泛函分析知识点

泛函分析知识点

知识体系概述

（一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子

1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：

（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x);

（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);

则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间

例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)

例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2

第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间

1. 开球

定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义

U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}

为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限

定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, . ()lim ,0n n d x x →∞

= 则称x 是点列{x n }的极限.

3. 有界集

定义 若()(),sup ,x y A

d A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界

4. 稠密集

定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间

定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

第三节 连续映射

1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~

d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足

()0,d x x δ

<

的x ，有

()~

0,d Tx Tx ε

<，

则称T 在

x 连续.

2.定理1 设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪

⎝

⎭中的映射，那么T 在

0x X

∈连续的充

要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞

3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.

第四节 柯西（cauchy ）点列和完备度量空间

1.定义 设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，

存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有

(),n m d x x ε<，

则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d ）中每个柯西点列都在 （X,d ）中收敛，那么称（X,d ）是完备的度量空间. 【注意】（1）Q 不是完备集 （2）n

R 完备

（3）cauchy 列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy 列.

（4）C[a,b]完备

2.定理 完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 中的闭子空间. 第五节 度量空间的完备化

1.定义 设（X,d ）,( ~X ,~d )是两个度量空间，如果存在X 到~

X 上的保距映射T ，即()()~

,,d Tx Ty d x y =，则称（X,d ）和( ~X ,~d )等距同构，此时T 称为X 到~

X 上等距同构映射。

2.定理1（度量空间的完备化定理） 设X=（X,d ）是度量空间，那么一定存在一完

备度量空间~X =( ~X ,~d )，使X 与~X 的某个稠密子空间W 等距同构，并且~

X 在等距同

构意义下是唯一的，即若( ^X ,^d )也是一完备度量空间，且X 与~

X 的某个稠密子空间等距同构，则( ~

X ,~

d )与( ^X ,^

d )等距同构。

3.定理1’ 设X=（X,d ）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间

~X =( ~X ,~d )，使X 为~

X 的稠密子空间。

第六节 压缩映射原理及其应用

1.定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α，0<α<1，使得对所有的,x y X ∈,

()(),,d Tx Ty d x y α≤, 则称T 是压缩映射。

2.定理1（压缩映射定理）（即Barnach 不动点定理） 设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx=x,有且只有一个解）. 补充定义：若Tx=x,则称x 是T 的不动点。 x 是T 的不动点⇔x 是方程Tx=x 的解。

3.定理2 设函数(),f x y 在带状域 ,a x b y ≤≤-∞<<∞

中处处连续，且处处有关于y 的偏导数()'

,y f x y .如果还存在常数m 和M 满足

()'0,,y m f x y M m M <≤≤<,

则方程(),0f x y =在区间[],a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ=作为解： ()()

[],0,,f x x x a b ϕ≡∈

第七节 线性空间

1.定义1 设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：

（1）关于加法成为交换群，即对任意x,y ∈X ，存在u ∈X 与之相对应，记为u=x+y,称为x 和y 的和，满足 1）x y y x +=+；

2）()()()

,,x y z x y z x y z X ++=++∈任何；

3）在X 中存在唯一元素θ，使对任何x X ∈,成立x x θ+=，称θ为X 中零元素； 4）对X 中每个元素x ，存在唯一元素x X '∈，使x x θ'+=，称x '为x 的负元素，记为x -； （2）对于X 中每个元素x X ∈，及任意实数（或复数）a ，存在元素u X ∈与之对应，记为

u ax =，称为a 与x 的数积，满足

1）1x x =；

2）()()a bx ab x =对任意实数（或复数）a 和b 成立； 3）()(),a b x ax bx a x y ax by +=++=+，

则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数（复数）有意义，则称X 是实（复）线性空间。

例1 R n ,对R n 中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn ),y=(η1,η2,…,ηn)和任何实(复)数a,定义

x+y=(ξ1 +η1,ξ2 +η2,…,ξn +ηn ), ax=(aξ1 ,aξ2,…,aξn ).

容易验证R n 按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.

2.定义2 设x 1 ,x 2,…,x n 是线性空间X 中的向量,如果存在n 个不全为零的数