新课标与微积分教学
新课程改革下高职微积分教学探索与实践
新课程改革下高职微积分教学探索与实践摘要：微积分作为高职教育的一个重要组成部分，理论性较强，具有较大难度，对教师的教学教育水平有较高要求。
本文将从实际出发，理论联系实际，就新课程改革下如何搞好高职院校的微积分教学进行探讨。
关键词：新课改高职微积分教学在现代化教育中，高等职业院校的必修课中，微积分占有一定的学习比重。
它是高等职业院校数学授课过程中的一项重要内容，在一定程度上反映了运动和物体产生的变动，其重要性不言而喻。
它是打开科学大门的钥匙，是分析事物变化的基础和剖析一些问题本质的重要工具，其理论思维和思考形式为学生以后的学业研究提供了有效的方法。
因此，教师要重视微积分教学。
那么，在现今新课程改革的背景下如何搞好高职微积分教学呢？对此，笔者认为应做到以下几点。
一、重视课堂气氛的调节微积分是一门科学性较强的学科，学生学起来往往会觉得枯燥、难懂，因此教师授课过程中难免会出现课堂气氛不活跃、学生的思维没有打开等问题。
对此，我认为教师应注重课堂气氛的调节。
（一）通过课堂知识的延伸调节课堂气氛高职微积分教学中，教师可适当将知识延伸，以提高学生的学习热情、探索积极性，进一步加深他们对课本知识的记忆，使他们化被动学习为主动学习。
具体来说，教学中教师在为学生讲解微积分知识的同时，可联系知识背后的故事，解说数学家、科学家的探索精神与奋斗精神，为学生树立榜样，引导学生形成良好的学习态度，激发学生不断向科学巅峰进发的勇敢精神。
实践证明，在这种教学模式下，课堂气氛活跃，学生积极性高，教学效果自然好。
（二）通过电化教学手段调节课堂气氛电化教学手段作为一种新型教学方式，对调动学生的学习积极性起到了很好的作用。
高职微积分教学中，教师在教学过程中除了依靠书本讲解外，还可以借助多媒体演示和实验器材帮助学生理解课本知识。
如通过幻灯片放映的形式向学生展示微积分计算题的计算过程，这可以让学生清晰明了地看到计算方法的不断改进和运算方法的变化，有效地激发了学生的学习热情，调动了学生学习积极性，比单纯的讲解更有利于学生掌握知识。
对新课程标准下微积分课程教学的思考_李倩
的理解 , 强调对微积分思想方法的掌握 。 《课标》 中微积分课程内容的设计上 , 不是把高等数学微 积分课程缩编后加以简单下放 , 而是充分考虑学 生的认知特点和生活经验 , 考虑微积分方法与初 等数学方法的共存 , 考虑高中课程的学时分配 。 2 . 1 淡化概念与注重建构 传统教材对微积分内容的安排顺序 : 数列的 极限 — — —函数的极限 — — —函数的连续性 — — —导 数 — — —导数的应用 — — —不定积分 — — —定积分 。 《课标》 中 , 微积分内容是以瞬时速度 — — —变化率 — — —导数 — — —导数应用为设计主线 。 其实 , 这样 的设计是有一定道理的 。 如果按传统顺序安排 , 函 数的极限和函数的连续性不可避免 。 试想 , 从 “对 任意ε > 0 , 存在一个δ > 0 使得当 x - a < δ时 , 便 有 f ( x ) - f ( a) < ε ”出 发 。正 如 Davi d M um f or d 所指出的 , “这对大多数学生而言将会 怎样呢 ? 首先 , 由于使用了希腊字母和复杂的语法 结构 , 学生会感到某些复杂事情一定正在发生 。 最 糟糕的还是 , 尽管你在此后对它的含义给予了简 单的描述 , 学生将依然确信更复杂的事情正在发 生 , 否则你为什么把事情用这样难理解的方式描 [1 ] 述呢 ? ” 《课标》 大胆逾越极限概念 , 通过对大量 实例的分析 ( 比如人教社所编教材中选取气球膨 胀率和高台跳水两个实例) , 经历由平均变化率过 渡到瞬时变化率的过程 , 了解导数概念的实际背 景 , 知道瞬时变化率就是导数 , 体会导数的思想及 其内涵 , 以变化率为核心 , 引导学生在知识发生 、 发展的过程中 , 在解决认知冲突的矛盾中 , 在已有 的平均变化率知识基础上主动建构 。 2 . 2 弱化严谨与突出应用 数学是一门精确与严密的科学 , 数学的精确 性表现在数学的逻辑推理和数学结论的确定无疑 和无可争辩 。 高等数学中的微积分课程 , 对概念 、 性质和公式都有严格的定义和证明 。 但是在高中 课程中 , 由于学生所掌握的是以初等数学知识为 主体的知识结构 , 加上学生认知能力的局限性 , 都 注定微积分课程内容的设置上 , 要弱化严谨性 。 正 如 Davi d M um f or d 所说的 “ , 世界上的各行各业 人 , 可以归入两个范畴 : P ( practical , 实际的) 和 T ( theorem - lovi n g , 爱好定理的) ……我猜想 , 学 [2 ] 这门课的 99 % 的学生并不打算进入范畴 T 。 ”
1.6微积分基本定理课件人教新课标2
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯 形面积时，定积分的值为_0_，且等于位于x轴上方的曲边梯形 面积_减__去__位于x轴下方的曲边梯形面积.(如图3)
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导 数.( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常 取原函数的常数项为0.( ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区 间上必须是连续函数.( )
分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分
值是确定的.
【即时练】
1.若a=
1
0
(x-2)dx，则被积函数的原函数为(
)
A.f(x)=x-2
B.f(x)= x-2+C
C.f(x)= 1 x2-2x+C D.f(x)=x2-2x
2
2.下列积分值等于1的是( )
A. 1 0
xdx
C. 1 0
2.分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是 分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定 积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分 段函数的定积分再计算.
【变式训练】1.
1
0
(ex+2x)dx等于(
)
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
2.计算定积分
1(x2+sin 1
x)dx=______.
【解析】1.选C.因为被积函数为ex+2x的原函数为ex+x2，
人教课标版高中数学选修2-2：《微积分基本定理》教案-新版
