电磁场与电磁波及其应用 第三章
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若第二种媒质为导体， 因达到静电平衡后导体内部的电场 为零， 导体为等位体， 故该导体表面上电位的边界条件为
(3.1.22)
3. 电容是导体系统的一种基本属性， 它是描述导体系统储 存电荷能力的物理量。 定义两导体系统的电容为任一导体上 的总电荷与两导体之间的电位差之比， 即
(3.1.23) 电容的单位是F（法拉）。 电容的大小与电荷量、 电位差无 关， 因为该比值为常数。 电容的大小只是导体系统的物理尺 度及周围电介质的特性参数的函数。
(3.1.25)
对于多导体组成的带电系统， 因为每个导体上的电位 为常数， 则式（3.1.25）变为
(3.1.26) 例如， 双导体系统被充电后， 导体1带电荷为+q， 导体2
带电荷为－q； 电位分别为是j1和j2， 则电场能量为
(3.1.27)
2. 电场能量存在于整个电场空间。 下面导出用电场矢量 表示的计算电场能量的公式。
(3.1.3) (3.1.4)
以及
D=εE
(3.1.5)
基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场， 静止电荷
时产生静电场的通量源； 电场线（E线）从正的静止电荷 发出， 终于负的静止电荷。
2.
在两种电介质的分界面上， 电场强度满足关系式：
en×(E1－E2)=0 或 E1t=E2t 表明电场强度的切向分量是连续的。
利用点电荷产生的电位j、 电位移矢量D的以下关系：
必有
则得
(3.1.28)
对于线性和各向同性介质， D=εE,故上式可表示为 (3.1.29)
上式表明电场能量储存在电场不为零的空间， 能量密度为 (3.1.30)
能量密度的单位是J/m3（焦耳/米3）。
例3.1.3] 计算半径为a, 电荷为Q 的导体球具有的能量。 导体周围介质的介电常数为ε。
ε1E1n=ε2E2n 可见， 当ε1≠ε2时， E的法向分量是不连续的， 这是因为分界 面上存在束缚电荷密度。
3.1.2
1. 由静电场的基本方程 ×E=0和矢量恒等式 × u
=0可知， 电场强度矢量E可以表示为标量函数j的梯度， 即 E(r)=－ j(r) (3.1.9)
式中的标量函数j(r)称为静电场的电位函数， 简称电位，
单位为V（伏特）。 此式适用于任何静止电荷产生的静电场， 即静电场的电场强度矢量等于负的电位梯度。
对于点电荷的电场 考虑到以下梯度运算结果 则有 与式（3.1.9）比较， 可得到点电荷q产生的电场的电位函数为
(3.1.10)
(3.1.11) (3.1.12) (3.1.13) (3.1.14)
2. 在均匀、 线性和各向同性的电介质中， ε是一个常数。
解 方法一： 已知半径为a, 电荷为Q的导体球的电位j为
利用式（3.1.26）得
方法二： 已知导体表面是一个等位面, 根据式(3.1.25), 得
3. 静电力 在由N个导体组成的系统中， 假设只有第i个带电导体在 电场力Fi的作用下有一个广义坐标gi发生位移dgi， 则电场力所 做的功为Fi dgi， 系统的静电能量增量为dWe， 根据能量守恒 定律， 该系统的功能关系为
第三章 麦克期韦方程组的几种特殊解
3.1 静电场的边值问题解 3.2 恒定电场的边值问题解 3.3 恒定磁场的边值问题解 3.4 分离变量法 3.5 镜像法 3.6 唯一性定理 3.7 工程应用
3.1 静电场的边值问题解
3.1.1 基本方程和边界条件
1. 积分形式：
(3.1.1) (3.1.2)
微分形式：
dWS=Fi dgi+dWe
(3.1.31)
式中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。
