上教版高二数学教案——共轭复数运算

共轭复数及其四则运算

教学目标：1．掌握共轭复数概念及其性质；

2．通过对共轭复数加法，乘法运算的证明进一步体会复数问题转化为实数问题

的思想方法。

3．会运用四则运算及性质证明复数为实数。

教学重点：共轭复数的四则运算及性质

教学难点：合理利用共轭复数性质解决问题

教学过程：

一、复习引入

复习共轭复数的概念：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。即.(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈

二、新课讲授

引例：1232,43z i z i =+=+，计算12z z +和12z z +（学生计算） （提问学生）发现：1212z z z z +=+

（教师提出问题）对任意的两个复数，是否具有上述性质？更一般的，对任意两个复数，上述性质对减法，乘法，除法是否也成立？（引出课题）

共轭复数的四则运算：

（1）1212z z z z ±=± （2）1212z z z z ⋅=⋅ （3）11222

(0)z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （先验证（1），得出加法运算法则，类比让学生写出剑法，乘法，除法运算法则，再证明乘法法则）

验证（1）设1112221122,(,,,)z a b i z a b i a b a b R =+=+∈，

12112212121212()()()()z z a bi a b i a a b b i a a b b i +=+++=+++=+-+

12112211221212()()z z a bi a b i a bi a b i a a b b i +=+++=-+-=+-+ 即1212z z z z +=+

同样可得到其他性质的证明。

注：1.可把求复数的共轭复数作为一种运算，那么复数的四则运算法则实际上实现了四则运算与求共轭复数运算的交换。

2．共轭复数加法，乘法运算可推广到n 个，如：

1212n n z z z z z z +++=+++ 1212n n z z z z z z ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

3．特别：①(),n n z z n N *=∈， ②()k z k z k R ⋅=⋅∈

三、例题

例1：判断正误

（1）z z +是实数。（性质：2z z a R +=∈）

（2）如果12z z +是实数，那么12,z z 互为共轭复数；

（3）z 为实数，则z z =（即实数的共轭复数是它本身）

（4）z 为纯虚数，则z z =-；

（5）z z -为纯虚数；

解：（1）正确。设,(,)z a bi a b R =+∈，则2z z a bi a bi a R +=++-=∈

（2）错误。因为只要12,z z 的虚部互为相反数即可。反例122,3z i z i =+=-

（3）正确。设z a =，则z a =

（4）正确。设,(0)z bi b =≠，则z bi z =-=-

（5）错误。设,(,)z a bi a b R =+∈，2z z bi -=，当0b ≠时为纯虚数，当0b =时，

0z z -= 共轭复数的一些重要性质：

（1）z z R +∈ （2）z z -为纯虚数或零

由例1中（3）（4）分别可得z 为实数和纯虚数时,z z 的关系，那么反过来,z z 满足上述条件，能否得到z 为实数和纯虚数。推导出两个重要性质：

（3）0z R z z ∈⇔-= （4）z 为纯虚数00z z z ⇔≠+=且

例2：已知复数z 满足1z =，求证：1z z +

是实数。 解： 法一：求出1z z

+的虚部，利用复数是实数充要条件是虚部为零解决。 设,(,)z a bi a b R =+∈，

2211()()a bi z a bi a bi z a bi a b

-+

=++=++++，∵2211z a b =⇒+= 所以12z a z +=为实数。 法二：提示学生2

z z z ⋅=，让学生思考如何利用？

设,(,)z a bi a b R =+∈，21zz z ==

所以212z z z z z z z a z z z z

+=+=+=+=⋅为实数。 法三：利用复数为实数的另一个充要条件z z = 只要证11z z z z

+=+ 11110z z z z z z z z z z z z z z z z z z

-+-+=-+-=-+=-+-=⋅ 所以1z z

+是实数。 比较：法一是复数问题的常规解法，把复数问题转化成实数运算来解决。 法二法三均灵活运用了2z z z ⋅=这一重要性质，法三同时还运用了复数为实数的充要条件，

较注重技巧，起到简化运算的效果。

变化：题目改为已知虚数z 满足1z z

+是实数，求证1z =，可以怎么解决？ 法一：设,(,)z a bi a b R =+∈， 22222211()()()()a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b

-+

=++=++=++-++++ 为实数，∴220b b a b -=+，∵z 为虚数，0b ≠，∴22110a b -=+即 221a b +=，即1z = 法二：1z z

+为实数，则110z z z z +-+= 21111()(1)()(1)0z z z z z z z z z z z z z z z z z

-⇒-+-=-+=--=--=⋅⋅ z 为虚数，∴0z z -≠，即21

101z z -=⇒=

课后练习：若z 为虚数，且1z =，求证：

11z z -+为纯虚数。 四、小结：

本节课学习了共轭复数四则运算以及有关共轭复数的一些性质，要知道判断一个复数是实数还是纯虚数我们可以有的一些手段，同时能利用性质和运算法则解决一些证明复数为实数的问题。

五、反思：