傅氏变换1-2节.

fT
(
)e
jn
d
e jnt
lim 1
2 n 0
n
T 2 T 2
fT
(
)e jn
d
e
jnt
n
令
FT
(n
)
T 2 T 2
fT
(
)e
jn
d
Leabharlann Baidu
f
(t )
lim
n 0
1
2
FT (n )e jnt n
n
FT (n )
T2 T 2
fT ( )ein d
f ( )ei d F ()
则 fT (t)可展开为Fourier级数:
fT (t)
cneint
cneint ,
n
n
n n 2n
T
,
cn
1 T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
即
fT
(t)
1 T
n
T 2 T 2
fT ( )e jn
d
e
jnt
.
由 lim T
fT (t)
f
(t)
12
可知
f
(t)
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin (t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周
期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内
函数变化的情况.
fT
(t)为T
周期函数，在
T 2
,T 2
上满足
Dirichlet条件：
• fT (t)连续或仅有有限个第一类间断点；
• fT (t)仅有有限个极值点
积分变换
第一章 Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
1
§1 Fourier积分公式 1.1 Recall:
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而 变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
fT
(
)e
jn
d
e jnt
当n取一切整数时,n所对应的点便均匀分
布在整个数轴上:
2
2
T
T
{ {
O 1 2 3
n-1n
令 n n1 2 T (与n无关)，T 2 0 T ,此时视n为(连续变量)
13
f
(t)
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
dt 1 T
T2 T 2
f
(t )T
eint dt
cn
n 1,2,L (cn cn )
6
合并为：cn
1 T
T 2
T 2
fT
(t)eint dt
n 0, 1, 2,L
级数化为： cneint
n
1 T n
T2 T 2
fT
(
)ein
d
eint
cn F n fT t 的离散频谱； cn fT t 的离散振幅频谱； arg cn fT t 的离散相位频谱； n . 若以fT t 描述某种信号，则cn可以刻画 fT t 的
频率特征。
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[T/2,T/2]之内等 于f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当 T时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
fT (t
0) 2
fT (t
0)
a0 2
an cos nt
n1
bn sin nt
引进复数形式：
cos nt eint eint , sin nt eint eint
2
2i
5
级数化为：
a0
2
an
n1
e int
e int 2
bn
e int
e int 2i
a0 an ibn eint an ibn eint
T
由定积分定义 f (t) 1 F ()eitd（注：积分限对称）.
2
即 f (t) 1
2
f
(
)ei
d
eit d
f t 付氏积分公式
14
定理(Fourier积分存在定理)若f (t)在任何有限区间
上满足Dirichlet条件，且在， 绝对可积，则
1
2
f
(
)ei
T=4
10
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造
一周期为8的周期函数f8(t)
f8 (t) f (t 8n), n
2
T
2
8
4
,
n
n
n
4
f8(t)
1 1
7
t
T=8
11
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
设fT
(t)为T
周期函数，在
T 2
,T 2
上满足Dirichlet条件,
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间 振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位 是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
d
eit d
f (t)
f
(t
0)
f (t
0)
2
t为连续点； t为间断点。
在(, )绝对可积是指的
|
f (t) | dt 收敛。
15
f t 付氏积分公式也可以转化为三角形式
f (t) 1
2
f
(
)e
j
d
e jt
d
1
2
f
(
)e j (t
)
d
d
1
2
则fT (t)可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT (t)
a0 2
an
n1
cos nt
bn sin nt
4
其中 2 T ,
an
2 T
T2 T 2
fT
(t)cos ntdt
n
0,1, 2,L
bn
2 T
T2 T 2
fT
(t)sin ntdt
n
1,2,L
在间断点t处成立：
2 n1 2
2
令 c0
a0 2
, cn
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则
c0
1 T
T2
T 2 fT (t)dt
cn
1 T
T2 T 2
fT (t)
cos nt i sin nt
dt
1 T
T2 T 2
f
(t )T
e int dt
dn
1 T
T2 T 2
fT (t)
cos nt isin nt
lim
T
fT (t)
f
(t)
8
例 矩形脉冲函数为
1 | t | 1 f (t) 0 | t | 1
如图所示: f (t)
1
1 o
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),
令T=4, 则
f4 (t) f (t 4n), n
2
T
2
4
2
,
n
n
n
2
f4(t)
1 1 3
t