第七章资产组合理论
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➢ 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的 不确定性程度。
•投资学 第7章
单个证券的收益
例：序号(i) 1 2 3 4
预期收益率
收益率(R) 5%
概率(Pi) 0.2
7%
0.3
13%
0.3
15%
0.2
=10%
•投资学 第7章
• 单个证券的风险
•投资学 第7章
•计算方差、标准差？
•投资学 第7章
•投资学 第7章
•组合的收益率
• 证券组合预期收益率等于组合内各资产期望收益 率的加权平均。公式如下：
• 每一证券对组合的预期回报率的贡献依赖于它 的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额， 而与其他一切无关。
•投资学 第7章
•组合的风险
➢组合的风险一般用标准差或方差表示。公式如下： • 由两种证券构成的证券组合的方差 ：
•投资学 第7章
命题7.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两 条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：
•投资学 第7章
•投资学 第7章
两种证券完全负相关的图示
•收益 rp
•风险σp
•投资学 第7章
7.2.6
两种不完全相关的风险资产的组 合的可行集
•投资学 第7章
总结：在各种相关系数下、两种风险资产 构成的可行集
▪ 证明：由资产组合的计算公式可得
•投资学 第7章
两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许 买空卖空）。
•收益 Erp
•风险σp
•投资学 第7章
7.2.5 两种完全负相关资产的可行集
▪ 两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，则有
▪ 有效集(Efficient Set)：对理性投资者， 满足：1.同样风险水平，选择收益最高组合；
2.同样收益水平，选择风险最低组合。 同时满足这两个条件的组合的集合就是有效 集，或称有效边界。（如图）
•投资学 第7章
N个证券的组合的可行集
•最小方差曲线就是有效边 界，它只有右上方的那一 段才有实际意义。理性的 投资者都会选择有效边界 上的点进行投资组合。
▪ 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模型 （Arbitrage pricing theory，APT）。
▪ 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够 地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH）
•投资学 第7章
7.2 资产组合理论
▪ 基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标 准差）来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即 投资者是理性的。 （3）投资者的投资为单一投资期，多期投 资是单期投资的不断重复。 （4）投资者希望持有有效资产组合。
•投资学 第7章
➢ 协方差不能直接用来比较两变量间相关性的强弱 ，但是，相关系数则可以解决上述因难。相关系 数记为ρ，协方差除以(σAσB )，实际上是对A、B 两种证券各自平均数的离差，分别用各自的标准 差进行标准化。其计算公式为：
•投资学 第7章
•计算协方差、相关系数？
•投资学 第7章
•不同相关系数下的风险
• 由n个证券组成的证券组合的方差为： • • • 投资组合的标准差依赖与各基本证券的标准差、投 资比例以及同其他基本证券间的协方差。
•投资学 第7章
•当证券的种类越来越多时，证券组合回报 率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协 方差而不是证券的方差。
•投资学 第7章
风险小结
➢ 如果仅持有一种资产，那么单个资产自身的方差 便是风险的衡量指标，且方差越大，风险越大， 投资者所要求的风险报酬也就越高。
•双证券组合
•投资学 第7章
同动程度与相关性
➢ 衡量组合风险大小就不再是组合中单个证券的 方差，而是证券的方差的函数，而且还是单个 资产与组合中其他资产同动程度的函数。
➢ 同动程度和相关性是有区别的，虽然均可用相 关系数ρ来衡量。当相关系数ρ的绝对值|ρ|越 接近1时，那么，两资产的相关性就越强；当 |ρ|越接近0时，两资产相互独立。
▪ 可行集与有效集
➢ 可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合 的期望收益和方差。
➢ 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水 平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平 下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个 点。
第七章资产组合理论
2020年7月25日星期六
7.1 概述
▪ 现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发 表的《投资组合选择》为标志
▪ 1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出 了资本资产定价模型（Capital asset pricing model， CAPM）
•投资学 第7章
投资组合理论的基本假设
➢ 假设证券市场是有效的，投资者能得知证券市场 上多种证券收益与风险的变动及其原因。
➢ 假设投资者都是风险厌恶者； ➢ 风险以预期收益率的方差或标准差表示；
➢ 假定投资者根据证券的收益率和标准差选择证券 组合，则在风险一定的情况下，他们感预期利益 率最高，或在预期收益率一定的情况下，风险最 小。
得到资产组合的可行集的顶部边界和底部 边界。 ▪ 其他所有的可能情况，在这两个边界之中 。
•投资学 第7章
•7.2.4 两种完全正相关资产的可行集
组合的风险－收益二维表示
•收益rp
•.
