材料力学 第2章 轴向拉伸和压缩

材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：


p cos 0 cos2
p sin 0
2 sin 2

正应力和切应力的正负规定：
()
上？
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第二章 轴向拉伸和压缩
3. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力0(其
上的切应力0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处 的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情 况——该点处的应力状态(state of stress)？
F
F
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为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力） 同理，FN4=20 kN (拉力)
FN3
3
F3
F4
3
D
E
FN4
4
F4
4
E
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1 F1=40KN
第二章 轴向拉伸和压缩
2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
FR A
1
B 2
A
600
B
300
C
500
D
400
E
1800
等直杆的受力示意图
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：
FR A 1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
1
B 2
C
3
D
4
E
为求轴力方便，先求出约束力 ∑Fx=0 -FR-F1+F2-F3+F4=0
F F
m
Ⅰ Ⅰ
FN
Ⅱ
FN
F
m m m m m
轴力背离截面FN=+F
Ⅱ
F
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第二章 轴向拉伸和压缩
F F
Ⅰ
m
Ⅱ
FN
F
Ⅰ
FN
m m m m m
轴力指向截面FN=-F Ⅱ
F
用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于 物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力
系替代。
力FN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
F
a a' b' b
c c' d' d
F
动画
为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于 拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
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第二章 轴向拉伸和压缩
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截
面上各点处的总应力p相等。



斜截面上的总应力：
F F F p cos 0 cos A A / cos A
式中， 0
F 为拉(压)杆横截面上( =0)的正应力。 A
F A x
q B x
F
FNx
取x处截面, 取左边, 受力如图 解： 建立坐标如图，
F

x
0
FN x qx F
10
FN (kN)
FN x 10 30 x
x 20
轴力图
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力· 拉(压)杆内的应力
Ⅰ.应力的概念（杆件截面上一点处的分布内力集度） 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力，p F1 ΔFS M ΔA
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m
F

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FN
FN

m m
F
m
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段
的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设
进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截 面上各点处的正应力 都相等。
FN 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。 A
F ，其方向和大小一般 m A
而言，随所取ΔA的大小而不同。
F
F1

M
p

F2
F2
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F dF 该截面上M点处分布内力的集度为 p lim A dA ，其 A0
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
F1
ΔFS M ΔA
( )
( )
()
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第二章 轴向拉伸和压缩
k
F F F
k
45
思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力和切应
力与横截面上正应力0的关系。并示出它们在图示分离 体的斜截面k-k上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在 什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面
FR 1 FN1
FR=10KN
为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为
A 1
拉力，得
FN1=FR=10 kN(拉力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
2 F2=55KN3 F3=25KN 4
FR A
1 F1=40KN
F4=20KN
1
F1
B 2
2
C
3
D
4
E
FR
FN2
FN2=50 kN(拉力)
F
F1

M
p

F2
F2
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F1

源自文库
第二章 轴向拉伸和压缩
p
某一截面上法向分 布内力在某一点处 正应力 的集度 某一截面上切向分
M F2

法向分量 总应力 p 切向分量 应力的特征：
切应力
布内力在某一点处 的集度
1.应力定义在受力物体的某一截面上的某一点。 2.在某一截面上一点处的应力是矢量，其符号规定： 正应力： 拉应力为正，压应力为负 切应力： 而对界面内部（靠近界面）的一点产生顺时针方向 的力矩的切应力为正，反之为负 3.应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)
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第二章 轴向拉伸和压缩
F (c)
F (f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值画在下侧。
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-1 试作此杆的轴力图。
40KN 55KN 25KN 20KN
另外一个概念：应变。
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研究变形的目的 1)为了分析构件的刚度问题，即为了保证构件正常 工作，构件的变形应限制在允许的范围之内；
2)为了求解静不定问题。
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第二章 轴向拉伸和压缩
拉(压)杆的纵向变形
基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
d1
2 1
ІІ
C
4000
150KN
所以，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力）
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
F
k

F k F k
斜截面上的内力：
F
k
F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉 ( 压 ) 而变形后 仍相互平行。 长变形相同。 两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
A І F B F
3000
50KN
FN1 50 103 N 1 A1 (0.24 m) (0.24 m) 0.87 106 P a 0.87 MP a (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150 103 N 2 0.37 m 0.37 m A2 1.1 106 P a 1.1 MP a (压应力)
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的 外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要 变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
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第二章 轴向拉伸和压缩
F
l l1
d
F
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
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第二章 轴向拉伸和压缩
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同， 故不同截面的变形不同。
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第二章 轴向拉伸和压缩
A І F B F
3000
例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横
4000
ІІ
截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
C
240 370
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第二章 轴向拉伸和压缩
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-2 内力· 截面法· 及轴力图
Ⅰ. 内力
材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相 互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。 根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合 成)。
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ. 截面法· 轴力及轴力图 m Ⅰ Ⅱ F
F
F
Ⅰ
FN
m m m m m
FN
F
Ⅱ
x
0 FN F 0
F
步骤：
FN F
（1）截开：假想地截开指定截面； （2）代替：用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；
（3）平衡：根据分离体的平衡求出内力值。
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 §2-2 内力· 截面法· 及轴力图 §2-3 应力· 拉(压)杆内的应力 §2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律 §2-5 拉(压)杆内的应变能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2-7 强度条件· 安全因数· 许用应力 §2-8 应力集中的概念
C
3
D
4
E
50 20
10
5
FN图（KN）
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。
FN, max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
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例2
已知：F=10kN, 均布 轴向载荷q =30kN/m, 杆长 l =1m。 求：杆的轴力图。
x x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x
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第二章 轴向拉伸和压缩
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
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第二章 轴向拉伸和压缩
注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些
特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假
设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
m
m
FN d A
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力，与切应力无关； (2) 在横截面上的变化规律：横截面上各点处 相等 时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力 FN；横截面上各点处 不相等时，特定条件下也可组成轴
§2-4 拉(压)杆的变形· 胡克定律
一、变形与应变的概念
1、变形 当力作用在物体上时，将引起物体形状及体积的 变化，这种变化被称之为变形。 2、应变 构件的形状是用它各部分的长度和角度来表示。因 此构件的变形也可以归结为长度的改变和角度的改变， 即线变形和角变形。构件整体的变形并不能准确地描述
构件的变形程度，为了准确描述杆件的变形程度，引入
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横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直
于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左
边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向 截面产生缩短变形为负。(即拉为正，压为负。)