第3章_时域瞬态响应分析_3.5高阶系统的瞬态响应

×
1
偶极子 -1
0
s2×
相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 一对靠得很近的零点和极点，在输出中， 一对靠得很近的零点和极点，在输出中，与该极 点相对应的分量可以忽略， 点相对应的分量可以忽略，也即这一对靠得很近的零 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 经验指出， 经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它 们本身的模值小一个数量级时， 们本身的模值小一个数量级时，则这一对零点和极点 就构成了偶极子。 就构成了偶极子。 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点，以抵消 对动态性能影响较大的不利的极点， 对动态性能影响较大的不利的极点，使系统的性能得 到改善。 到改善。
m m −1 m m −1 X o ( s ) K ( s + b1s + L + bm −1s + bm ) K ( s + b1s + L + bm−1s + bm ) = q = n n −1 r Xi (s) s + a1s + L + an −1s + an ( s + pi ) ∏ ( s 2 + 2ξ jω j s + ω 2j ) ∏ i =1 j =1
《控制工程基础》 控制工程基础》
第3章 时域瞬态响应分析 章 3.5 高阶系统的瞬态响应
3.5.1 高阶系统的单位阶跃响应
一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯 性环节和二阶振荡环节的叠加。 性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由 这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 其传递函数可表示为
低阶系统G1的单位阶跃响应（用红色表示）： 低阶系统 的单位阶跃响应（用红色表示）： 的单位阶跃响应
将高阶系统G 用蓝色表示）和低阶系统G1 （用红色表示）的 用红色表示） 将高阶系统 （用蓝色表示）和低阶系统 单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似： 单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似：
注意：近似时应保证 系统增益G(0)不变。
近似前后的单位阶跃响应曲线
近似 xo(t)
xo(t)
10 1 例：G ( s ) = 2 ≈ 2 2 ( s + s + 1)( s + 5s + 10) s + s + 1
在一般情况下， 在一般情况下 ， 当 某些极点与虚轴的距离 是其它极点与虚轴距离 的 4-5 倍及 以 上时 ， 这 些极点可以略去。 些极点可以略去。
s3
×
1.94 s平面 平面
s1 ×
-0.5
0.87 0
-2.5
s2 × s4
×
近似 xo(t) xo(t)
结论： 结论： ①高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度是不相 同的。 平面左半平面内，距离虚轴越远的极点， 同的。在s平面左半平面内，距离虚轴越远的极点，其负实部 的绝对值就越大， 的绝对值就越大，与这些极点相对应的指数项分量与阻尼指数 项分量衰减越快。因此， 项分量衰减越快。因此，对高阶系统的时间响应进行近似分析 可以忽略这些分量的影响。 时，可以忽略这些分量的影响。 相反地， ②相反地，距离虚轴很近的极点则对系统的时间响应起主导作 因而这种极点就被称为主导极点。 用，因而这种极点就被称为主导极点。 在工程上，一般将高阶系统中距离虚轴最近、 ③在工程上，一般将高阶系统中距离虚轴最近、其实部的绝对 值为其它极点绝对值的1/5或更小的闭环极点作为主导极点。 1/5或更小的闭环极点作为主导极点 值为其它极点绝对值的1/5或更小的闭环极点作为主导极点。 主导极点对高阶系统的瞬态响应起主导作用。 主导极点对高阶系统的瞬态响应起主导作用。 对于高阶系统，如果能够找到主导极点， ④对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远 离虚轴的极点的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。 离虚轴的极点的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。
例1：已知某高阶系统 ：已知某高阶系统G(s)的传递函数为 的传递函数为
G (s ) = s 2 + 20s + 100 s 6 + 15s 5 + 84s 4 + 223s 3 + 309s 2 + 240s + 100