•投资学 第7章
•风险σp
两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1，则有
•投资学 第7章
▪ 命题7.1：完全正相关的两种资产构成的可行 集是一条直线。
❖ 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集 或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集 中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合 则无须考虑。
•投资学 第7章
❖ 整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从 G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具 有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如： 自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如Ｐ ，与可行集内其它点所对应的投资组合（如Ａ点）比较起 来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而 与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险 又是最小的。
➢ 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界（ Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的 连线）。
•投资学 第7章
可行集与有效集
▪ 可行集(Feasible Set)：是指N种证券所组成的 所有组合的集合，所有可能的组合位于可行 集的内部或边界上。（如图）可行集的形状 呈伞形的曲面。
•投资学 第7章
•不同风险厌恶水平的无差异曲线
•I •I2
1
•I3
•I •I2
1
•I3
•I
1
•I2
•I3
•投资学 第7章
不同理性投资者具有不同风险厌恶程度
•投资学 第7章
•7.2.2投资组合的均值与方差
➢ 均值(Mean)本身是期望值的一阶矩差，方差 (variance）是围绕均值的二阶矩差。方差在描 述风险有一定局限性，如果两个组合的均值和 方差都相同，但收益率的概率分布不同时。
•
位于坐标西北方向的无差异曲线上的组合比位
于 坐标东南方向的无差异曲线上的组合更满意；
•
若投资者风险厌恶者（risk averse），则无
差别曲线有正的斜率并且是凸的。
•投资学 第7章
无差异曲线（效用理论）
•Βιβλιοθήκη Baidu资学 第7章
理性投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲线
•同一条无差异曲线, 给投资者所提供的效用（即满足程度） 是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜, 高风险被其具有的 高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该 曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。
➢ 假定多种证券之间的收益是相关的，在得知一证 券与其它各证券的相关系数，可以选择得最低风 险的证券组合
•投资学 第7章
现代投资理论的框架
•投资学 第7章
•7.2.1无差异曲线
➢无差异曲线的含义
•
表示一个投资者对风险和收益的偏好的曲线。
➢无差异曲线的性质
一条给定的无差异曲线上的所有组合为投资 者提供的满意程度相同，无差异曲线不能相交；
➢ 为什么？
•投资学 第7章
•不可能的可行集
•收益rp
•A
•B
•风险σp
•投资学 第7章
7.2.7 风险资产组合的有效集
❖ 在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收 益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一 些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下 ，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况 下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均 方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；
➢ 如果持有多种资产，即持有证券组合时，组合的 风险不仅是各单个资产方差的函数，同时还是各 资产间同动程度的函数。如果证券组合中两资产 同动程度越弱，那么组合的风险也就越小。
➢ 证券组合的方差越大，其风险也就越大，投资者 对组合的要求的风险报酬也就越高。
•投资学 第7章
7.2.3 组合的可行集和有效集
➢ 而对同动程度而言，当ρ越接近+1两资产的同 动程度则越强。当ρ越接近-1时，两资产的同 动程度则越弱。
•投资学 第7章
•不同相关系数
•投资学 第7章
协方差与相关系数
➢ 协方差(Covariance)是用来衡量两种资产的收益 率同动程度的指标。如果两种资产的收益率趋向 于同增或同减，那么它们间的协方差便为正值。 反之便为负值。
▪ 类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一 个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。
•收益rp
•投资学 第7章 •风险σp
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资 产彼此不完全相关，则可行集合将是 一个二维的实体区域
2. 可行区域是向左侧凸出的
➢ 因为任意两项资产构成的投资组合都位 于两项资产连线的左侧。
•收益Erp
•ρ=1
•ρ=0
•ρ=-1
•风险σp
•投资学 第7章
•投资学 第7章
3种风险资产的组合二维表示
▪ 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两 两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假 设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。
•收益rp
•3 •4
•2
•1 •风险σp
•投资学 第7章
•n种风险资产的组合二维表示