1.6微积分基本定理一、教学目标1．核心素养通过微积分基本定理的学习，提高推理论证、抽象概括能力，体会由局部到整体、具体到一般的数学思想.2．学习目标通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义，体会由局部到整体、具体到一般的思想.3．学习重点通过探究变速直线运动的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义，并能正确应用基本定理计算简单的定积分.4．学习难点了解微积分基本定理的含义.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务阅读课本1.6节，思考：（1）什么是微积分基本定理？（2）怎样利用微积分基本定理求定积分的值？（3）当曲边梯形的位置位于x 轴下方时，怎样求定积分的值？2．预习自测1．043x dx -+⎰的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D .12答案：C ．2．121dx x ⎰等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2答案：D ．3．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1B .12C .13D .14答案：D ．（二）课堂设计1．知识回顾1）定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是由,,0x a xb y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.2）定积分的性质：（1）()()b ba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数) （2）1212[()()]()()b b b a a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()()b c b a a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 2．问题探究活动一：探讨导数与积分的关系我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法.有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S (t ),速度为v (t )（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=. 活动二：证明微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰？ 若上式成立，我们就找到了()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法.设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y =()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[xi -1,xi ]上，记⊿yi =F (x i )-F (xi -1),则 ⊿y =∑⊿yi 如下图，因为⊿hi =f (xi -1) ⊿x 而⊿yi ≈⊿hi 所以⊿y ≈∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x故⊿y =lim ∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x =⎰b a dx x f )(即⎰b a dx x f )(=()()F b F a -所以有微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰⎰b a dx x f )(为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.牛顿-莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁.它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果.例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰；（2）3211(2)x dx x-⎰. 解：（1）因为'1(ln )x x=， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰. （2））因为2''211()2,()x x x x==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-⎰⎰⎰233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. 点拨：准确求出被积函数的原函数是求解本题的关键例2．计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰. 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 解：因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰， 22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰， 2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图1.6一4），定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．点拨：利用定积分的几何意义是解决本题的关键.例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=3210003600⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.934.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.点拨：可以看出，求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的过程就是求解定积分的过程，所以以后遇到类似的题就可以直接使用定积分来做.3．课堂总结【知识梳理】1.微积分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.我们常常把定理中的()F x 称为()f x 的原函数.2．定积分的取值定积分的值可能取正值也可能为负值，还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.【重难点突破】（1）微积分基本定理①该定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与导数互为逆运算.