1-5行列式的性质

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D,
D 0.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
,
bn1 bn2 bnn
是由行列式 D det aij 变换 i, j 两行得到的,
即当 k i, j 时, bkp akp; 当 k i, j 时,
于是
bip a jp , bjp aip,
D1
1 tb1 p1 bipi bjp j bnpn
证明
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D a21
a22

a2n
DT

a12
a22

an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
证明 记 D det aij 的转置行列式
anj
anj
以数k乘第j行加到第i行上,记作ri krj.
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
又因为行列式D可表示为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn .
故 D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明
设行列式
b11 b12 b1n
D1

b21 b22 b2n
4 4 10 10 2
1 1 2 3 1
r3 3r1
0 0
0 2
1 0
0 4
2 1
r4 4r1 0 2 1 5 3
0 0 2 2 2
1 1 2 3 1


an1 an2 ann
an1 an2 ann
第i行（或列）乘以k,记作ri k(或ci k).
推论 行列式的某一行（列）Baidu Nhomakorabea所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
第i行（或列）提出公因子k,记作ri k(或ci k).
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
b11 b12 b1n DT b21 b22 b2n ,

bn1 bn2 bnn
即 bij a ji i, j 1,2, ,n, 按定义
DT
1 tb1 p1b2 p2 bnpn
1 t a p11a p2 2 a pnn .
a11 a1i a1n a11 a1i a1n D a21 a2i a2n a21 a2i a2n

an1 ani ann an1 an i ann
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 解 D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2 1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 r2 3r1 2 0 4 2 1 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和,
例如
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
D

a21
a22
(a2i a2 i ) a2n


an1 an2 (ani an i ) ann 则D等于下列两个行列式之和：
例如
a11 a1i a1 j a1n
a21 a2i k a2 j a2 j




an1 ani anj anj
a11
(a1i ka1 j )
a1 j
a1n
ci kc j a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1
(ani kanj )
1 1 2 3 1 2
0 0 1 0 2 r2 3r1 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6
4 4 10 10 2
4 1 1 2 3 1 3
0 0 1 0 2 r2 2r1 0 2 0 4 1
3 5 7 14 6

1
at 1 p1
a jpi
aip j
anpn

1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中1i jn 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 p j pi pn 的逆序数为t1, 则有
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
例如 1 7 5 1 7 5 17 5 715 6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
交换i, j两行记作ri rj. 交换i, j两列记作ｃi ｃj.