最新大学文科数学第二章课件教学提纲
数学必修2第二章复习总结知识点PPT课件
简记为:线线垂直，则线面垂直。
3．直线与平面垂直的另一种判定方法
两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另
一202条1/7/2直4 线也垂直这个平面.
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直线和平面垂直的判定与性质
4.直线与平面所成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成的角的范围α: 00≤α ≤900
若两个平面平行,则一个平面内的所有
直2021线/7/24都平行于另一个平面.
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直线和平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的概念
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
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简记为:线面平行，则线线平行。
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平面和平面平行的判定与性质
1.判定定理:一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行,则这两个平面平行.
简记为:线面平行,则面面平行.
2.性质定理:如果两个平行平面同时和 第三个平面相交,那么它们的交线平行.
简记为:面面平行,则线线平行.
3.两个平面平行的一个性质:
6.平面与平面垂直的性质定理
定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直.
简记为:面面垂直，则线面垂直
7.另一个性质:两个平面垂直,过一个平面的一点
作202另1/7/2一4 个平面的垂线,必在第一个平面内.
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一些常用结论 1.三条两两相交的直线可确定1个或3个平面. 2.不共面的四点可确定4个平面. 3.三个平面两两相交,交线有1条或3条. 4.正方体各面所在平面将空间分成27个部分.
大学文科数学第二章课件PPT学习教案
于是得到了数列
:1 1 1
1
,,, 248
, 2n
当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0.
再看一下整个过程.
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举例:
① 1, 1,1, 1, ,(1)n1,
这个数列的通项是:
x2n •
–1
0
x2n1
•
1
an (1)n1 x
② 1,1, 24
1 , 2n ,
… xn … x3
••••• •••••
这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图 像产生的直觉用自然语言作出的定性描述.
第14页/共104页
a2n
–1
0
a2n1
x
1
(1){(1)n1 }的极限不存在; 因为当n∞ 时，{(1)n1}
1
lim n 2
n
0
反复的取 1和－1， 没有明显 的变化趋势, 是发散的.
(
2){
1 2n
}的极限是0;
1
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2
有关函数极限的说明：
★ 函数在某点 的极限与函数在这 点的函数值是否存 在，以及取值是多
少并没有关系. ★ 函数在该点
的极限只与函数在 该点附近的变化趋 势有关系.
第44页/共104页
定义 设函数 f(x)在点U0(x0, )内有定义，如果对于
任意正数ε (不论它多么小),总存在正数δ,使得
lim
n
an
a
a1
a2
a3
a5 a a4
n越大，an a 越小 an a 不等式 an a 刻划了an与a的无限接近.
在数学中一定要力避几何直观可能带来的错 误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念， 必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式 化的数学语言表达的，超越现实原型的理想化 的定量描述.
《大学文科数学》PPT课件
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
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1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
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1.3 导数与微分
最新版高考数学文北师大版大一轮复习讲义第二章 2.5.docx
1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是m na＝1n a m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R . 2．指数函数的图像与性质【知识拓展】1．指数函数图像画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a )．2.指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图像，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘．( × )2142(3)(1)(1)-=-=( × )(4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × ) (5)函数21x y a＋＝(a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数．( × )1．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图像经过点P (2，12)，则f (－1)等于( )A.22 B. 2 C.14D ．4 答案 B解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,2)答案 B解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图像必过定点(2,3)．3．已知113344333(),(),(),552a b c ---===则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a答案 D解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，11034333()()(),555--∴>>即a >b >1，又30433()()1,22c -==＜∴c <b <a .4．计算：1103437()()826-⨯-+=________.答案 2解析 原式＝1131334422()122() 2.33⨯+⨯-=5．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：122.5053(1)[(0.064)]π;-211113322a b---解 (1)原式＝211535326427[()]()110008-⎧⎫⎪--⎨⎬⎪⎭⎩ 1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝111133221566a b a ba b--⋅1111153262361.aba---+-=⋅=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(2016·江西鹰潭一中月考)计算：220.533342(1)(3)(5)(0.008);8925---+⨯(2)已知11223,x x-+=计算：x 2＋x －2－7x ＋x －1＋3. 解 (1)原式221332274982()()()89100025--=-+⨯2213233323722[()][()][()]231025--=-+⨯＝(32)－2－73＋(210)－2×225 ＝49－73＋2＝19. 112122(2)()29,x x x x --+=++=所以x ＋x －1＝7.(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47. 所以原式＝47－77＋3＝4.题型二 指数函数的图像及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.(2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图像，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图像知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．