第六章 序列相关性
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Yt Yt1 0 (1 ) 1( X1t X1t1) 2 ( X 2t X 2t1) ...t t1
Yt Yt1 0 (1 ) 1( X1t X1t1) 2 ( X2t X2t1) ...t t1
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的 情况下（低估），使得预测估计不准确，预测精度降低。
经典模型随机误差项的方差估计：
^
2
ei2
n2
存在自相关，
^
E( 2
)
随机误差的方
n 2 [2
差估计：
X t X t1
X
2 t
2 2
ei2
Xt Xt2
n (e~t e~t1 ) 2
D.W . t2
n e~t2
t 1
D-W检验最大优点是简单易行，它以OLS残 差为基础，而许多软件包都可以对残差进行计算。 通常，统计结果在给出t值、F值、R2值的同时， 也给出了d 值。Eviews软件用Durbin-Watson stat表示
例题4 日本工薪家庭实际消费支出与实
i 1 l,2 l, ,n
求出i新的“近拟估计值” i(2) ， 并以之作为
样本观测值，再次估计
i（2）=1i-1+2i-2+LiL+i
类似地，可进行第三次、第四次迭代
一般是事先给出一个精度，当相邻两次1,2, ,L的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。
^
E(2) 2
n1
n2
n2
^
Var(2 )
2 u
n
xt xt1
xt xt2
x1xn
[1 2
t 1 n
22
t 1 n
... 2 n1
t 1 n
]
xt2
xt2
xt2
xt2
i 1
t 1
t 1
t 1
因此，Var(ˆ2 )OLS Var(ˆ2 )AR(1)
得到 1, 2 , , l ，作为随机误差项的相关系 数 1 , 2 , , l 的第一次估计值。
Yi 1Yi1 Yl il 0 (1 ˆ1 ˆ l ) 1 ( X i ˆ1 X i1 ˆ l X il ) i
i=1,2, …,n
Cov(i , j)=0
ij, i,j=1,2, …,n
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是
不相关的，而是存在某种相关性Cov(i , j) ≠0
则认为出现了序列相关性，即ut与ut1 是相关的
例1 1985-2003年中国农村居民人均收入 和消费
序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中
……
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成 立，则说明原模型存在序列相关性。
回归检验法的优点是：（1）能够确定序列相 关的形式；（2）适用于任何类型序列相关性问 题的检验
3、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson) 于1951年提出的一种检验序列自相关的方法，该方法的 假定条件是：
例如，本来应该估计的模型为
Yt=0+1X1t+ 2X2t + 3X3t + t
但在模型设定中做了下述回归：
Yt=0+1X1t+ 1X2t + vt 因此， vt=3X3t + t，由于X3t在时间上是相关的， 则ut出现序列相关。
又如：如果真实的边际成本回归模型应为：
Yt= 0+1Xt+2Xt2+t
（1）解释变量X非随机； （2）随机误差项i为一阶自回归形式：
i=i-1+i （3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变 量，即不应出现下列形式：
Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i
（4）回归含有截距项
D.W. 统计量:
杜宾和瓦森针对原假设：H0: =0， 即不存在一 阶自回归，构如下造统计量：
Y
其中：Y=边际成本，X=产量，
但建模时设立了如下模型：
Yt= 0+1Xt+vt
X
由于vt= 2Xt2+t, ，包含了产量的平方对随机项的系 统性影响，因此Xt2的相关性就会转移到随机误差项，如 果随机项也呈现序列相关性。
3、经济变量的滞后效应
在实际经济问题中，有些变量对其他变量的影 响不仅局限在当期，而是延续若干期。因此，变 量的影响反映在误差项中，表现出序列相关性
X
2 t
23
X
Xt t3
X
2 t
...]