静电力可分为以下两种情况： （1） 假设各带电体的电荷保持不变（恒电荷系统）。 当第i个导体发生虚位移时， 所有带电体都不和外电源连接， 此时dWS=0。由式（3.1.31）得
Fi dgi=－dWe|q=常数 故得
例3.1.2 同轴线的内导体半径为a， 外导体半径为b， 内 外导体间填充介电常数为ε的均匀电介质（见图3.1-1）， 试求 其单位长电容。
图3.1-1 例3.1.2题图
解 设同轴线的内、 外导体单位长度带电量分别为ρl和 －ρl， 应用高斯定律求得内外导体间任意点的电场强度为
内外导体间的电压为
（3.1.6）
电位移矢量满足的关系式为
en·(D1－D2)=ρS 或 D1n－D2n=ρS (3.1.7)
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时， 电
位移矢量的法向分量是不连续的。
若分界面上不存在面电荷， 即ρS=0， 则 en·(D1－D2)=0 或 D1n=D2n （3.1.8） 此时， 在分界面上， D的法向分量是连续的。 式（3.1.8）可 改写为
(3.1.32)
（2） 假设各带电导体的电位保持不变（恒电位系统）。 当第i个导体发生虚位移时， 所有导体应分别与外部电 源相连接。 因此外部电压源供给的能量为
根据式（3.1.26）得到系统的静电能量增量为
可见， 外电压源向系统提供给系统的能量只有一半是 用于静电能量的增加， 另一半则是用于电场力做功， 即电 场力做功等于静电能量的增量
故得
(3.1.33)
例3.1.4 已知平板电容器带电荷为Q， 极板面积为S， 间 距为l， 板间填充介电常数为ε的介质， 利用虚位移法计算平 板电容器极板上受到的表面张力。
解 利用虚位移概念, 假定由于同一极板上的同性电荷 相斥产生的表面张力为F。 在此表面张力F 的作用下, 使极 板面积扩大了dS, 则电场力做的功为F dS, 根据能量守恒定律, 这部分功应等于电场能量的减小值。 由式（3.1.32）得
从而求得单位长度电容为
3.1.3 静电场的能量与静电力
1. 对整个空间， 外电源所做的总功为
根据能量守恒定律， 外电源所做的功转换为电场的能 量， 因此整个空间增加的电场能量为
充电过程完成后， 系统的总能量为
(3.1.24)
电场能量的单位为J(焦耳)。 如果电荷是以面密度ρS分布在曲面S上， 则式（3.1.24）变为
得
即静电位满足标量泊松方程。 若空间内无自由电荷分
布， 即ρ=0， 则j(r)满足拉普拉斯方程
分界面两侧的电位是相等的， 即
j1=j2
又由en·(D1－D2)=ρS, 可导出
(3.1.18) (3.1.19) (3.1.20)
若分界面上不存在自由面电荷， 即ρS=0， 则上式变为 (3.1.21)
(3.1.22)
3. 电容是导体系统的一种基本属性， 它是描述导体系统储 存电荷能力的物理量。 定义两导体系统的电容为任一导体上 的总电荷与两导体之间的电位差之比， 即
(3.1.23) 电容的单位是F（法拉）。 电容的大小与电荷量、 电位差无 关， 因为该比值为常数。 电容的大小只是导体系统的物理尺 度及周围电介质的特性参数的函数。
(3.1.25)
对于多导体组成的带电系统， 因为每个导体上的电位 为常数， 则式（3.1.25）变为
(3.1.26) 例如， 双导体系统被充电后， 导体1带电荷为+q， 导体2
带电荷为－q； 电位分别为是j1和j2， 则电场能量为
(3.1.27)
2. 电场能量存在于整个电场空间。 下面导出用电场矢量 表示的计算电场能量的公式。
(3.1.3) (3.1.4)
以及
D=εE
(3.1.5)
基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场， 静止电荷
时产生静电场的通量源； 电场线（E线）从正的静止电荷 发出， 终于负的静止电荷。
2.