②微积分基本定理提供了一种有效的求定积分的方法，且这种方法往往比利用定积分的定义求定积分简单.利用微积分基本定理求定积分()b af x dx ⎰的关键是找到()()F x f x '=的函数()F x ，即找到()f x 的原函数.通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x .③被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个原函数，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的原函数．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替微积分基本定理中的F (x )有⎠⎛ab f (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )． （2）利用微积分基本定理计算定积分时：①常常先对被积函数化简，再求定积分；②当被积函数为分段函数时，常常分成几段积分的和的形式求解；③当被积函数含有绝对值符号时，常常先去掉绝对值符号再求定积分.（3）求定积分的主要方法有：①利用定积分的定义；②利用定积分的几何意义；③利用微积分基本定理.4．随堂检测1.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( ) A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛01(e x ＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋1)－e 0＝e . 2．若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】S 1＝⎠⎛12x 2dx ＝13x 3＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121x dx ＝ln x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x dx ＝e x ＝e 2－e ＝e (e －1)．ln 2＜ln e ＝1，且73＜2.5＜e (e －1)，所以ln 2＜73＜e (e －1)，即S 2＜S 1＜S 3.3．若⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( ) A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3) ＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1.4．⎠⎛02|1－x |dx ＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．－2答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx ＝(x －12x 2)10|＋(12x 2－x )21| ＝(1－12)＋(12×4－2)－(12－1)＝1.5．⎠⎛-11(x 2＋sin x )dx ＝________. 答案：23解析：【知识点：微积分基本定理】∵(13x 3－cos x )′＝x 2＋sin x ，∴⎠⎛-11 (x 2＋sin x )dx ＝(13x 3－cos x )11|-＝23. （三）课后作业基础型 自主突破1．4232(30)d x x x +-=⎰（ ） A ．56B ．28C.563D ．14答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】4423342211(30)d (30)34x x x x x x +-=+-⎰＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563. 2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是（ ）A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】3．若2111d 2b x x =⎰，则b =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．4答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】 2111111d (1)2bbx x x b =-=--=⎰，解得2b = 4．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D．答案：C解析：【知识点：定积分求面积】l 与C 围成的图形的面积为诶2232228(1)d ()4123x x x x ---=-=⎰ 5．计算定积分20cos(2)3x dx ππ+=⎰___________.答案：解析：【知识点：微积分基本定理】22001cos(2)sin(2)323x dx x ππππ+=+=⎰6．计算下列定积分：（1）220(42)(4)d x x x --⎰ （2）22123d x x x x+-⎰ （3）220(sin cos )d 2x x x π+⎰答案：见解析解析：【知识点：定积分的简单应用】（1）2222300(42)(4)d (16842)d x x x x x x x --=--+=⎰⎰22340413240(164)321683233x x x x --+=--+= （2）2222211123317d (2)d (23ln )3ln 222x x x x x x x x x x +-=+-=+-=-⎰⎰（3）222200cos 1sin 3(sin cos )d (sin )d cos 222224x x x x x x x x x ππππ+⎛⎫+=+=-++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰能力型 师生共研7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D.－2 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】f (1)＝lg1＝0，23300(0)3d aaf t t t a ===⎰，由f (f (1))＝1，得a 3＝1，a ＝1.8．若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－a a (x 3＋sin x －5)dx 的值为（ ） A ．6＋2sin2 B ．－6－2cos2 C ．20 D ．－20 答案：D解析：【知识点：微积分基本定理，两直线垂直】 由l 1⊥l 2，可得a ＝2，∴原式＝22233222(sin 5)d (sin )d (5)d 02020x x x x x x x ---+-=++-=-=-⎰⎰⎰9．