圆中常见辅助线的做法教案

O

C

B

A

O

C

B

A

O

C

B

A

学生姓名: 周俊瑶 授课时间： 2011-10-6 年级： 九年级 教师姓名： 范一龙

课 题

圆中常见辅助线的做法

教学内容

1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，

那么OP 的长的取值范围是_________．

2． 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,

∠B=

3． 遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例4】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，

AB=6，AC=8，⊙O的半径是

4．遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，

则∠C的度数是________.

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

【例8】如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、

OB 于

点E 、F ．

求证：AB 是⊙O 切线；

7． 遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③

全等、

相似三角形。

【例9】如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是弧AB 上

任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周 长为12，则PA 长为______________

8． 遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得：

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ② 内心到三角形三条边的距离相等。

【例10】如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=

【例11】如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，求Rt △ABC 的内

心I 与外心O 之间的距离．

A

B C D

E

P

O

9． 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

圆的辅助线做法口诀 弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.

练习

一、证明解答题

1．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD. 求证：PO 平分∠BPD ．

2．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.

3．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.

A

B

C

D

O

E

4．如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机

行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果

拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？

5．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.

A

C

B

M N o

F

E

D

O

C

B

A