所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效
四、序列相关性的检验
基本思路:
序列相关性检验方法有多种，但基本思路相同：
首先，采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的 “近似估计量”，用e~i 表示：
e~i Yi (Yˆi )0ls 然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性， 以判断随机误差项是否具有序列相关性。
1、图示法
——例2美国个人实际可支配收入和个人实际消 费收入
2、回归检验法
例题3 北京市城镇居民家庭人均收入与支出
以 e~t 为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以e~t1 、 e~t2 、 e~t2 等为解释变量，建立各种方程：
e~t e~t 1 t
e~t 1e~t1 2e~t2 t
新的随机误差项 ut ut1 t
令 Y * Yt Yt1
* 0
Fra Baidu bibliotek
0 (1
)
X
* 1t
X1t
X1t1
X
* 2t
X 2t
X 2t1
估计新模型
Y*
* 0
1*
X
* 1t
* 2
X
* 2t
t
2、随机误差项相关系数 的估计
应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知 随机误差项的相关系数1, 2, … , L 。
其中AR(m)表示随机误差项的m阶自回归。在 估计过程中自动完成了ρ1、ρ2、…的迭代。
（3）杜宾（durbin）两步法
该方法仍是先估计1,2,,l，再对差分模型进
比如ρi（n）- ρi（n-1）<0.001
实践中，有时只要迭代两次，就可得到较满 意的结果。两次迭代过程也被称为科克伦-奥科 特两步法。
Eviews软件中的广义差分法
在Eview/TSP软件包下，广义差分采用了科克伦
-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估计。
在解释变量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得 到参数和ρ1、ρ2、…的估计值。
际可支配收入
假设有
n
n
n
et2
e2 t 1
et2
i2
i2
t 1
n ~et ~et1
D.W . 2(1 t2
) 2(1 )
n ~et2
t 1
其中， n e~t e~t1 n e~t2 n e~t e~t1 n e~t2
1、广义差分法
广义差分法是将原模型变换为满足OLS法 的差分模型，再进行OLS估计。
如果原模型 Yt 0 1X1t 2 X 2t ...k X kt t
存在 t t1 t t 符合经典假定
可以将原模型变换为:
（1）
（2）
Yt1 0 1X1t1 2 X 2t1 ...k X kt1 t1 （1）式-（2）式
t2
t 1
t2
t2
为一阶自回归模型 i=i-1+i 的参数估计。
如果存在完全一阶正相关，即=1，则 D.W. 0 完全一阶负相关，即= -1, 则 D.W. 4 完全不相关， 即=0，则 D.W.2
D.W检验步骤:
（1）计算DW值
（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界
大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯 性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。
例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：
Ct=0+1Yt+t t=1,2,…,n 由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中， 则可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。
空间自相关
2、模型设定的偏误
所谓模型设定偏误（Specification error）是指 所设定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢掉 了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。
实际上，人们并不知道它们的具体数值，所 以必须首先对它们进行估计。
常用的估计方法有：
• DW法 • 科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。 • 杜宾（durbin）两步法
（1）D.W.方法
n ~et ~et1
D.W . 2(1 t2
) 2(1 )
n ~et2
例如：消费函数：Ct＝Yt+Ct-1+ut 货币政策：Yt= M+Mt-1+ut u*=Ct-1+ut v*=Mt-1+ut
三、序列相关性的后果
计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用 OLS法估计模型参数，会产生下列不良后果：
1、参数估计量非有效
在一元线性模型中，参数估计量虽然具有无偏性，但仍 然不具有渐近有效性，通常会低估参数的方差（ρ>0）
2、变量的显著性检验失去意义