•投资学 第7章
两种风险资产构成的组合的风险与收益
▪ 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系 数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望 收益和方差为
•由此就构成了资产在给定条件下的可行集！
•投资学 第7章
▪ 注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1
▪ 因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以
•投资学 第7章
单个证券的收益
例：序号(i) 1 2 3 4
预期收益率
收益率(R) 5%
概率(Pi) 0.2
7%
0.3
13%
0.3
15%
0.2
=10%
•投资学 第7章
• 单个证券的风险
•投资学 第7章
•计算方差、标准差？
•投资学 第7章
•投资学 第7章
•组合的收益率
• 证券组合预期收益率等于组合内各资产期望收益 率的加权平均。公式如下：
• 每一证券对组合的预期回报率的贡献依赖于它 的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额， 而与其他一切无关。
•投资学 第7章
•组合的风险
➢组合的风险一般用标准差或方差表示。公式如下： • 由两种证券构成的证券组合的方差 ：
•投资学 第7章
命题7.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两 条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：
•投资学 第7章
•投资学 第7章
两种证券完全负相关的图示
•收益 rp
•风险σp
•投资学 第7章
7.2.6
两种不完全相关的风险资产的组 合的可行集
•投资学 第7章
总结：在各种相关系数下、两种风险资产 构成的可行集
▪ 证明：由资产组合的计算公式可得
•投资学 第7章
两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许 买空卖空）。
•收益 Erp
•风险σp
•投资学 第7章
7.2.5 两种完全负相关资产的可行集
▪ 两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，则有
▪ 有效集(Efficient Set)：对理性投资者， 满足：1.同样风险水平，选择收益最高组合；
2.同样收益水平，选择风险最低组合。 同时满足这两个条件的组合的集合就是有效 集，或称有效边界。（如图）
•投资学 第7章
N个证券的组合的可行集
•最小方差曲线就是有效边 界，它只有右上方的那一 段才有实际意义。理性的 投资者都会选择有效边界 上的点进行投资组合。
▪ 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模型 （Arbitrage pricing theory，APT）。
▪ 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够 地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH）
•投资学 第7章
7.2 资产组合理论
▪ 基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标 准差）来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即 投资者是理性的。 （3）投资者的投资为单一投资期，多期投 资是单期投资的不断重复。 （4）投资者希望持有有效资产组合。
•投资学 第7章
➢ 协方差不能直接用来比较两变量间相关性的强弱 ，但是，相关系数则可以解决上述因难。相关系 数记为ρ，协方差除以(σAσB )，实际上是对A、B 两种证券各自平均数的离差，分别用各自的标准 差进行标准化。其计算公式为：
•投资学 第7章
•计算协方差、相关系数？
•投资学 第7章
•不同相关系数下的风险
• 由n个证券组成的证券组合的方差为： • • • 投资组合的标准差依赖与各基本证券的标准差、投 资比例以及同其他基本证券间的协方差。
•投资学 第7章
•当证券的种类越来越多时，证券组合回报 率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协 方差而不是证券的方差。
•投资学 第7章
风险小结
➢ 如果仅持有一种资产，那么单个资产自身的方差 便是风险的衡量指标，且方差越大，风险越大， 投资者所要求的风险报酬也就越高。
•双证券组合
•投资学 第7章
同动程度与相关性
➢ 衡量组合风险大小就不再是组合中单个证券的 方差，而是证券的方差的函数，而且还是单个 资产与组合中其他资产同动程度的函数。
➢ 同动程度和相关性是有区别的，虽然均可用相 关系数ρ来衡量。当相关系数ρ的绝对值|ρ|越 接近1时，那么，两资产的相关性就越强；当 |ρ|越接近0时，两资产相互独立。
▪ 可行集与有效集
➢ 可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合 的期望收益和方差。
➢ 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水 平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平 下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个 点。
第七章资产组合理论
2020年7月25日星期六
7.1 概述
▪ 现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发 表的《投资组合选择》为标志
▪ 1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出 了资本资产定价模型（Capital asset pricing model， CAPM）
•投资学 第7章
投资组合理论的基本假设
➢ 假设证券市场是有效的，投资者能得知证券市场 上多种证券收益与风险的变动及其原因。
➢ 假设投资者都是风险厌恶者； ➢ 风险以预期收益率的方差或标准差表示；
➢ 假定投资者根据证券的收益率和标准差选择证券 组合，则在风险一定的情况下，他们感预期利益 率最高，或在预期收益率一定的情况下，风险最 小。
得到资产组合的可行集的顶部边界和底部 边界。 ▪ 其他所有的可能情况，在这两个边界之中 。
•投资学 第7章
•7.2.4 两种完全正相关资产的可行集
组合的风险－收益二维表示
•收益rp
•.
