数学:7.4《数学归纳法》教案(沪教版高二上)
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7.4 数学归纳法
上海市建平中学李坚
一、教学内容分析
数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点应该是方法的应用.但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.对方法作简单的灌输,学生必然疑虑重重.为什么必须是二步呢?于是教师反复举例,说明二步缺一不可.你怎么知道n=k时命题成立呢?教师又不得不作出解释,可学生仍未完全接受.学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题,等等.为此,我们设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.
数学归纳法产生的过程分二个阶段,第一阶段从对归纳法的认识开始,到对不完全归纳法的认识,再到不完全归纳法可靠性的认识,直到怎么办结束.第二阶段是对策酝酿,从介绍递推思想开始,到认识递推思想,运用递推思想,直到归纳出二个步骤结束.
理解数学归纳法中的递推思想,还要注意其中第二步,证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.
二、教学目标设计
1. 从对归纳法的认识开始,到对不完全归纳法的认识,再到不完全归纳法可靠性的认识,再到数学归纳法的科学性的认识;
2.对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握;
3.形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法.
三、教学重点及难点
重点:归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;
难点:数学归纳法中递推思想的理解.
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、复习引入
问题1:这里有一袋球共十二个,我们要判断这一袋球是白球,还是黑球,请问怎么办? 方法一:把它倒出来看一看就可以了.
特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.
方法二:一个一个拿,拿一个看一个.
比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球,……,第十二个白球,由此得到:这一袋球都是白球.
特点:有顺序,有过程.
问题2:在数列{}n a 中,*111,,()1n n n
a a a n N a +==
∈+,先算出234,,a a a 的值,再推测通项n a 的公式.
过程:212a =,313a =,414a =,由此得到:*1,()n a n N n
=∈, 解决以上两个问题用的都是归纳法.
二、讲解新课:
1. 归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.
特点:由特殊→一般.
2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时,在考察了n=1,2,3,4几种特殊情形后得出的一般公式,就是作的一种不完全归纳.
我们已经知道,不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立,所以这种方法并不能作为一种论证方法;同时也应看到,不完全归纳法是研究数学的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中,为了寻求一般规律,往往先考察一些特例,通过对这些特例的不完全归纳形成猜想,然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索,对提高我们的数学能力十分重要.
3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法.
4.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n 取第一个值n 0时命题成立;然后假设当n=k(k ∈N *
,k ≥n 0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.
5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0,如果当n= n 0时,命题成立,再假设当n=k(k ≥n 0,k ∈N *)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1,n 0+2,…,命题都成立.
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:
(1)证明:当n 取第一个值n 0结论正确;
(2)假设当n=k(k ∈N *,且k ≥n 0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
由(1),(2)可知,命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.
三、例题分析
例1 用数学归纳法证明:如果{a n }是一个等差数列,那么a n =a 1+(n -1)d 对一切n ∈N *
都成立.
证明:(1)当n=1时,左边=a 1,右边=a 1+0·d=a 1,等式成立.
(2)假设当n=k 时等式成立,就是a k =a 1+(k -1)d.
那么a k +1=a k +d=[a 1+(k -1)d ]+d=a 1+[(k+1)-1]d ,
这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2)可以判定,等式对任何n ∈N *都成立.
例2 用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n -1)=n 2.
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k 时,等式成立,就是1+3+5+…+(2k -1)=k2,
那么1+3+5+…+(2k -1)+[2(k+1)-1]=k 2+[2(k+1)-1]=k 2+2k+1=(k+1)2.
∴n=k+1时也成立.
由(1)和(2),可知等式对任何n ∈N *都成立.
四、课堂练习: 1.用数学归纳法证明:1+2+3+…+n=
(1)2
n n +. 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1(11)2
⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时,等式成立,即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时,
11123(1)(1)(1)(1)(11)22
k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=
+++=+++ ∴n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.
2.首项为a 1,公比为q 的等比数列的通项公式是:a n =a 1q n-1.
证明:(1)n=1时,左边=a 1,右边=a 1·q 1-1=a 1q 0=a 1.
∴左边=右边.
(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k -1.那么当n=k+1时.
a k +1=a k q=a 1q k -1·q=a 1q (k+1)-1.
∴n=k+1时等式也成立.