在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差 正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方 差性和互相独立性时才能成立。
如果存在序列相关，模型参数的估计方差 s ^ i
会被低估，从而高估t检验值，t检验就失去意义
t ˆ1 1
Sˆ1
F检验也是如此
3、模型的预测失效
自相关往往可写成如下形式：
i=i-1+i
-1<<1
其 中 ： 被 称 为 一 阶 自 相 关 系 数 （ first-order
coefficient of autocorrelation）
n
utut1
i=2
n
n
ut2
u2 t 1
i2
i2
n阶自相关 ut 1ut1 2ut2 ...nutn
第六章 序列相关性
Serial Correlation
本章主要内容
一、序列相关性概念 二、实际经济问题中的序列相关性 三、序列相关性的后果 四、序列相关性的检验 五、具有序列相关性模型的估计
一、序列相关性概念
对于模型
Yi=0+1X1i+2X2i+…+k Xki +i
随机项互不相关的经典假设为：
值dL和dU （3）比较、判断
若 0<D.W.<dL
存在正自相关
dL<D.W.<dU
不能确定
dU <D.W.<4－dU
无自相关
4－dU <D.W.<4－ dL 不能确定
4－dL <D.W.<4
存在负自相关
不
正
能
相
确
关定
无自相关
不 能负 确相 定关
0 dL dU
2
4-dU 4-dL
d值从0到2，从2到4，自相关性是在变化的，由 完全一阶正相关到无一阶自相关，再由无一阶自相 关逐步过度到存在完全一阶负相关。这里一定存在 一些临界值点作为转折。Durbin和 Watson建立了d 统计量检验的上限临界值du和下限临界值dL，他们 与样本容量及解释变量的个数有关。有了这两个临 界值之后，可以确定判断一阶自回归的区域：
正自相关区域 不能确定 不存在一阶自相关 不能确定 负自相关区域
0
dL
du
正自相关程度向 0 靠近而增加
2
4-du
4- dL
4
负自相关程度向 4 靠近而增加
五、序列相关的补救
如果模型被检验证明存在序列相关性， 则需要发展新的方法估计模型。
最常用的方法是：
广义差分法(Generalized Difference) 科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法 杜宾（durbin）两步法
t 1
^
(1
DW
)
2
把ρ代入广义差分方程，进行最小二乘 估计OLS
（2）科克伦-奥科特迭代法
例题5 1978-2001年中国国内生产总值和进口 额
首先，采用OLS法估计原模型
Yi=0+1Xi+i 得到的的“近似估计值”，并以之作为观测值
使用OLS法估计下式
i=1i-1+2i-2+Li-L+i
1985-2003年中国农村居民人均收入和消费的残 差图
3000
2500
2000
1500
200
1000
100
500
0
0
-100
-200 86 88 90 92 94 96 98 00 02
Residual
Actual
Fitted
中国上证指数2008年11月3日
二、序列相关性产生的原因
1、经济变量固有的惯性
Yt Yt1 0 (1 ) 1( X1t X1t1) 2 ( X2t X2t1) ...t t1
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的 情况下（低估），使得预测估计不准确，预测精度降低。
经典模型随机误差项的方差估计：
^
2
ei2
n2
存在自相关，
^
E( 2
)
随机误差的方
n 2 [2
差估计：
X t X t1
X
2 t
2 2
ei2
Xt Xt2
n (e~t e~t1 ) 2
D.W . t2
n e~t2
t 1
D-W检验最大优点是简单易行，它以OLS残 差为基础，而许多软件包都可以对残差进行计算。 通常，统计结果在给出t值、F值、R2值的同时， 也给出了d 值。Eviews软件用Durbin-Watson stat表示
例题4 日本工薪家庭实际消费支出与实
i 1 l,2 l, ,n
求出i新的“近拟估计值” i(2) ， 并以之作为
样本观测值，再次估计
i（2）=1i-1+2i-2+LiL+i
类似地，可进行第三次、第四次迭代
一般是事先给出一个精度，当相邻两次1,2, ,L的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。
^
E(2) 2
n1
n2
n2
^
Var(2 )
2 u
n
xt xt1
xt xt2
x1xn
[1 2
t 1 n
22
t 1 n
... 2 n1
t 1 n
]
xt2
xt2
xt2
xt2
i 1
t 1
t 1
t 1
因此，Var(ˆ2 )OLS Var(ˆ2 )AR(1)
得到 1, 2 , , l ，作为随机误差项的相关系 数 1 , 2 , , l 的第一次估计值。
Yi 1Yi1 Yl il 0 (1 ˆ1 ˆ l ) 1 ( X i ˆ1 X i1 ˆ l X il ) i
i=1,2, …,n
Cov(i , j)=0
ij, i,j=1,2, …,n
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是
不相关的，而是存在某种相关性Cov(i , j) ≠0
