绝对值不等式绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法（二）
2020年7月25日星期六
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用绝对值的几何意义．
解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B，
-3,2对应的点分别为A1,B1，
A1 A
B B1
这种方法体现了 数形结合的思想
-3 -2 -1 0 1 2
∵|A1A|+|A1B|=5, |B1A|+|B1B|=5,
绝对值不等式
1ห้องสมุดไป่ตู้绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,-B两点之间的距
离
a A
0
a
x
ab
ab
-B
A
B
-b
a
O
b
x
探究
设a, b为实数， 你能比较 ab与之a间的b大
3.绝对值的运算性质：
a |a |
a2 a , ab a b，| b | | b |
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察； 法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5,
而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值
解 :(1 )当 x 2 时 ,这种解法体现了分类讨论的思想 原 不 等 式 (x 1 x)2(x2)5xx23x3.
x 1 , 或 x 5 ， 或 1 x 3 , 原 不 等 式 的 解 集 为 { x | x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 2 : 原 不 等 式 x 2 3 x 4 (x 1 ) 或 x 2 3 x 4 x 1
小关系吗？
当ab>0时，abab 当ab<0时，abab 当ab=0时，abab
abab
定理1
如果a,b是实数，则 abab
当且仅当 ab时0，等号成立。
把实数 a，b换成相a量 ， b，你能得出什么结果？
你能解释它的几何意义吗？
当向量 a , b不共线时，
abab
当向量 a , b共线时，
y
ab b
2、求证：（1） xaxbab
（2） xaxbab
1.求 x3的x最大9值 2.求 x3的x最9 小值
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0 ,x a,y b,
求证 2x3y2 a3 b5
（II）求不等式
的图像； 的解集。
x 4 ，x ≤ 1
f
x
3x
2
， 1
x
3 2
4
x
，x
≥
3 2
， 1 3 1， 3 5，
课堂练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k
恒成立，则k的取值范围是 （ B）
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3 2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
思考一：由以上解法可知，|x-1|+|x+2|有最 小
值 3 此时，x的取值范围是 x2， 1
思考二：若变为|x-1|+|x+2|≥k恒成立，则k的
取值范围是
k 3
思考三：若变为存在x，使|x-1|+|x+2|<k成立， 则k的取值范围是 k 3
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集
y
2x6, x2 y2， 2x1
2x4，x 1
-2 1
如 图 , 作 出 函 数 的 图 象 , -3
函 数 的 零 点 是 -3,2.
2x -2
由 图 象 可 知 , 当 x 3 或 x 2 时 , y 0 ,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
这种方法体现了函数与方程的思想．
x 2 2 x 3 0 或 x 2 4 x 5 0
( x 1 ) ( x 3 ) 0 , 或 ( x 1 ) ( x 5 ) 0
1 x 3 ,或 x 1 ,或 x 5 , 原 不 等 式 的 解 集 为 { x | x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1
0
1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1, ∴ 0≤x＜1
取值范围是-( -- -- --,--2 -]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看,不等式|x|<1的解集,是函
数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部
分对应的x的取值范围.
y
∴不等式|x|<1的解集为
1 y=1
{x|-1<x<1}
－1 o 1 x
一般结论: 形如|x|<a和|x|>a (a>0)的不等式的解集:
①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
变 式 练 习 : 解 不 等 式 |3 x 2 | 1 ．
答 案 : ( ,0 )( 1 , )
例 2 . 解 不 等 式 |x 2 5 x | 6 ．
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6 xx22
5x 5x
6 6
x x2 2 5 5x x 6 6 0 0 x1 2或 x x6 3
-a
0
a
②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
想一想:如果 a ≤0 ,以上不等式的解集是什么？
例 1 . 解 不 等 式 |3 2 x | 7 . 解 : 原 不 等 式 2 x 3 7
2 x 3 7 或 2 x 3 7
x 2 或 x 5
原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 或 x 5 } .
解 : 原 不 等 式 化 为 |x 1 | |x 2 | 5 0 ,
构 造 函 数 y |x 1 | |x 2 | , 化 简 得
(1x)(x2)，x2 y(1x)(x2)， 2x1
(x1)(x2)，x1
2x6, x2 即y2， 2x1
2x4，x1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
(2 )当 2x 1 时 ,
原 不 等 式 ( 12 x)x (1 x2)5325x1x.
(3)当 x1时 ,
原 不 等 式 (xx 1 1)(x2)5xx12x2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．
a
O
x
同向： abab
abab
反向： abab
定理1 如果a,b是实数，则 abab
定理1的完善
绝对值三角不等式
ababab
aba bab
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
(1 ).a b ca b c (2 ).a ca b b c
定理2
1、求证：（1）abab2a
（2） abab2b
为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x|x1
作出 f (x) │x+1│–│x–2│的图像， 并思f考 (x)的最大和最小值
│ x+1│ –│ x–2│ k恒成立 k的， 取值范围是 │ x+1│ –│ x–2│ k恒成立 k的， 取值范围是
例2.已知函数
.
（I）画出
1 x 2 或 3 x 6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 , 2 ) ( 3 , 6 ) .
变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 ．
答 案 :[10,5) (1,2] 33 3
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0 综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集.
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.
对原不等式两边平方得x2<1, 即(x+1)(x-1)<0
∴－1<x<1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}.
课堂小结:
1.解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
2.主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵分类讨论去绝对值符号； ⑶数形结合(运用绝对值的几何意义); ⑷利用函数图象来分析.
( 1 ) f x a ( a 0 ) f x a 或 f x a
( 2 ) f x a ( a 0 ) a f x a
( 3 ) f x g ( x ) f x g ( x ) 或 f x g ( x ) ( 4 ) f x g ( x ) g ( x ) f x g ( x ) ( 5 ) f x g x f x 2 g x 2
绝对值不等式的解法（一）
2020年7月25日星期六
一、复习回顾
a ,a>0
1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0
2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
( 1 ) f x a ( a 0 ) f x a 或 f x a
( 2 ) f x a ( a 0 ) a f x a
( 3 ) f x g ( x ) f x g ( x ) 或 f x g ( x ) ( 4 ) f x g ( x ) g ( x ) f x g ( x ) ( 5 ) f x g x f x 2 g x 2
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 1 : 原 不 等 式 x x 2 2 3 3 x x 4 4 x 0 1 或 x 2 ( x 2 3 x 3 x 4 4 ) 0 x 1 x x 5 4或 或 x x 1 1或 1 1 x x 3 4