•投资学 第7章
•风险σp
两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1，则有
•投资学 第7章
▪ 命题7.1：完全正相关的两种资产构成的可行 集是一条直线。
❖ 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集 或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集 中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合 则无须考虑。
•投资学 第7章
❖ 整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从 G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具 有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如： 自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如Ｐ ，与可行集内其它点所对应的投资组合（如Ａ点）比较起 来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而 与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险 又是最小的。
➢ 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界（ Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的 连线）。
•投资学 第7章
可行集与有效集
▪ 可行集(Feasible Set)：是指N种证券所组成的 所有组合的集合，所有可能的组合位于可行 集的内部或边界上。（如图）可行集的形状 呈伞形的曲面。
•投资学 第7章
•不同风险厌恶水平的无差异曲线
•I •I2
1
•I3
•I •I2
1
•I3
•I
1
•I2
•I3
•投资学 第7章
不同理性投资者具有不同风险厌恶程度
•投资学 第7章
•7.2.2投资组合的均值与方差
➢ 均值(Mean)本身是期望值的一阶矩差，方差 (variance）是围绕均值的二阶矩差。方差在描 述风险有一定局限性，如果两个组合的均值和 方差都相同，但收益率的概率分布不同时。
•
位于坐标西北方向的无差异曲线上的组合比位
于 坐标东南方向的无差异曲线上的组合更满意；
•
若投资者风险厌恶者（risk averse），则无
差别曲线有正的斜率并且是凸的。
•投资学 第7章
无差异曲线（效用理论）
•Βιβλιοθήκη Baidu资学 第7章
理性投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲线
•同一条无差异曲线, 给投资者所提供的效用（即满足程度） 是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜, 高风险被其具有的 高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该 曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。
➢ 假定多种证券之间的收益是相关的，在得知一证 券与其它各证券的相关系数，可以选择得最低风 险的证券组合
•投资学 第7章
现代投资理论的框架
•投资学 第7章
•7.2.1无差异曲线
➢无差异曲线的含义
•
表示一个投资者对风险和收益的偏好的曲线。
➢无差异曲线的性质
一条给定的无差异曲线上的所有组合为投资 者提供的满意程度相同，无差异曲线不能相交；
➢ 为什么？
•投资学 第7章
•不可能的可行集
•收益rp
•A
•B
•风险σp
•投资学 第7章
7.2.7 风险资产组合的有效集
❖ 在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收 益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一 些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下 ，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况 下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均 方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；
➢ 如果持有多种资产，即持有证券组合时，组合的 风险不仅是各单个资产方差的函数，同时还是各 资产间同动程度的函数。如果证券组合中两资产 同动程度越弱，那么组合的风险也就越小。
➢ 证券组合的方差越大，其风险也就越大，投资者 对组合的要求的风险报酬也就越高。
•投资学 第7章
7.2.3 组合的可行集和有效集
➢ 而对同动程度而言，当ρ越接近+1两资产的同 动程度则越强。当ρ越接近-1时，两资产的同 动程度则越弱。
•投资学 第7章
•不同相关系数
•投资学 第7章
协方差与相关系数
➢ 协方差(Covariance)是用来衡量两种资产的收益 率同动程度的指标。如果两种资产的收益率趋向 于同增或同减，那么它们间的协方差便为正值。 反之便为负值。
▪ 类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一 个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。
•收益rp
•投资学 第7章 •风险σp
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资 产彼此不完全相关，则可行集合将是 一个二维的实体区域
2. 可行区域是向左侧凸出的
➢ 因为任意两项资产构成的投资组合都位 于两项资产连线的左侧。
•收益Erp
•ρ=1
•ρ=0
•ρ=-1
•风险σp
•投资学 第7章
•投资学 第7章
3种风险资产的组合二维表示
▪ 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两 两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假 设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。
•收益rp
•3 •4
•2
•1 •风险σp
•投资学 第7章
•n种风险资产的组合二维表示
•投资学 第7章
两种风险资产构成的组合的风险与收益
▪ 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系 数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望 收益和方差为
•由此就构成了资产在给定条件下的可行集！
•投资学 第7章
▪ 注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1
▪ 因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以