则认为出现了序列相关性，即ut与ut1 是相关的
例1 1985-2003年中国农村居民人均收入 和消费
序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中
……
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成 立，则说明原模型存在序列相关性。
回归检验法的优点是：（1）能够确定序列相 关的形式；（2）适用于任何类型序列相关性问 题的检验
3、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson) 于1951年提出的一种检验序列自相关的方法，该方法的 假定条件是：
例如，本来应该估计的模型为
Yt=0+1X1t+ 2X2t + 3X3t + t
但在模型设定中做了下述回归：
Yt=0+1X1t+ 1X2t + vt 因此， vt=3X3t + t，由于X3t在时间上是相关的， 则ut出现序列相关。
又如：如果真实的边际成本回归模型应为：
Yt= 0+1Xt+2Xt2+t
（1）解释变量X非随机； （2）随机误差项i为一阶自回归形式：
i=i-1+i （3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变 量，即不应出现下列形式：
Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i
（4）回归含有截距项
D.W. 统计量:
杜宾和瓦森针对原假设：H0: =0， 即不存在一 阶自回归，构如下造统计量：
Y
其中：Y=边际成本，X=产量，
但建模时设立了如下模型：
Yt= 0+1Xt+vt
X
由于vt= 2Xt2+t, ，包含了产量的平方对随机项的系 统性影响，因此Xt2的相关性就会转移到随机误差项，如 果随机项也呈现序列相关性。
3、经济变量的滞后效应
在实际经济问题中，有些变量对其他变量的影 响不仅局限在当期，而是延续若干期。因此，变 量的影响反映在误差项中，表现出序列相关性
X
2 t
23
X
Xt t3
X
2 t
...]
所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效
四、序列相关性的检验
基本思路:
序列相关性检验方法有多种，但基本思路相同：
首先，采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的 “近似估计量”，用e~i 表示：
e~i Yi (Yˆi )0ls 然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性， 以判断随机误差项是否具有序列相关性。
1、图示法
——例2美国个人实际可支配收入和个人实际消 费收入
2、回归检验法
例题3 北京市城镇居民家庭人均收入与支出
以 e~t 为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以e~t1 、 e~t2 、 e~t2 等为解释变量，建立各种方程：
e~t e~t 1 t
e~t 1e~t1 2e~t2 t
新的随机误差项 ut ut1 t
令 Y * Yt Yt1
* 0
Fra Baidu bibliotek
0 (1
)
X
* 1t
X1t
X1t1
X
* 2t
X 2t
X 2t1
估计新模型
Y*
* 0
1*
X
* 1t
* 2
X
* 2t
t
2、随机误差项相关系数 的估计
应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知 随机误差项的相关系数1, 2, … , L 。
其中AR(m)表示随机误差项的m阶自回归。在 估计过程中自动完成了ρ1、ρ2、…的迭代。
（3）杜宾（durbin）两步法
该方法仍是先估计1,2,,l，再对差分模型进
比如ρi（n）- ρi（n-1）<0.001
实践中，有时只要迭代两次，就可得到较满 意的结果。两次迭代过程也被称为科克伦-奥科 特两步法。
Eviews软件中的广义差分法
在Eview/TSP软件包下，广义差分采用了科克伦
-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估计。
在解释变量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得 到参数和ρ1、ρ2、…的估计值。
际可支配收入
假设有
n
n
n
et2
e2 t 1
et2
i2
i2
t 1
n ~et ~et1
D.W . 2(1 t2
) 2(1 )
n ~et2
t 1
其中， n e~t e~t1 n e~t2 n e~t e~t1 n e~t2
1、广义差分法
广义差分法是将原模型变换为满足OLS法 的差分模型，再进行OLS估计。
如果原模型 Yt 0 1X1t 2 X 2t ...k X kt t
存在 t t1 t t 符合经典假定
可以将原模型变换为:
（1）
（2）
Yt1 0 1X1t1 2 X 2t1 ...k X kt1 t1 （1）式-（2）式
t2
t 1
t2
t2
为一阶自回归模型 i=i-1+i 的参数估计。
如果存在完全一阶正相关，即=1，则 D.W. 0 完全一阶负相关，即= -1, 则 D.W. 4 完全不相关， 即=0，则 D.W.2
D.W检验步骤:
（1）计算DW值
