第二节 迭代法 2

3 4

1.2 0.25 ( 3 1 2 1.22 )
3 4
0.87 1
x 2 ( x)
x 4 1
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( x) 4 2

x 4 1 x 4
4
1
5 1 5

1
0.11
x 3 ( x) x4 2 x2 3
x xk ( x ) ( xk 1 ) ( )( x xk 1 ) L x xk 1
反复用此不等式，并注意 0 < L < 1 , 因此
x x k Lk x x0 0 ( k )
k
即迭代过程收敛， 且
lim xk x 。 证毕。
1 x 2 x 2 )4
x 4 1
x 3 ( x) x4 2x2 3
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分别按以上三种形式建立迭代格式，并取x0=1进行 迭代计算，结果如下：
xk 1 1 ( xk ) (3 xk 2 x ) x26 x27 1.124123
( k , c 0)
则称迭代格式 xk 1 ( xk ) 是 p 阶收敛的.
特别地, p = 1时称为线性收敛, p = 2 时称为二阶(平方)收敛, , 收敛阶越大, 收敛越快 1<p<2时称为超线性收敛显然 . 利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.
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x x ( x ) 在[a , b]上有唯一根 ;
(2) 对任意迭代初值 x0∈[a , b],迭代序列 xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,) 收敛于 x 。
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证 (1) 先证方程 x ( x ) 之解存在且唯一. 由于 ( x ) 在[a , b]上存在, 所以 ( x ) 连续。
x ( x ) ( ) ( )( x ) L x
此式仅当 x 0 才能成立， 因此 x 。 （2） 再证迭代格式 xk 1 ( xk ) 收敛 任取 x0∈[ a, b ]，由微分中值定理，有
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( k 0,1, 2,)
如果这个数列有极限 lim xk x
k

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x 当(x) 连续时,显然 就是方程 x=(x) 之根。
于是可以从数列{ xk }中求得满足精度要求的近似根。
这种求根方法称为迭代法。
xk 1 ( xk )
数列 { xk } 称为迭代序列。
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3 2 f ( x ) x 4 x 10 0 在 例2 用迭代法求方程
[1,2] 内的一个近似根，取初始近似值 x0 1.5
解
原方程的等价方程可以有以下不同形式
(1) ( 2) ( 3) ( 4) x x x 3 4 x 2 10 10 x 4x x 1 x 10 x 3 2 10 x 4 x
由定理2知 ( x0 ) 值越小，收敛速度就越快
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取 x0 1.5 , 列表计算如下 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 1.5 -0.875 6.732 -469.7
1.03 108
(2) 1.5 0.8165 2.9969
( 8.65)1 2
e k 1 1 1 lim lim ( a ) 3 3 k k ( e ) 3! 4a ( a xk ) k
a xk 1
此定理在理论上十分重要, 但是条件(1)却不容易判 别. 如果仅在根的邻域中考察迭代格式, 则下述定 理可避免条件(1)的判别。
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例如 例1中采用的三种迭代格式 ,在隔根区间 (1, 1.2)内有
x 1 ( x ) (3 x 2 x 2 )1 4
( x) 1 x 0.25 (3 x 2 x 2 )
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接上图
n
9
(1)
(2)
(3)
1.36487822
(4)
1.36523001
10
15 20
1.36541006
1.36522368 1.36523024
23
25
1.36522998
1.36523001
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四、迭代法的收敛速度
e x x , k 令 k 若 e k 1 c p ek
可见迭代格式不同, 收敛情况也不同。 第二种格式比第一种格式收敛快得多,而第三种格式 不收敛。
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三、迭代法的收敛条件
定理 1 设 ( x ) 在[a , b]上存在,且满足条件：
(1) 当x∈[a , b]时， ( x ) [a , b];
(2) 存在正数L<1，使对任意的 x∈[a , b], ( x ) L 1。 则 (1) 方程
数学学院 信息与计算科学系 第二节 迭代法
一、迭代法的基本思想
迭代法是一种重要的逐次逼近法,其基本思想是： 将方程 f (x)= 0 化为等价方程 x ( x ) , 然后在隔根区间内取一点 x0 ，按下式计算
xk 1 ( xk )
计算结果生成数列 x0 , x1 ,, xk ,
1
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1 ( 3) ( x ) 10 x 3 2 1 3 2 ( x) x (10 x 3 ) 2 4 (1.5) 0.656 1 收敛 10 ( 4) ( x ) 4 x 1 10 2 1 ( x ) 5( ) 4 x ( 4 x )2 (1.5) 0.122 1 收敛
且有下列误差估计式
L < 1，使 ( x ) L 1,
L x xk xk xk 1 1 L k L x xk x1 x0 1 L

