二次函数总复习及课后作业

二次函数复习

一、 二次函数知识点

1. 二次函数的解析式三种形式

一般式 y=ax 2

+bx+c(a ≠0)

顶点式 2()y a x h k =-+

2

2

4()24b ac b y a x a

a

-=-+

交点式 12()()y a x x x x =--

2. 二次函数图像与性质

对称轴：2b x a

=-

顶点坐标：2

4(,)24b ac b a

a

--

与y 轴交点坐标（0，c ）

增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 二次函数图像画法：

勾画草图关键点：○1开口方向； ○2对称轴； ○3顶点； ○4与x 轴交点； ○5与y 轴交点。

图像平移步骤

（1）配方 2

()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）； （2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减。

二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴12

2

x x x +=

根据图像判断a,b,c的符号

（1）a ——开口方向

（2）b ——对称轴与a 左同右异

3.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

24

->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

b ac

24

-=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

b ac

24

-<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点

b ac

4.二次函数的应用

如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等

【典型例题】

题型 1 二次函数的概念

例1（基础）.二次函数2

y x x

=--+的图像的顶点坐标是（）

365

A．（-1，8） B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）

例2.（拓展）

下列命题中正确的是

○1若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3

○2若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○3当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。

○4若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。○5若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。

○6若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○7若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。○8若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。

○

9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴一定没有交点。 ○

10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。

○

11若b=0，则抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

题型2 二次函数的性质

例3 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1 y 2 D.不确定

【举一反三】

变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，

12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小

题型3 二次函数的图像

例4 如图所示，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直，若小正方形的边长为x ，且0

题型4 二次函数图像性质（共存问题、符号问题） 例5、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）

例6 已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ）

A ．2

B 3

C 、4

D 、5

题型5 二次函数的平移

例7.将抛物线2

2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2

2(1)y x =+

B ．2

2(1)y x =-

C ．2

21y x =+

D ．2

21y x =-

题型6 二次函数应用销售利润类问题

例8 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查

D

．

A C D