（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界
大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯 性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。
例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：
Ct=0+1Yt+t t=1,2,…,n 由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中， 则可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。
空间自相关
2、模型设定的偏误
所谓模型设定偏误（Specification error）是指 所设定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢掉 了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。
实际上，人们并不知道它们的具体数值，所 以必须首先对它们进行估计。
常用的估计方法有：
• DW法 • 科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。 • 杜宾（durbin）两步法
（1）D.W.方法
n ~et ~et1
D.W . 2(1 t2
) 2(1 )
n ~et2
例如：消费函数：Ct＝Yt+Ct-1+ut 货币政策：Yt= M+Mt-1+ut u*=Ct-1+ut v*=Mt-1+ut
三、序列相关性的后果
计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用 OLS法估计模型参数，会产生下列不良后果：
1、参数估计量非有效
在一元线性模型中，参数估计量虽然具有无偏性，但仍 然不具有渐近有效性，通常会低估参数的方差（ρ>0）
2、变量的显著性检验失去意义
在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差 正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方 差性和互相独立性时才能成立。
如果存在序列相关，模型参数的估计方差 s ^ i
会被低估，从而高估t检验值，t检验就失去意义
t ˆ1 1
Sˆ1
F检验也是如此
3、模型的预测失效
自相关往往可写成如下形式：
i=i-1+i
-1<<1
其 中 ： 被 称 为 一 阶 自 相 关 系 数 （ first-order
coefficient of autocorrelation）
n
utut1
i=2
n
n
ut2
u2 t 1
i2
i2
n阶自相关 ut 1ut1 2ut2 ...nutn
第六章 序列相关性
Serial Correlation
本章主要内容
一、序列相关性概念 二、实际经济问题中的序列相关性 三、序列相关性的后果 四、序列相关性的检验 五、具有序列相关性模型的估计
一、序列相关性概念
对于模型
Yi=0+1X1i+2X2i+…+k Xki +i
随机项互不相关的经典假设为：
值dL和dU （3）比较、判断
若 0<D.W.<dL
存在正自相关
dL<D.W.<dU
不能确定
dU <D.W.<4－dU
无自相关
4－dU <D.W.<4－ dL 不能确定
4－dL <D.W.<4
存在负自相关
不
正
能
相
确
关定
无自相关
不 能负 确相 定关
0 dL dU
2
4-dU 4-dL
d值从0到2，从2到4，自相关性是在变化的，由 完全一阶正相关到无一阶自相关，再由无一阶自相 关逐步过度到存在完全一阶负相关。这里一定存在 一些临界值点作为转折。Durbin和 Watson建立了d 统计量检验的上限临界值du和下限临界值dL，他们 与样本容量及解释变量的个数有关。有了这两个临 界值之后，可以确定判断一阶自回归的区域：
正自相关区域 不能确定 不存在一阶自相关 不能确定 负自相关区域
0
dL
du
正自相关程度向 0 靠近而增加
2
4-du
4- dL
4
负自相关程度向 4 靠近而增加
五、序列相关的补救
如果模型被检验证明存在序列相关性， 则需要发展新的方法估计模型。
最常用的方法是：
广义差分法(Generalized Difference) 科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法 杜宾（durbin）两步法
t 1
^
(1
DW
)
2
把ρ代入广义差分方程，进行最小二乘 估计OLS
（2）科克伦-奥科特迭代法
例题5 1978-2001年中国国内生产总值和进口 额
首先，采用OLS法估计原模型
Yi=0+1Xi+i 得到的的“近似估计值”，并以之作为观测值
使用OLS法估计下式
i=1i-1+2i-2+Li-L+i
1985-2003年中国农村居民人均收入和消费的残 差图
3000
2500
2000
1500
200
1000
100
500
0
0
-100
-200 86 88 90 92 94 96 98 00 02
Residual
Actual
Fitted
中国上证指数2008年11月3日
二、序列相关性产生的原因
1、经济变量固有的惯性