(1)函数f(x)＝a x－b的图像如图，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)(2016·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)D(2)[－1,1]解析(1)由f(x)＝a x－b的图像可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上是减少的，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图像是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．题型三 指数函数的性质及应用命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·威海模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1答案 B解析 选项B 中，∵y ＝0.6x 是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)(2016·陕西西安七十中期中)解关于x 的不等式311x xa a-+≤(其中a >0且a ≠1)． 解 ①当a >1时，x －3x ＋1≤－1，∴x －3x ＋2≤0，∴x 2＋2x －3x ≤0，∴(x ＋3)(x －1)x≤0， ∴x ≤－3或0<x ≤1；②当0<a <1时，x －3x＋1≥－1，∴x 2＋2x －3x≥0， ∴－3≤x <0或x ≥1.综上，当a >1时，x ∈(－∞，－3)∪(0,1]；当0<a <1时，x ∈[－3,0)∪[1，＋∞)．命题点2 复合函数的单调性例4 (1)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数2211()()2x x f x -++=的单调减区间为____________________．答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上是增加的，在区间(－∞，m 2]上是减少的．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上递增，则有m 2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在R 上为减函数，∴函数2211()()2x x f x -++=的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．引申探究函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x ，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，∴函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增加的， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a]， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上是增加的， 则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)． 综上，a ＝3或a ＝13. 思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} (2)(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上递增，则实数m 的最小值等于________．答案 (1)B (2)1解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)， 所以[－12a ，－1)[－8,1]， 即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0， 所以实数a 的取值范围是[－3,0)．2．指数函数底数的讨论典例 (2016·日照模拟)已知函数22x x y b a ＋＝＋(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________． 错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0. ∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a≤b ＋a t ≤b ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 答案 2,2现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1,0]． ①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈[1a ，1]，221[1]x x b a b b a∈＋＋＋，＋， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. ②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a]， 则221[1]x x b a b b a∈＋＋＋，＋， 依题意得⎩⎨⎧ b ＋1a ＝3，b ＋1＝52， 解得⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝32.答案 2,2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论．1．(2016·吉林扶余一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0，若f [f (－1)]＝1，则a 等于( ) A.14 B.12C ．1D ．2答案 A解析 根据题意可得f (－1)＝21＝2，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14，故选A.2．函数f (x )＝2|x －1|的图像是( )答案 B解析∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.故选B.3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a答案 A解析由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .4．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)答案 C解析 因为4x >0，所以16－4x <16.又因为16－4x ≥0，所以0≤16－4x <16，即0≤16－4x <4，即y ∈[0,4)．5．(2015·山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为() A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x＋1)＝0，∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．6.(2016·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(0,1]D ．(－∞，1]答案 B解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域为f (x )，x ∈[－2,2]的值域的子集．经分析知f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1； 当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0. 综上可得－1≤a ≤1.7．设函数113e ,1(),1x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜，≥，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由e x －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由13x ≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图像可知0<2a <1，∴0<a <12.9．(2016·江西鹰潭一中月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________． 答案 (－∞，－1)解析 设x <0，则－x >0.因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，1－2－x ∈(0,1)，所以不等式f (x )<－12， 即当x <0时，2x －1<－12， 解得x <－1.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值． 解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，又y ＝(23)t 是减少的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12．