已知f (x )是一次函数且10()d 5f x x =⎰，1017()d 6xf x x =⎰，则f (x )的解析式为（ ） A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋3 D ．－3x ＋4答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ，1120()d ()522a af x x x bx b =+=+=⎰①113217()d ()32326a b a b xf x x x x =+=+=⎰②，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎨⎧a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋310.若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是________(填序号). 答案：①③解析：【知识点：微积分基本定理】①中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x cos 12x dx ＝⎠⎛－11⎝⎛⎭⎪⎫12sin x dx ＝0；②中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛－11(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x ⎪⎪⎪1－1＝－43≠0；③中f (x )·g (x )＝x 3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件. 探究型 多维突破11．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】由已知得：f (x 0)＝242232213(3)42044x x x x dx --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⎰，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个.12．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___________.答案：45解析：【知识点：定积分求面积】 当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=；当121≤<x 时，线段BC 方程为1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为1122210210(1010)x dx x x dx +-+⎰⎰1123321021010(5)33x x x =+-+45=.自助餐1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】2．设f (x )＝⎩⎨⎧x 20≤x <1，2－x 1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )dx 等于( )A ．34 B ．45 C ．56 D ．不存在 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx 3．若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2且a >1，则实数a 的值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos tdt 的导数是( )A ．()cos F x x '=B ．()sin F x x '=C ．()cos F x x '=-D ．()sin F x x '=- 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 5．(3)d ba f x x '=⎰（ ） A ．()()fb f a -B ．(3)(3)f b f a -C ．1[(3)(3)]3f b f a - D ．3[(3)(3)]f b f a - 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】因为错误！未找到引用源。
中学 “微积分”的教学研究
中学 “微积分”的教学研究摘要：本文分四部分：一、叙述微积分的主要内容及其地位；二、人教B 版“微积分” 的教材处理；三、根据学生实际举例说明直观微积分的教学；四、对直观微积分教学及人教B 版教材提出建议。
关键词：微积分 新课程 教材微积分是高中课程新增加的内容，也是大学课程的重要基础课,内容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用，它以函数为研究对象，为解决瞬时速度及加速度、曲线的切线、函数的最大（小）值、曲线围成面积等实际问题提供了有利工具。
微积分提供以直代曲，把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式，在人类思想文化的发展中占有特殊的地位。
高中数学课程标准中指出，选修1-1、2-2中微积分更侧重于思想和概念的本质，不是把导数和定积分作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，当需要涉及极限时，只要直观认识即可。
人教B 版的教材处理：导数及定积分概念的引入，通过实际背景和具体应用—膨胀率、加速度、增长率、求曲边梯形的面积、变力做功等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数就是对事物变化快慢的一种描述，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解；从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系）直观了解微积分基本定理的含义。
教材借助几何直观，揭示基本概念和基础知识的本质和关系，同时使学生学会数学学习和思考的一种基本方法：从特殊到一般。
从某种意义上来说，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。
在教学中，教师应根据学情创造性地用好教材，把物化的知识恢复为鲜活的思想引领学生一起感受。
下面笔者把实践中的具体做法举例如下：1.导数概念引入，利用模块四三角函数中有关于变化率的铺垫：五点法作图象时被五个点分隔的区间上函数变化情况，在x=0,π,2π附近函数增加或下降的快一些，曲线“陡”一些；在x= π2,π3附近，函数变化的慢一些，曲线变得“平缓”。
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.
