第六章 常微分方程 - 答案

第六章 常微分方程 一、填空题

1．x

ce y 2-= 2.

1()x x y xe e C x

--=--+ 3. y =()x e x C + 4. 044=+'-''y y y 二、单项选择题

1. A

2.C

3.C

4.A

5.D

6. C

7.A

8. A

9. B 10. D 三/计算题 1.解：通解为

[]11ln ln sin ...........................3sin 1

cos .............................................6dx dx x x

x x x y e e dx C x x e e dx C x x C x

-

-⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰分

分 2.解：通解为

[]tan tan ln cos ln cos 1...........................2cos 1cos 11cos ..............................4cos cos 1.....................................cos xdx

xdx x x y e e dx C x e e dx C x xdx C x x x C x --⎡⎤

⎰

⎰=+⎢⎥⎣⎦

⎡⎤

=+⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

=

+⎢⎥⎣⎦

=+⎰⎰⎰分分...............6分

求微分方程 x x y y x ln =-' 满足初始条件11==x y 的特解． 3.解： x y x

y ln 1

=-

' ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x e y dx x dx x 1

1)(ln ()

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰⎰-C dx x x x C dx e x e x x ln )(ln ln ln ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=C x x 2)(ln 2 由 11

==x y 得1=C , 所以⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=12)(ln 2x x y ． 4.解：令y u x =,则dy du u x dx dx =+,原方程化为1du x dx u

=,即2

2u e Cx =.通解为 2

2

2y x e Cx =.

5.解：令y u x =, 则

dy du u x dx dx =+,原方程化为tan du

x u dx

=,ln sin ln ln u x C =+, 通解为 sin y Cx x

=. 6.解: 令,x y u =

得sec ,du u x u u dx

+=+ 分离变量，cos ,dx udu x = 积分得 s i n l n ,

u x C =+ 原方程通解sin ln ,y

x C x

=+由初始条件得,1=C 初值问题的解是sin

ln ,y

x x

= 或arcsin ln .y x x = 7.解：原方程可化为2

2

2

)(22x y x y x

xy y dx dy -=--=，令u x y =，则,

d y d u

y u x u x d x d x

==+,

代入方程得22u u dx du x

u -=+，分离变量得x dx

u

u du =-2，两边积分得c x u u ln ln )1ln(+=-, 所以,1cx u u =- 故原方程的通解为1

2

-=cx cx y ， 又21==y x 时，，所以2=c ，特解为1

222-=x x y .

8.解: 令y p '=,则p y '='',代入方程得

xp p x 2)1(2='+,即

dx x

x p dp 212+=, 积分得 ||ln )1ln(||ln 12C x p ++=, 即)1(21x C p +=.利用30=''=x y ,得31=C ,于是)1(32x y +=' 两边再积分 得233C x x y ++= .利用10==x y ,得22=C ,因此所求特解为233++=x x y . 9.解： 令p y ='，则dx

dp y =''. 原方程化为 02=+p dx dp e x

， x x e C p dx e p dp ---=⇒=-⇒121

， 由 210

0-='===x x y p 1

11+-=⇒-=⇒x x e e p C ，

即 1

+-=x x

e e dx dy 2)1ln(C e y x ++-=⇒， 由 00

==x y 2

1

ln 2ln 2+-=⇒=⇒x e y C ．

10.解：特征方程为2560r r -+=，特征根为122,3r r ==，齐次方程的通解 为2312x x Y C e C e =+，又2λ=是特征单根，设特解为*2x y xae =，代入关系式 )()()2()(x P x Q p x Q m ='++''λ，得5a =- 所以特解为*25x y xe =-,所以微分方程的通解为232125x x x y C e C e xe =+-.

11.解: 特征方程为 0322=-+r r 的特征根 3,121-==r r ，所以对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 321-+=,由已知, 1=m , 而1=λ为方程的单特征根, 故可设原方程的特解为x e b ax x y )(*+= 代入原方程整理得x b ax a 2)2(42=++

比较等式左右两边系数得⎩

⎨⎧=+=04228b a a

即 ⎩⎨⎧-==8/14/1b a .所以原方程的通解

为x x x e x e C e C y )12(8

1

2321-++=-.

12.解: 特征方程是 2440r r ++=，特征根1r =22-=r .故对应齐次方程的通解 是212()x Y C C x e -=+.自由项的()1m P x =，2λ=-是二重特征根，故原方程的特解形式为*22x y x ae -=⋅，代入原方程得1

2

a =， 所求通解22221212

x x x y C e C xe x e ---=++

. 13.解：特征方程为2440r r -+=，特征根为122r r ==,齐次方程的通解 为212()x Y C C x e =+, 又2λ=是二重特征根，设特解为*22x y x Ae =，代入关系式

()()m Q x P x ''=，即323,2A A ==，所以特解为*223

2

x y x e =. 所以微分方程的通解 为222123()2

x x y C C x e x e =++

. 14.解：特征方程为2320r r ++=，特征根为121,2r r =-=-， 齐次方程的通解 为212x x Y C e C e --=+，又1λ=-是特征单根，设特解为*x y xAe -=，代入关系式

)()()2()(x P x Q p x Q m ='++''λ，得6A = 所以特解为*6x y xe -= 所以微分方程的通解为2126x x x y C e C e xe ---=++.

15.解：特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==，齐次方程的通解为

312()x Y C C x e =+，又3λ=是特征重根，设特解为*23x y ax e =，2()Q x ax =代入关