最新高中数学竞赛平面几何定理证明大全

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Gerrald 加油坚持住

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莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构5

成一个正三角形。

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設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P, D两个点（图1），按照莫利定理，8

D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD, CD正好是∠CBP, ∠BCP 9

的角平分线。

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莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一11

个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△DEF是个正三角形，再12

证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了

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为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使∠EDP＝∠FDP＝30°, 14

于是就得到一个三角形△DEF。为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的15

內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP 16

＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，17

所以△DPE≌△DPF。于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，18

而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。

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接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF 20

的确会三等分∠BAC。

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如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG＝BD, CH＝CD，把G、 F、E、22

H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF＝FD＝FE 23

＝ED＝EH。

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下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠25

GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周26

角也就都相等了。

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为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。

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看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这29

个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。

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△PFE也是一个等腰三角形，这是因为△PDF≌△PDE，（PD是公用边，∠DPF 31

＝∠DPE，∠PDF＝∠PDE＝30°），所以PF=PE。等腰三角形△PFE的顶角大小为：32

∠FPE=π-2/3（∠ABC+∠ACB）=π-2/3（π-∠BAC）=π/3+2/3∠

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BAC (1)

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∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠

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BAC (2)

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∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC/3=π-2/3∠

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BAC (3)

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最后得到：∠FGE=∠FEG=1/2(π-∠GFE)=1/3∠BAC…（4）同理可证：∠FHE= 39

∠HFE=1/3∠BAC (5)

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至此可知G,H,E,F，A五点共圓。

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因GF=FE=EH，所以∠GAF=∠FAE=∠EAH=1/3∠BAC (6)

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即AE和AF恰好是∠BAC的三等分线，所以△DEF是莫利三角形。

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AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、44

EF，分别交圆于C、D、E、F，连接CF,ED分别交AB于点M、N，求证：MS=NS。

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证明（一）

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过O作OL⊥AD，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST

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容易证明△ESD∽△CSF 所以ES/CS＝ED/FC

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根据垂径定理得：LD＝ED/2，FT＝FC/2 所以ES/CS＝EL/CT

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又因为∠E＝∠C 所以△ESL∽△CST 所以∠SLN＝∠STM

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因为S是AB的中点所以OS⊥AB 所以∠OSN＝∠OSN＝90°所以∠OSN+∠52

OSN＝180°

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所以O，S，N，L四点共圆同理O，T，M，S四点共圆

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所以∠STM＝∠SOM，∠SLN＝∠SON 所以∠SON＝∠SOM ，

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因为OS⊥AB 所以MS＝NS

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证明（二）

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从向和作垂线，设垂足分别为和。类似地，从向和58

作垂线，设垂足分别为和。现在，由于

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从这些等式，可以很容易看出：

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由于PM=MQ 现在，

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因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。

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清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三67

边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、68

CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

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证明设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、75

CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB 76

或其延长线于D、E、F

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这时，P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系：

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将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D 79