2015-2016概率统计(B)答案

广州大学2015-2016学年第二学期考试卷参考答案
课 程：概率论与数理统计 考 试 形 式：闭卷考试
一、选择题（每小题2分，总计10分）
1．下列给出的数列中，可用来描述某一随机变量分布律的是（ D ）.
（A ）25i p i =，5,4,3,2,1=i ； （B ）6)
5(2i p i -=，3,2,1,0=i ；
（C ）1453i p i =，5,4,3,2,1=i ； （D ）30
2
i p i =，4,3,2,1=i .
2．设事件A 与B 同时发生的概率()0P AB =，则( C ).
(A)事件A 与B 相互独立; (B)事件A 与B 不相关; (C)()()()P A B P A P B =+ ; (D)事件AB 为不可能事件.
3．已知2.0)(=A P ，2.0)(=B P ，A 与B 互斥，则=-)(A B P （ B ）. （A ）0.04； （B ）0.2； （C ）0.16； （D ）0.
4．设()f x ，()F x 分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数，则( B ). (A)()f x 连续; (B)()()F x f x '=; (C)()()f x F x '=; (D)lim ()1x f x →+∞
=.
5．设)4,2(~N X , 若Y =( A ), 则~(0,1)Y N .
(A)
22
-X ; (B)24X -; (C)24X +; (D)42X +. 二、填空题（每小题2分，总计10分）
1． 袋中有6个红球，2个白球.从中任取3个，则恰好取到2个红球的概率是___28
15
___. 2． 已知()0.4P A =,()0.5P B =,6.0)|(=A B P ,则()P A B = 0.66 . 3．每次试验中A 出现的概率为p ，在三次试验中A 出现至少一次的概率是64
63
，则p = 0.75 .
4．设离散型随机变量X 的分布律为
X 0 1 3 P 0.6 0.1 0.3
其分布函数为()F x ，则(2)F = 0.7 .
5．设321,...,),64,3(~x x N X 为X 的一个样本，则样本均值X 的方差为 2 . 三、（本题满分8分）
袋中有红球7个, 白球3个, 从中抽3个, 求
(1)抽到3个红球的概率()P A ;(2)抽到至多2个白球的概率()P B .
解：(1) 24
7
)(31037==C C A P ……(4分)
(2) ()1()P B P B =-120119
1310
33=-
=C
C = ……(8分) 四、（本题满分10分）
设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占35%, 25%, 40%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.
解：记事件0：“该产品是次品”， 事件2A ：“该产品为乙厂生产的”， 事件3A ：“该产品为丙厂生产的”，事件B ：“该产品是次品”.------2分 由题设，知
%,35)(1=A P %,25)(2=A P %,40)(3=A P
1(|)4%P B A =，2(|)2%P B A =，3(|)5%P B A =，------5分 由全概率公式得
3
1()()(|)i i i P B P A P B A ==∑%39=.------8分
由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得
1(|)P A B 1()()
P A B P B =
11()(|)()P A P B A P B =3914
=.------10分 五、（本题满分8分） 设随机变量X 的分布律为
试求：(1)随机变量2
1Y X
=+的分布律；(2)Y 的分布函数. 解：(1) 随机变量Y 的分布律为
……(5分)
(2) ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<≤<≤<=y y y y y F 51
526.0211.010
)( ……(8分)
六、（本题满分14分）
设随机变量（X ，Y ）的分布密度
f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,
0,
0,0,)43(其他y x A y x e
求：（1） 常数A ；
（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数；
（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.
解：（1） 由-(34)0
(,)d d e d d 112
x y A
f x y x y A x y +∞+∞
+∞
+∞
+-∞
-∞
==
=⎰
⎰
⎰
⎰
得 A =12 （2） 由定义，有
(,)(,)d d
y x
F x y f u v u v -∞-∞
=⎰
⎰
(34)340012e
d d (1
e )(1e )0,0,
0,0,
y y
u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰其他
(3) {01,02}P X Y ≤<≤<
1
2
(34)
38
00
{01,02}
12e
d d (1
e )(1e )0.9499.
x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰
⎰
七、（本题满分为10分）
袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号
码为Y .
（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？
解：（1） X 与Y 的联合分布律如下表
(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010
P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立
八、（本题满分10分）
某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费200元, 若一年内发生重大
人身事故, 其本人或家属可获2.5万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在0到75万元之间的概率是多少?
2t x -
(,)n p ，其中5000n =，0.005p =.------2分 保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为X 5.2500002.0-⨯万元.------5分 所求概率为
)4010()755.2500002.00(≤≤=≤-⨯≤X P X P ------6分
995.02525
40)1(995
.0252510⨯-≤
--≤⎩⎨⎧⨯-=p np np X P ------7分 )3()3(-Φ-Φ≈------8分 1)3(2-Φ=------9分 =0.9974.-----10分
十、（本题满分10分）
设分别自总体21N(,)μσ和2
2N(,)μσ中抽取容量为n 1，n 2的两个独立样本，其样本方差分别为
2212
,S S . 试证：对于任意常数a ，b （a ＋b ＝1），Z ＝a 21s ＋b 22s 都是σ2的无偏估计，并确定常数a ，b ，使D(Z)达到最小.
解 由题意，22
12,S S 相互独立, ()()222212,E S E S σσ==
则2222
221212()()()()()E Z E aS bS aE S bE S a b σσ=+=+=+=
所以，Z 是2σ的无偏估计. 又
2
2211~(1)1S n n σχ-- ()211(1)2(1)D n n χ-=-,
所以
()24442
22111
1112222
11111122(1)1(1)(1)1n n D S D S D S n n n n n σσσσσσ⎛⎫--⎛⎫
===-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 同理 ()42
2221
D S n σ=-
因此有
()24242
222222241212121222()()21111a b a b D aS bS a D S b D S n n n n σσσ⎛⎫+=+=+=+ ⎪----⎝⎭
由于a +b =1, 由10题的结果，可得
当11212n a n n -=+-，2121
2
n b n n -=+-，D(Z)有极小值，最小值为：
224
4
12122()2112
a b D Z n n n n σσ⎛⎫=+=
⎪--+-⎝⎭。