电磁场与电磁波--电磁场的基本规律

E ex Em cost 位移电流密度 D JD exEm sin t t 传导电流密度 J C E exEm cost 两种电流密度振幅的比值 J D Em r 0 4.5 10 3 1.125 10 3 JC Em 4 频率越高J D的比例越大。
in E dl B dS t C S
ez B0 cos t ez dS t S


B0 ab sin t
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（2）均匀磁场B为静态场，而回路中导体匀速运动，因而回路内 的感应电动势是由导体L在磁场中运动产生的。
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三、麦克斯韦方程组的限定形式
在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在 线性、各向同性媒质中：
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。
上式物理意义：随时间变化的电场能产生磁场。 说明：位移电流理论最初只是一种假说。但在此假说的 基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试 验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流 理论的正确性。
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例2-16 海水的电导率=4S/m，相对介电常数为81。求频率 f＝1MHz时，海水中的位移电流和传导电流的振幅之比。 解：
2.6 法拉第电磁感应定律和位移电流
一、电磁感应现象 实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时， 回路中会出现感应电流。——电磁感应现象
二、法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发 生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的 时间变化率成正比关系。数学表示： B
d d in B d S εin dt dt S
由电流连续性方程，知在极板间，有
上式中： e 为传导电流，即自由电荷运动形成的电流。 J 若定义：J D 为位移电流， d t D 为全电流，则 J全 J e J d J e t S J 全 dS＝0 全电流遵循电流守恒定律 若 用 全 电 流 J全 代 替 安 培 环 路 定 律 中 的 自 由 电 流 J e ,则安培环路定律在时变场中仍然适用。
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说明：时变电磁场的基本量包括电场和磁场，因此其 基本方程应包含四个式子。 注意：时变电磁场的源： 1、真实源（变化的电流和电荷）； 2、变化的电场和变化的磁场。 二、麦克斯韦方程组的积分形式
D C H dl S ( J e t )dS B E dl C S t dS B dS 0 S D dS dV Q V S
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说明：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要 阻止回路磁通量的改变。
感应电势大小：正比于磁通对时间的变化率。 方向：感应电势及其所产生的电流总是企图阻止与回路 相交链的磁通的变化
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三、法拉第电磁感应定律微分形式
感应电动势——>感应电场。令感应电场为 Ein
d c Ein dl dt c d Ein dl BdS c dt s ( E 的出现是磁场变化的结果。) in dB 若回路是静止的： Ein c dl s dt dS d in dt in Ein dl
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例2-17 自由空间的磁场强度为H ex H m cos(t kz) 式中
的k为常数，求位移电流密度和电场强度。
解： 自由空间的传导电流密度为0，J =0 C ex ey ez D H x J C＋ H ey t x y z z Hx Hy Hz ey [ H m cos(t kz)] e y kH m sin(t kz) A / m 2 z D 1 1 E Hdt ey kH m sin(t kz )dt


Fra Baidu bibliotek
d B0bvt vB0b dt
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（3）矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在 磁场中运动产生的，所以：
B c Ein dl S t d S C v B dl


ez B0 cos t ez dS ex v ez B0 cos t e y dl C t S
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2.7 麦克斯韦方程组
麦克斯韦在引入位移电流假说的基础上，总结前人 研究成果，将揭示电、磁场基本性质的几个方程结合在 一起，构成了麦克斯韦方程组。 一、麦克斯韦方程组的微分形式
D H J e t （推广的安培环路定律） B E （法拉第电磁感应定律） t （磁通连续性定律） B 0 D （高斯定律）
Ein dl v B dl exv ez B0 ey dl vB0b
c C


C



另外一种计算方法：
d d in E dl B dS ez B0 ez bx dt S dt C
三、安培环路定律广义形式
一般情况下，时变场空间同时存在真实电流(传导 电流)和位移电流，则
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D C H dl S J 全 dS＝S (J e t )dS D H dS＝ ( J e )dS S S t D H Je 广义安培环路定律微分形式 t
解： 线圈静止时
d in Ein dl B dS dt C S d ＝ (ey B0 sin t en dS ) dt S
B0ab cos t cos
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旋转时：设t＝0时，＝0，则t时刻，＝t
d d in Ein dl B dS＝ (ey B0 sin t en dS ) dt dt S C S
物理意义：随时间变化的磁场将产生电场。
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当导体棒以速度v在静态磁场中运动时，导体回路中的 磁通量也发生变化。此时磁场力 Fm qv B 将使导体中 的自由电荷朝一端运动，则作用在单位电荷上的磁场力 F m 可看成作用于沿导体的感应电场，即：
q
v B
0
0
0
k e y H m cos(t kz )V / m
0
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例2-18 铜的电导率为5.8*107S/m，相对介电常数为1。设铜 中的传导电流密度为： J ex J m cos tA / m 2 证明在无线电 频率范围内铜中的位移电流与传导电流相比可以忽略。 证明：
c S2
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结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用于时 变场的问题。
二、位移电流假说 在电容器极板间，不存在 I 自由电流，但存在随时间变 化的电场。 为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出了 位移电流假说。他认为：在电容器之间，存在着另外 一种形式的电流，其量值与回路中自由电流相等。
d dq S J e dS dt 高斯定理S J e dS＝ dt S DdS D D J e dS＝ S S t dS S ( J e t )dS＝0 13
2 J C E ex J m cos tA / m , 所以E＝ex E m cos t D E Jd = r 0 ex r 0 E m sin t t t 位移电流与传导电流幅值比 J dm r 0 E m ＝ ＝9.58 10 13 f J Cm Em 通常金属电导率很大，其中的位移电流可忽略。


其微分形式为：
B E v B t


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例2-14 有一个ab的矩形线圈放置在时变磁场 B ey B0 sin t 与 成角，如图 初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 e ey n 所示。求 （1）线圈静止时的感应电动势； （2）线圈以角速度绕x轴旋转时的感应电动势。
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在空间内，可能还存在着静电场或者恒定电场 Ec ， 此导体内总电场为 E Ein Ec 。 由前面讨论可知：Ec 为保守场，即 Ec dl 0 则 c dB 上式 Ein＋Ec） dl dS （ c s dt dB E dl dS c s dt dB E dS dS s s dt 法拉第电磁感应定律 dB E 微分形式 dt
d d 1 ＝ ( B0 ab sin t cos t ) ( B0 ab sin 2t ) dt dt 2
B0 ab cos 2t
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例2-15 一个ab的矩形环中有均匀磁场垂直穿过，如图所 示，在以下三中情况下，求矩形环内的感应电动势。 （1） B e B cos t ，矩形回路静止（可滑动导体L不存 z 0 在）； （2） B ez B0 ，矩形回路的宽边b＝常数，但其长边因可 滑动导体L以匀速v e v 运动而随时间增大。 x （3） B ez B0 cos t ，且矩形回路上的可滑动导体L以 匀速 v ex v 运动。 解：（1）均匀磁场B随时间做简谐变化，而回路静止，因而回路内 的感应电动势是由磁场变化产生的。





B0bvt sin t B0bv cos t
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位移电流
一、安培环路定律的局限性
H dl J dS I
c s
C
S2
l
S1
I
如图：以闭合路径 l 为边界的 曲面有无限多个，取如图所示的 两个曲面S1,S2。
则对S1面： H J I c dl S1 dS 矛盾 对S2面： H dl J dS 0
Ein v B
设导体棒是回路的一部分，则因回路运动所引起的 感应电动势为：
Ein dl v B dl
c C


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当导体在时变磁场中运动时，可视为上述两种情况 的合成，故：
B c Ein dl S t d S C v B dl