高考理科数学新课标件定积分与微积分基本定理
定积分的性质
线性性质
对于任意常数$k_1$和$k_2$，有$int_{a}^{b}[k_1f(x) + k_2g(x)]dx = k_1int_{a}^{b}f(x)dx + k_2int_{a}^{b}g(x)dx$。
区间可加性
若$c$是区间$[a,b]$内的一点，则$int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a}^{c}f(x)dx + int_{c}^{b}f(x)dx$。
微积分基本定理在解题中的应用
01
计算定积分
02
证明等式
利用微积分基本定理，可以直接计算 出某些函数的定积分结果，而不需要 使用复杂的积分方法和技巧。
通过构造适当的原函数和变上限积分 ，可以利用微积分基本定理证明一些 与定积分相关的等式。
03
解决实际问题
微积分基本定理在实际问题中也有广 泛的应用，例如计算物体的质量、重 心、转动惯量等物理量，以及求解经 济学中的边际效应和弹性等问题。
VS
变量代换法的步骤
首先，根据被积函数的特征，选择合适的 变量代换；其次，将原积分转化为关于新 变量的积分；最后，求出原函数并加上常 数C。
分部积分法
分部积分法的原理
利用两个函数乘积的积分等于其中一个函数与另一个函数的原函数乘积的积分减去另一 个函数与第一个函数的原函数乘积的积分，从而将复杂的积分转化为简单的积分形式。
要点二
定积分的几何意义
定积分在几何上表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$， $x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。若$f(x) geq 0$ ，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形的面积；若 $f(x) leq 0$，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形 面积的负值。
1.6微积分基本定理课件人教新课标4
ax ln a
1
ex x
e x ln | x |
付出，不一定会有收获；不付出，却一 定不会有收获，不要奢望出现奇迹.
e x ln | x |
例1
计
算
下
列
定
积
分
:
1
2
1
1 x
d
x
;
2
3 1
2
x
1 x2
dx .
解 （1）因为 ln x ' 1 ,
x
所以
2 1
1dx x
ln
x
|12
ln 2 ln 1 ln 2.
（2）因为
x2
'
2
x,
1 x
'
1 x2
,
3
1
2x
1 x2
dx
3
2xdx
3 2 3x2 + 2x -1 dx = ____9_____ -1
4
2
1
ex +1 dx = ___e_2___e___1__
3．计算定积分
3 1
3
x
2
1 x2
dx
解:
因为
x3
'
3x2
,
1 x
'
1 x2
所以原式
3 3x2dx
1
31 1 x2 dx
3 3x2dx
1
3 1
1 x2
dx
x3
3 1
1 x
3 1
33 13
1 3
1 1
76 3
4.计算下列定积分 : 1
π
cos 2xdx ;
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实行新课标后，学生考进大学，就像留级的学生，都是似是
而非，没有新鲜感，让学生丧失了学习兴趣。等到第二学期学习 多元微积分，又会发现，原来什么也不会。 3. 信息时代是终身教育，任何人离开中学均有学习的机会，不需 要面面俱到，生怕遗漏，而应该有所选择。
以上内容纯属个人观点，不对之处，敬请 谅解！
一、立项情况
（3）研究了数学文化选修课的教学方法
因此数学文化类选修课适宜多媒体教学；数学文化类选修课要注 讲透彻；数学文化课程要注意趣味性与知识性的协调。
数学文化选修课涉及大量背景材料，以及精美图片，信息量大，
意与学生的数学基础协调；涉及数学思想的内容要精讲，讲清楚、
（4）研究了数学文化类课程的师资培养
数学文化类课程与一般数学课程有一定差异，要求教师具
四、应对办法
1. 了解新课标，研究新课标，做到心中有数，有的放矢，合理对接。学生
熟悉的少讲，或不讲，或安排自学；学生不熟悉的，要讲透彻。 2. 根据课程特点，结合教学要求，实施因材施教，使得“不同的学生在数学 上得到不同发展和进步” 大学教学要求：不仅传授知识，也要培养能力，特别是自学能力。 针对不同基础的学生提出不同的要求。
（4）基础阶段需要弱化概念，强化记忆。例如加法乘法，就是背 口诀，让一个小学生理解1+1=2怎么来的有何意义？
大学数学需要学生具有的基础学生不具备，大学不需要的中 学却在讲授。需要讲授思想的恰恰是大学，而不是中学！ 2. 把部分大学内容放到中学，徒然增加学生负担；极坐标等必需 内容作为选修课，为大学课堂教学组织带来困难。
3. 新课标教学内容方面与大学数学有一定重叠， 促使我们必须研究和了解新课标。
二、新课标教学理念
1. 2. 3.
