初三垂径定理的中考题集讲解

个性化辅导讲义课题

圆的对称性

教学目标1．理解圆的对称性及有关性质．

2．理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦各组量之间的关系，并会应用．3．探索垂径定理并会应用其解决有关问题．

重点、难点

垂径定理的理解与应用

考点及考试要求

熟练掌握垂径定理的应用

教学内容

知识框架

1.圆是轴对称图形（重点）

通过折叠与旋转的方法，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴为任意一条过圆心的直线；

圆是中心对称图形，其对称中心是圆心．

2.圆心角，弧，弦之间的关系（重点）

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

(1)在具体运用以上定理解决问题时，可根据需要选择，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”．

(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等．

(3)要结合图形深刻理解圆心角、孤、弦这三个概念和“所对应的”一词的含义，因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦等”得出“弧等”，这里的“弧等”指的是对应的劣弧和劣弧相等，对应的优弧和优弧相等。

3.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系

（1）1°的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份．我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．（2）圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．

1.垂径定理的应用（难点）

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，

垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示，

考点一：垂径定理

典型例题

1、（2010•大田县）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）

A、（5，3）

B、（3，5）

C、（5，4）

D、（4，5）

2、（2010•潍坊）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC 的长为（）

A、3cm

B、2.5cm

C、2cm

D、1cm

3、（2009•龙岩）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？

4、已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交

射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．

5、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD．

6、如图，△OAB中，OA=OB，以O为圆心的圆交BC于点C，D，求证：AC=BD．

知识概括、方法总结与易错点分析

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

针对性练习

1、（2008•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与x 轴相切于B ，与y 轴交于C （0，1），D （0，4）两点，则点A 的坐标是（ ）

2、（2003•海南）如图所示，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD ． 求证：OC=OD ．

考点二：垂径定理的应用

典型例题

1、（2009•青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是多少？

2（2006•菏泽）如图，底面半径为5cm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm ，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为多少？

O E D

C B A

3、（2004•宜昌）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心．

4、（2008•黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

5、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？

知识概括、方法总结与易错点分析

补充：直线与圆的位置关系：

>⇒无交点；

1、直线与圆相离⇒d r

=⇒有一个交点；

2、直线与圆相切⇒d r

<⇒有两个交点；

3、直线与圆相交⇒d r

r d=r r d

d

针对性练习：

1、（2007•黑龙江）在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽

AB=800mm，则油的最大深度为mm．

2、（2005•兰州）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，则这个小孔的直径AB是多少毫米？

3（2007•遵义）高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病。

（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？

（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？