已知函数2431()().3ax x f x -+=(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，2431()()3xx f x --+=，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上是增加的，在(－2，＋∞)上是减少的，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上是减少的，所以f (x )在(－∞，－2)上是减少的，在(－2，＋∞)上是增加的， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.13.已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]上的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，，1]．令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[18故f(t)＝2t2－t－1＝2(t－12－98，t∈[18，1]，4)，0]．故值域为[－98(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，设2x＝m>0，等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解．记g(m)＝2am2－m－1，当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．当a<0时，开口向下，对称轴m＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a>0时，开口向上，对称轴m＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a>0.。
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
高数 第二章
§1. 数学发展简史 §2．数学的三次危机 §3. 经典数学问题
3
第一节 数学发展简史
人类历史的长河中， 在人类历史的长河中，数学的发展经历了一条漫 长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。 长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。数 学作为一门基础学科，其重要性毋庸置疑。因此， 学作为一门基础学科，其重要性毋庸置疑。因此，了 解数学发展历程（数学史）和规律，对于我们认识数 解数学发展历程（数学史）和规律， 学是完全必要的。 学是完全必要的。 在第一章，我们把数学的发展按质分类， 在第一章，我们把数学的发展按质分类，大体分成 四类， 精确数学、随机数学、模糊数学、突变数学。 四类，即精确数学、随机数学、模糊数学、突变数学。 在这一节，我们将对数学的发展按时间分期， 在这一节，我们将对数学的发展按时间分期，可以认 为数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量（初等） 为数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量（初等） 数学的萌芽时期 数学时期、变量（近代）数学时期和现代数学时期。 数学时期、变量（近代）数学时期和现代数学时期。
6
人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化， 人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化， 采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系， 采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系，它 包括几何 算术、代数、三角等独立学科 几何、 等独立学科， 包括几何、算术、代数、三角等独立学科，是中小学 数学课的主要内容。 数学课的主要内容。 欧几里得（Euclid约公元前330~约公元前275） 约公元前330~约公元前275 欧几里得（Euclid约公元前330~约公元前275）的 几何原本》和成书于东汉时期的《九章算术》 《几何原本》和成书于东汉时期的《九章算术》，是人 们在长期的实践中，用数学解决实际问题的经验总结。 们在长期的实践中，用数学解决实际问题的经验总结。 几何原本》 九章算术》 《几何原本》和《九章算术》标志着古典初等数学体系 的形成。 几何原本》全书共13 13卷 的形成。《几何原本》全书共13卷，以空间形式为研究 对象，以逻辑思维为主线， 条公设、23个定义和 个定义和5 对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条 公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 467条定理 公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成 246个数学问题 术文组成， 《九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成，
高考数学总复习第二章21 精品优选公开课件
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
1 A.x
1 B.x－1
1 C.1－x
D.1x－1
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)令
t＝1x，反解出
x，代入
1 f(x)
＝1－x x，求 f(t)的表达式．
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x (2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，结合
＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则 f(x)＝ 条件列出关于 x 的方程求参数
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A
叫做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 ．显然，值域是
集合 B 的子集．
(3)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 和 值域．
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
求函数的解析式
【例 2】 (1)如果 f(1x)＝1－x x，则当 思维启迪 解析 答案 思维升华
x≠0 且 x≠1 时，f(x)等于 ( )
1 A.x
1 B.x－1
1 C.1－x
D.1x－1
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x
＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则 f(x)＝
考研高数讲解新高等数学上册辅导讲解第二章上课资料
第二章导数与微分第一节导数概念一、导数定义定义：若极限存在，则称函数在点处可导，此极限值称为函数在点处导数。
记为：、、、（或极限存在也可）单侧导数：左导数：存在，则称左导数存在，记为：。
右导数：存在，则称右导数存在，记为：。
定理：函数在可导当且仅当函数在左右导数存在且相等。
【例1】（89一）已知，则.【例2】（87二）设在处可导，则等于（）（A）. （B）. （C）. （D）.【例3】（89二）设，则 .【例4】（89二）设在某个邻域内有定义，则在处可导一个充分条件是（）（A）存在. （B）存在. （C）存在.（D）存在. 【例5】（93二）设，则在点处函数（A）不连续. （B）连续，但不可导.（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.【例6】（94二）设，则在处（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则必是（A）间断点. （B）连续而不可导点.（C）可导点，且. （D）可导点，且.【例8】（90三）设函数对任意均满足等式，且有，其中、为非零常数，则（A）在处不可导. （B）在处可导，且.（C）在处可导，且.（D）在处可导，.二、导数几何意义和物理意义导数几何意义：切线斜率为：，是割线斜率。
导数物理意义：某变量对时间变化率，常见有速度和加速度。
平面曲线切线与法线方程切线：法线：【例9】（95三）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线斜率为（）（A）. （B）. （C）. （D）.三、函数可导与连续关系函数可导则函数必连续，即：可导连续注解：函数在点可导，所以有而注意：反之，未必，即：连续不一定可导！【例10】（88三）确定常数和，使函数处处可导.【例11】（90三）设有连续导数，且，若函数在处连续，则常数.答案：【例12】（95二）设可导，.若在处可导，则必有（）（A）. （B）.（C）. （D）.第二节函数求导法则一、基本求导公式（1）（2）（3）特别地：当时，（4）注：剩余后面补充二、函数四则运算求导法则定理1 设函数，都在处可导，即具有导数,，则有（1）（2）；（为常数）（3）推广：；【例】求函数导数。
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1 (2){2n
}的极限是0;
1
因为当n∞ 近于常数 0 .