人人学有价值的数学； 人人学必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展。
高中数学新课标的基本理念：
(1) 构建共同基础，提供发展平台。 课程=必修课+选修课 (2). 提供多样课程，适应个性选择 (3).倡导积极主动、勇于探索的学习方式 高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读 自学等学习数学的方式。 设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动 (4). 注重提高学生的数学思维能力 (5). 发展学生的数学应用意识 (6). 双基的变化 增加算法的内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学 基础知识和基本技能；同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容，克服“双基异化”的倾向。
学生第一学期吃完了老本，第二学期没有吃的了。
4. 中学数学很复杂的内容学生能应付，高等数学简单的内容学 生都有困难。
六、个人看法 1. 中学与大学教学理念倒置
（1）中学是基础教育，大学现在也是基础教育。基 础教育就是要打下坚实的基础，是打地基，不是盖楼房。 现在中学开设数学选修课，又要“不同的人在数学上得 到不同的发展”，结果基础没有打牢，盖了个“烂尾楼” （2）中学有高考压力，时间十分紧张，很难实现所 谓的教学目标。 （3）大学不断压缩学时，不断降低要求，不断弱化 理论。这个正好应该是中学所坚持的。
后开设了全校任选课《数学史》、《数学中的辩证法》、
2010年6月发行。
（3）在有关教学中，对学生进行了问卷调查，获得重要信息。
学生提出了很多很好的意见。
在数学史课程中， 多数学生表示感兴趣，有收获。希望多 讲新的，适当减少老的内容。
感谢各位专家！
6. 存在问题 （1）文科数学师资队伍的培养沿用理科数学的教学
1.立项时间： 2007年（编号140）；结题时间：2010年 2. 前期研究工作：搜集了国内开设数学文化类选 修课的大量素材，了解了国内数学文化类课程开设 的基本情况及存在的问题。 本项目成员曾经开设《数学建模》《数学中的辨
证法》《数学史》《数学与美学》选修课，积累了
一部分经验。
3.项目研究的意义
（4）国内许多重点大学如北京大学、天津 大学等在本科生中通过《数学文化》、《数学
概观》、《数学及其认识》《数学的美与理》
等，提高了学生的数学素质和文化素质，收到 比较好的效果。
二、成果主要内容 1.理论研究
（1）研究了在理工科大学生中开设数学文化类选修课
的意义 一是可以帮助学生构建全面的数学知识结构体系，满 足学生对数学学科和数学文化知识的需要。 二是帮助学生了解数学思想和数学思维，提高学生的
数学文化素养。
三是帮助学生了解现代数学的重要分支及其包含的丰 富的人文思想。
（2）研究了数学文化选修课程的教学内容与体系
我们认为数学文化类选修课应当包含以下几个模块：现代数 学学科发展特点、趋势和分支简介；数学在现代自然科学和社会
科学中的广泛应用；数学发展史上的重大事件；数学与社会科学
或数学中的人文思想等。这些内容根据课程学时可以以一门课程 开展，也可以分为若干门分开上，但不宜超过3门。
（7）.强调本质，注意适度形式化
提倡返璞归真，努力揭示数学概念、法则、 结论的发展过程和本质。 陈重穆：注重本质，淡化形式 (8) 体现数学的文化价值 适当的内容中提出对“数学文化”的学习要 求，设立“数学史选讲”等专题。
教材体现数学史和数学文化内容
（9）注重信息技术与数学课程整合
（10）评价既注重学习结果，又注重学习过程。
（1）目前的大学数学教育体系不完整，影响了学生 的数学素质。 缺少数学文化方面的知识。 （2）数学教学中，不介绍获得真理的艰苦历程，有 时有意回避问题，掩盖缺陷，因而学生获得的知识是 片面的知识。割断了数学与哲学、数学与艺术、数学 与自然科学的联系， （3）现代数学的很多分支如抽象代数、拓扑学、泛 函分析、模糊数学等包含十分丰富的人文思想，这些 思想不仅在数学家看来是十分美妙的，在具有数学基 础的理工科学生看来也是十分美妙的，尤其重要的是 这些思想对从宏观上把握一门学科（不仅是数学学科） 的本质、确定该学科的研究思路方面具有一定的指导 作用。
