双三次插值(bicubic interpolation)原理及MATLAB源码实现

%双三次插值具体实现
clc,clear;
fff=imread('E:\Documents\BUPT\DIP\图片\lena.bmp');
ff = rgb2gray(fff);%转化为灰度图像
[mm,nn]=size(ff); %将图像隔行隔列抽取元素，得到缩小的图像f
m=mm/2;n=nn/2;
f = zeros(m,n);
for i=1:m
for j=1:n
f(i,j)=ff(2*i,2*j);
end
end
k=5; %设置放大倍数
bijiao1 = imresize(f,k,'bilinear');%双线性插值结果比较
bijiao = uint8(bijiao1);
a=f(1,:);c=f(m,:); %将待插值图像矩阵前后各扩展两行两列,共扩展四行四列b=[f(1,1),f(1,1),f(:,1)',f(m,1),f(m,1)];d=[f(1,n),f(1,n),f(:,n)',f(m,n),f(m,n)];
a1=[a;a;f;c;c];
b1=[b;b;a1';d;d];
ffff=b1';f1=double(ffff);
g1 = zeros(k*m,k*n);
for i=1:k*m %利用双三次插值公式对新图象所有像素赋值u=rem(i,k)/k; i1=floor(i/k)+2;
A=[sw(1+u) sw(u) sw(1-u) sw(2-u)];
for j=1:k*n
v=rem(j,k)/k;j1=floor(j/k)+2;
C=[sw(1+v);sw(v);sw(1-v);sw(2-v)];
B=[f1(i1-1,j1-1) f1(i1-1,j1) f1(i1-1,j1+1) f1(i1-1,j1+2)
f1(i1,j1-1) f1(i1,j1) f1(i1,j1+1) f1(i1,j1+2)
f1(i1+1,j1-1) f1(i1+1,j1) f1(i1+1,j1+1) f1(i1+1,j1+2)
f1(i1+2,j1-1) f1(i1+2,j1) f1(i1+2,j1+1) f1(i1+2,j1+2)];
g1(i,j)=(A*B*C);
end
end
g=uint8(g1);
imshow(uint8(f)); title('缩小的图像'); %显示缩小的图像
figure,imshow(ff);title('原图'); %显示原图像
figure,imshow(g);title('双三次插值放大的图像'); %显示插值后的图像
figure,imshow(bijiao);title('双线性插值放大结果'); %显示插值后的图像
mse=0;ff=double(ff);g=double(g);
ff2=fftshift(fft2(ff)); %计算原图像和插值图像的傅立叶幅度谱
g2=fftshift(fft2(g));
figure,subplot(1,2,1),imshow(log(abs(ff2)),[8,10]);title('原图像的傅立叶幅度谱'); subplot(1,2,2),imshow(log(abs(g2)),[8,10]);title('双三次插值图像的傅立叶幅度谱');
基函数代码：
function A=sw(w1)
w=abs(w1);
if w<1&&w>=0
A=1-2*w^2+w^3;
elseif w>=1&&w<2
A=4-8*w+5*w^2-w^3;
else
A=0;
end
算法原理
双三次插值又称立方卷积插值。

三次卷积插值是一种更加复杂的插值方式。

该算法利用待采样点周围16个点的灰度值作三次插值，不仅考虑到4 个直接相邻点的灰度影响，而且考虑到各邻点间灰度值变化率的影响。

三次运算可以得到更接近高分辨率图像的放大效果，但也导致了运算量的急剧增加。

这种算法需要选取插值基函数来拟合数据，其最常用的插值基函数如图1所示，本次实验采用如图所示函数作为基函数。

图 1 双三次内插基函数
其数学表达式如下：
S(w)={1−2|w|2+|w|3,|w|<1
4−8|w|+5|w|2−|w|3,1≤|w|<2
0, |w|≥2
双三次插值公式如下：
f(i+u,j+v)=ABC
其中，A、B、C均为矩阵，形式如下：
A=[S(1+u) S(u) S(1−u) S(2−u)]
B=
[f(i−1,j−2)f(i,j−2)f(i+1,j−2)f(i+2,j−2) f(i−1,j−1)f(i,j−1)f(i+1,j−1)f(i+2,j−1) f(i−1,j)f(i,j)f(i+1,j)f(i+2,j)
f(i−1,j+1)f(i,j+1)f(i+1,j+1)f(i+2,j+1)] C=[S(1+v) S(v) S(1−v) S(2−v)]T
其中，f(i,j)表示源图像(i,j)出像素点的灰度值。