时，{
2
n
}趋
… an … a3
a2
••••• •••••
01 1
1
a1
1
x
2n
8
4
2
③ 2, 4, 6, …, 2n, … 这个数列的通项是: an 2n
④ 1, 1, …,1,…, 1,… 这个数列的通项是:
an 1
注： ④中各项均为相同的数（常数) 1,我们 把这样的数列称作常数列.因为不论 n 取 何值，每项都是1，因此该数列的极限是 1.
lim
n
an
a
a1
a2
a3
a5 a a4
n 越 大 ， a n a 越 小 a n a
不 等 式 a n a 刻 划 了 a n 与 a 的 无 限 接 近 .
在数学中一定要力避几何直观可能带来的错 误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念， 必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式 化的数学语言表达的，超越现实原型的理想化 的定量描述.
阿基里斯追龟
一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前 496～前429）曾提出一个著名的“追龟” 诡辩题.大家知道，乌龟素以动作迟缓著称， 阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长 跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑， 将永远追不上乌龟！
假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟 ，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时， 乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到 B2点，如此等等.当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地 方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是 永远追不上乌龟的！
数列有以下几种变化趋势:
有一定的
变化趋势
数列的变化 趋势
无 限 接 近 常 数 a 收 敛
无限增大 无限减少
定向发散
无 一 定 的 变 化 趋 势 不定向发散
1 2
,
1 4
,2 ,4 ,1 ,216 ,n ,8 1 , ,1 , ,1 2 ,n ,,( 1 )n 1 ,
下面我们直观的看一下极限的 定义
观 察 数 列 { 1 ( 1 ) n 1 } 当 n 时 的 变 化 趋 势 . n
当 n 无限增大时, 是否无限接近于某一确定 的数值?如果是,如何确定?
播放
当 n 无 限 增 大 时 ,a n 1 ( 1 n )n 1无 限 接 近 于 1 .
“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画
一列数：
10，1，0.1，0.01，…，102－n，… 称为数列. 102－n为通项. 以 下 均 为 数 列 :
111 1
,,, 248
,2n ,
.
1,1,1, ,(1)n, .
2,4,6, ,2n, .
一、数列的极限（问题的引入）：
在《庄子·天下篇》 中有‘截丈问题’ 的精彩论述：
一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
② 1,1, 24
1 , 2n ,
… xn … x3
x2
••••• •••••
01 1
1
2n
8
4
这个数列的通项是:
x1
1 an 2n
1
x
2
数列极限的定义(定性描述):
如果当n无限增大时，数列{an}的通项 无限趋近于常数a，则称数列以a为极限， 记作lni m an a，或an a(n). 也称该数列收敛.
A
B
B
B1
B1 B2
让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速 度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米 时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，龟又前 进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米…..把阿基里 斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：
10，1，0.1，0.01，…，102－n，… 这称为数列，an ＝102－n 为通项，数列常简记为 ｛ an ｝. 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为
大学文科数学第二章课件
第一节 数列极限
主要内容： 数列、数列极限的概念
早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴 素的极限思想，公元前4世纪，我国的庄子就有“一尺 之棰，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国 数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就 进入了数学.随之牛顿（Newton、英国）和莱布尼兹 （Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发 明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞 生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个 时代科学技术的发展和社会进步.在经过长达两个世纪的 自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极 限”是微积分的基础.
若该数列不以任何常数为极限，则称 这个数列发散.
这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图 像产生的直觉用自然语言作出的定性描述.
a 2n
–1
0
a 2n1
x
1
(1 ){( 1 )n 1}的 极 限 不 存 在 ; 因为当n∞ 时，{(1)n1}
1 lim 0 2 n n
反复的取 1和－1， 没有明显 的变化趋势, 是发散的.
一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
这样可以看出第n
天剩的长度为：1 2n
于是得到了数列:
111 1
,,, 248
, 2n
当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0.
再看一下整个过程.
举例:
① 1 , 1 ,1 , 1 , ,( 1 )n 1 ,
这个数列的通项是:
x 2n
•
–1
0
x 2n1
•
1
an (1)n1 x
它.
an
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n
1, 100
只n 要 10 时 ,0有
an
1
1, 100
给定 1 , 1000
初始长度为：1
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第一天剩的长度为：
1 2
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第二天剩的长度为：
1 22截丈问Biblioteka ： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第三天剩的长度为：
1 23
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
第四天剩的长度为：
1 24
S1011 1 a1 10 100(米）.
10 100
1q 1 1 9
10
所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以
追上乌龟！
然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀
疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当
长时间内不得不把“无限”排除在数学之外.
直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论
建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战.