sin A sin B （2）构成三角形的充要条件：每两边之和大于第三边， 每两边之差小于第三边，或较小的两边之和大于最大边。
2、内角和定理：A+B+C=180°， sin(A+B)=sinC,
AB AC , sinBCA sinABC
即 AB AC sin60 3…2… …6…(k…m)…, ……………8分
sin15
20
BD 3 2 …6…(k…m…) ………………………………11分
20
答：B，D间的距离是3 2 6…km…. ……………………12分
20
【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下
(2)方位角：指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如 B 点的方位角为 α(如图②)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)称为方向 角．北偏东 α°即由指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向；北 偏西 α°即由指北方向逆时针旋转 α°到达目标方向；
南偏西等其他方向角类似． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
∠ABADB，
∴DB＝ABsi·nsin∠∠ADDBAB＝53＋sin
3·sin 45° 105°
＝ sin
53＋ 3·sin 45° 45°cos 60°＋cos 45°sin
＝5 60°
3 3＋1 3＋1
2
＝10 3(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