在两种电介质的分界面上， 电场强度满足关系式：
en×(E1－E2)=0 或 E1t=E2t 表明电场强度的切向分量是连续的。
利用点电荷产生的电位j、 电位移矢量D的以下关系：
必有
则得
(3.1.28)
对于线性和各向同性介质， D=εE,故上式可表示为 (3.1.29)
上式表明电场能量储存在电场不为零的空间， 能量密度为 (3.1.30)
能量密度的单位是J/m3（焦耳/米3）。
例3.1.3] 计算半径为a, 电荷为Q 的导体球具有的能量。 导体周围介质的介电常数为ε。
ε1E1n=ε2E2n 可见， 当ε1≠ε2时， E的法向分量是不连续的， 这是因为分界 面上存在束缚电荷密度。
3.1.2
1. 由静电场的基本方程 ×E=0和矢量恒等式 × u
=0可知， 电场强度矢量E可以表示为标量函数j的梯度， 即 E(r)=－ j(r) (3.1.9)
式中的标量函数j(r)称为静电场的电位函数， 简称电位，
单位为V（伏特）。 此式适用于任何静止电荷产生的静电场， 即静电场的电场强度矢量等于负的电位梯度。
对于点电荷的电场 考虑到以下梯度运算结果 则有 与式（3.1.9）比较， 可得到点电荷q产生的电场的电位函数为
(3.1.10)
(3.1.11) (3.1.12) (3.1.13) (3.1.14)
2. 在均匀、 线性和各向同性的电介质中， ε是一个常数。
解 方法一： 已知半径为a, 电荷为Q的导体球的电位j为
利用式（3.1.26）得
方法二： 已知导体表面是一个等位面, 根据式(3.1.25), 得
3. 静电力 在由N个导体组成的系统中， 假设只有第i个带电导体在 电场力Fi的作用下有一个广义坐标gi发生位移dgi， 则电场力所 做的功为Fi dgi， 系统的静电能量增量为dWe， 根据能量守恒 定律， 该系统的功能关系为
第三章 麦克期韦方程组的几种特殊解
3.1 静电场的边值问题解 3.2 恒定电场的边值问题解 3.3 恒定磁场的边值问题解 3.4 分离变量法 3.5 镜像法 3.6 唯一性定理 3.7 工程应用
3.1 静电场的边值问题解
3.1.1 基本方程和边界条件
1. 积分形式：
(3.1.1) (3.1.2)
微分形式：
dWS=Fi dgi+dWe
(3.1.31)
式中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。
静电力可分为以下两种情况： （1） 假设各带电体的电荷保持不变（恒电荷系统）。 当第i个导体发生虚位移时， 所有带电体都不和外电源连接， 此时dWS=0。由式（3.1.31）得
Fi dgi=－dWe|q=常数 故得
例3.1.2 同轴线的内导体半径为a， 外导体半径为b， 内 外导体间填充介电常数为ε的均匀电介质（见图3.1-1）， 试求 其单位长电容。
图3.1-1 例3.1.2题图
解 设同轴线的内、 外导体单位长度带电量分别为ρl和 －ρl， 应用高斯定律求得内外导体间任意点的电场强度为
内外导体间的电压为
（3.1.6）
电位移矢量满足的关系式为
en·(D1－D2)=ρS 或 D1n－D2n=ρS (3.1.7)
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时， 电
位移矢量的法向分量是不连续的。
若分界面上不存在面电荷， 即ρS=0， 则 en·(D1－D2)=0 或 D1n=D2n （3.1.8） 此时， 在分界面上， D的法向分量是连续的。 式（3.1.8）可 改写为
(3.1.32)
（2） 假设各带电导体的电位保持不变（恒电位系统）。 当第i个导体发生虚位移时， 所有导体应分别与外部电 源相连接。 因此外部电压源供给的能量为
根据式（3.1.26）得到系统的静电能量增量为
可见， 外电压源向系统提供给系统的能量只有一半是 用于静电能量的增加， 另一半则是用于电场力做功， 即电 场力做功等于静电能量的增量
故得
(3.1.33)
例3.1.4 已知平板电容器带电荷为Q， 极板面积为S， 间 距为l， 板间填充介电常数为ε的介质， 利用虚位移法计算平 板电容器极板上受到的表面张力。
解 利用虚位移概念, 假定由于同一极板上的同性电荷 相斥产生的表面张力为F。 在此表面张力F 的作用下, 使极 板面积扩大了dS, 则电场力做的功为F dS, 根据能量守恒定律, 这部分功应等于电场能量的减小值。 由式（3.1.32）得
从而求得单位长度电容为
3.1.3 静电场的能量与静电力
1. 对整个空间， 外电源所做的总功为
根据能量守恒定律， 外电源所做的功转换为电场的能 量， 因此整个空间增加的电场能量为
充电过程完成后， 系统的总能量为
(3.1.24)
电场能量的单位为J(焦耳)。 如果电荷是以面密度ρS分布在曲面S上， 则式（3.1.24）变为
得
即静电位满足标量泊松方程。 若空间内无自由电荷分
布， 即ρ=0， 则j(r)满足拉普拉斯方程
分界面两侧的电位是相等的， 即
j1=j2
又由en·(D1－D2)=ρS, 可导出
(3.1.18) (3.1.19) (3.1.20)
若分界面上不存在自由面电荷， 即ρS=0， 则上式变为 (3.1.21)