试求该系统的单位阶跃响应。 试求该系统的单位阶跃响应。 解：采用MATLAB软件计算 采用 软件计算 numerator=[1 20 100]; denominator=[1 15 84 223 309 240 100]; t=(0:0.1:20); step(numerator,denominator,t);
(s + a + δ) 2a ⋅ 例：G(s) = a + δ (s + a)(s 2 + 2 s + 2 ) δ << a
情况(1)： 情况(1)： (1)
1.8182(s + 2.2 ) (1) G(s) = -2.2 (s + 2 )(s 2 + 2 s + 2 ) •× 2 -2 ≈ 2 ? s + 2s + 2 偶极子
s平面 平面
×
j
×
主导 极点
s平面 平面 s1 × β s2×
j 主导 极点 0
s1
×
0
×
×
×
5 1 例：G ( s ) = ≈ ( s + 1)( s + 5) s + 1
1 1 或G ( s ) = ≈ ( s + 1)(0.2 s + 1) s + 1
时间常数<<1（主导极点 （ 时间常数 对应的时间常数） 对应的时间常数）
s1
(s + a + δ) 2a 例：G(s) = ⋅ 2 a + δ (s + a)(s + 2 s + 2 ) δ << a
×
1
偶极子 -1
• ×
0
s2× 讨论不同位置偶极子对系统响应的影响： 讨论不同位置偶极子对系统响应的影响： （1）远离原点的偶极子，其影响可略。 ）远离原点的偶极子，其影响可略。 （2）接近原点的偶极子，其影响必须考虑。 ）接近原点的偶极子，其影响必须考虑。
xo (t ) = α 0 + ∑ α i e
i =1 q − pi t
+ ∑ β je
j =1
r
−ζ j ω j t
cos(ω j 1 − ζ l 2 )t
+ ∑ γ je
j
r
−ζ j ω j t
sin ω j 1 − ζ l 2 )t
可见， 可见，一般高阶系统瞬态响应是由若干一阶惯性环节和二阶振荡环节 的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。 的响应函数叠加组成的。 当所有极点均具有负实部时 ， 系统稳定 。 极点的性 质决定瞬态分量的类型： 质决定瞬态分量的类型： ●实数极点 非周期瞬态分量 阻尼振荡瞬态分量。 ●共轭复数极点 阻尼振荡瞬态分量。 类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态： 类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态： ●极点位于除原点外的虚轴上 ⇒ 等幅振荡 ●极点位于右半复平面 ⇒ 发散 ●极点位于左半复平面 ⇒ 收敛 在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离： ●在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离：极点与虚轴 的距离越大，收敛速度越快。 的距离越大，收敛速度越快。 在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性） ●在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性）基本取决于极点与负实 轴的夹角（阻尼） 零点也有影响。 轴的夹角（阻尼），零点也有影响。
z1 s3×2 Nhomakorabeas1× 0.87
-5 -0.5
-10
z2
s2×
0 -2
xo(t) 近似 xo(t)
3.5.3 偶极子相消
系统零点分布对时域响应的影响
c(t ) = a + ∑ a j e
j =1 q − p jt
+ ∑ bk2 + ck2 e −ζ k ωk t sin(ω k 1 − ζ k2 t + ϕ k )
k =1
r
高阶系统的各个闭环极点 对系统时间响应的影响程度还 取决于在各个闭环极点上的留 数的相对大小。 数的相对大小。如果有一对靠 得很近的零点和极点， 得很近的零点和极点，那么就 会使此极点上的留数很小， 会使此极点上的留数很小，这 可以从计算留数的公式中看出。 可以从计算留数的公式中看出。
s1 • ×
G1 (s ) = 1 s 2 + 1 s + s + 1 2
2
(
)
=
(s + 2)2 (s 2 + s + 1)
s s 100 + 1 + 1 s 2 + s + 1 5 2 4
(
)
采用MATLAB软件计算低阶系统 的单位阶跃响应： 软件计算低阶系统G1的单位阶跃响应 采用 软件计算低阶系统 的单位阶跃响应： numerator1=[4]; denominator1=conv([1 4 4],[1 1 1]); system1=tf(numerator1,denominator1); t=(0:0.1:20); step(system1,'r',t);