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x 反之，若在根 的邻域 U 内
( x ) 1
则迭代必发散。 提示：定理的证明利用定理1以及微分中值定理。
( k 0,1, 2,)
称为迭代格式, (x) 称为迭代函数, x0 称为迭代初值,
如果迭代序列收敛,则称迭代格式收敛,否则称为发
散。
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二、 迭代法的几何意义
一般来说从 f ( x ) 0 , 构造 ( x )不止一种，有的 收敛，有的不收敛，这取决于 ( x )的性态。 方程 x ( x ) 的根，在几何上就是直线 y x y ( x ) x 与曲线 的横坐标 。 如图2-3所示
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对应的迭代公式有：
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
3 2 xn 1 xn xn 4 xn 10
10 x n 1 4 xn xn 1 3 xn 1 10 xn 2 10 xn 1 4 xn
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考察四种迭代法在根附近的收敛情况，取根的 x0 1.5。 近似值为 解
3 3 ( x) 4 x 4 x 8
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定理 2 若方程 x ( x ) 之根的某邻域

U x | x x
内 ( x ) 存在,且存在正常数

x U 则任取 x0∈ U , 迭代格式 xk 1 ( xk ) 均收敛于 x ,
定理 3 设 x 为x ( x ) 之根,在x 的邻域 U内
( x ) 有连续的 p 阶导数，则
(1) 若 0 ( x ) 1 , 则迭代过程在 x 的邻近
为线性收敛；
( p1) ( p) (2百度文库 若 ( x ) ( x ) ( x ) 0 , ( x ) 0 ,
1 2 4 k
xk 1 2 ( xk )
4 2 xk 1 3 ( xk ) xk 2 xk 3
x6 x7 1.124123
x3 96, x4 8.495307 107
xk 4 1
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x 准确根 = 1.124123029 。
(1) ( x ) x x 3 4 x 2 10
( x ) 1 3 x 2 8 x (1.5) 17.75 1
10 ( 2) ( x ) 4x x
不收敛
1 10 10 2 ( x ) ( 4 x ) ( 2 4 ) 2 x x 不收敛 (1.5) 5.128 1
x 则迭代过程在 的邻近为 p 阶收敛。
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例 2 证明迭代公式 xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a) ，试求
a (a 0) 的三阶方法。假设 x0 充分靠近 x , 求
a xk 1 lim k ( a x ) 3 k
解 由泰勒展式可得
作函数
f ( x) x ( x),
则 f (x) 在[a , b]上连续。 由条件 (1) f (a) ≤0 , f (b) ≥0 , 故存在
x [a , b ,]
即 x ( x )。 f ( x ) 0 使
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设方程 x ( x ) 还有一根 , 则由微分中值定理及条件(2) 有 则由微分中值定理及条件值定理及条件(2)有
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例1 用迭代法求方程 x4+2x2-x-3=0 在区间[1, 1.2]内的 实根。 解 对方程进行如下三种变形：
x 1 ( x ) ( 3
x4 2x 2 x 3 0 x 2 ( x)
(3) 1.5 1.28695377 1.40254080 1.34545838 1.37517025 1.36009419 1.36784697 1.36388700 1.36591673
(4) 1.5 1.34839973 1.36737637 1.36495701 1.36526475 1.36522559 1.365223058 1.36522994 1.36523002