五、讨论的问题
1. 中学淡化概念，现在大学也不要求，学生感到：跟中学差不
多；如何处理？ 建议：系统讲授极限理论，要求基础好的尽量理解。 2. 中学学过微积分，又学了一个学期高等数学，到期末还不如 以前没有学过微积分的。学了一个学期，反倒退步了。
3. 高等数学下册内容基本上中学没有涉及，学生很难适应，如 何处理？
三. 中学微积分教学内容
1.集合：集合的交、并、补等运算 2.函数： （1）幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数。缺反三角函数 （2）函数的奇偶性、单调性、周期性 （3）建立函数模型 （4）新课程正式把函数与方程，函数的零点和方程的 根的关系，用二分法在求方程的近似根等问题。 3.极限：数列极限、函数极限、极限的四则运算 函数的连续与间断，最大最小值定理 没有间断点类型判定
② 李有文，数学与社会科学，《大学文科数学》 ③ 李淑萍，李有文，对大学文科数学及有关数
学文化内容教学的若干思考
三、创新 （1）研究了数学文化的内涵，基本明确了数学文化
课程的主要内容和教学体系。
（2）强调数学文化与学生数学知识的协调。对涉及
学生没有接触过的数学知识要介绍有关知识的背景；
（3）对目前开设数学课程中包含的数学思想和数学
文化元素进行了研究和探讨，获得了部分成果。
如：数学中“群”的概念与“领导”内涵作用 数学中“集合”与哲学中“白马非马论” 数学的抽象与哲学的抽象，用数学定义“文化”等
文化是特定社会群体在一定的历史时期形
成的特有的价值观念、思维方式、行为准则及
按照这些思维方式和行为准则创造的物质和精
神成果。（1+1+1+1=4，1+1+1+1=1，1+1+1+1=0）
新课标与微积分教学
李有文
主要内容
一. 概况 二. 新课标教学理念 三. 中学微积分教学内容 四. 应对办法 五、讨论的问题 六、个人看法
一、概况
1.新课标：《全日制义务教育数学课程标准》简 称新课标。其中中学部分简称《中学数学新课 标》。
2.1996年教育部启动研究，2001年开始试点，山 西从2009年开始在高中实施。2011年为山西首 届新课标学生入学。
生数学文化课程的教学内容和体系， 2008年7月13
日－16日，李有文、靳祯等参加了参加高等教育出
版社和全国理科高等数学研究会主办的“全国高校
数学文化课程建设研讨会”，了解了国内数学文化 课程开设的情况，并报告了参会论文。
文化是特定社会群体在一定的历史时期形
成的特有的价值观念、思维方式、行为准则及
（3）开设了《数学史》、《数学的美与理》选修课，制定 了这些试点课程的教学大纲，制作了部分教学课件 经过讨论，首先由陆平和毕涌老师对全校学生开设了
《数学史》《数学中的美与理》选修课，通过实践了解学生对本
门课程的态度和看法。选过这些课的学生都感到收获较大。
（4）完成的教学论文及部分书稿 ①李有文，靳祯，王鹏：对数学文化选修课的 若干思考，2009年郑州全国数学文化课程会议报告。 （大学数学杂志已经接收） 第 9章
4. 导数：导数概念，几何意义，导数的四则运算 复合函数导数 幂函数、指数函数、对数函数、正弦函 数、余弦函数的导数。无反三角函数导数 5. 导数应用：函数单调性、极值、最值、应用题 6.积分：定积分概念、微积分基本公式、用定积 分求平面图形面积，变速直线运动位移 简单变力做功 7. 几何：平面向量的加法运算、数乘运算 数量积
3. 研究课程特点和规律，注意抓住重点，巧妙化解难点。通过强化训练，提 高教学效果。
导数计算是重点，学生尽管中学接触过，但实际上很肤浅，所以在教学中 在介绍例如四则运算方面予以简化，腾出足够时间进行强化训练。 如果按部就班，学生会的还会，不会的还不会。
4. 重教学过程，轻教学结果 在内容讲授、课堂教学管理、作业、训练等方面要抓紧。 5. 注重归纳总结，注意系统性。中学分散讲授，缺乏系统性。