第12章真空中静电场

dΨe E dS

S
Ψ e dΨ e S E dS
不闭合曲面：
面元的法向单位矢量可有两种相反 取向，电通量可正也可负；
闭合曲面：
规定面元的法向单位矢 量取向外为正。
E nˆ

dS
E
nˆ
nˆ
21
闭合曲面：

dΨe E dS E d S cos
规定面元的法向单位矢 量取向外为正。
3
)2
r
R
dq
d q 2r d r
P
x
x
分析方向！

2 0
[1
(R2
x

x
2
)
1 2
]
讨论：2.当 x >>R
E

R2 4 0x2

q
4 0x2
在远离带电圆面处， 相当于点电荷的场强。
讨论：1.当 x << R E 2 0
相当于无限大带电平面附近的电 场，可看成是均匀场，场强垂直于板 面，正负由电荷的符号决定。
dl r
l
L
0a
p
d Ex x

1
d Ey
dE
dE d 4 0a
d Ex d E sin
dEy dE cos( ) dE cos
12
dE d 4 0 a
dEx

4 0a
sin d
d
Ey

4 0a
cos
d
讨论：x R
E

q
4 0 x2
0
z
dE
当dq 位置发生变化时，它所激发 的电场矢量构成了一个圆锥面。
15
例: 均匀带电圆盘轴线上一点的场强。 设圆盘带电量为 q ，
半径为R。
解：
d
E

d qx 4 0(r2
x
2
)ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 2
Ex ( p)

x 2 0
R rdr
0
(r2

x2
y
2
dl r
l
L
0a
p
1
d Ey
Ey
LdEy
2 1
4 0
cos
d

4 0a
(sin 2
sin1)
Ex
Ld Ex
2 1
4 0a
sin
d

4 0a
(cos 1

cos2 )
E的大小和方向可由 Ex , Ey确定.
r
dq
dq dl


lim
l0
q l

dq dl
线密度
11
例： 计算均匀带电荷直线(棒)在任意一点 p的场强。
(已知L, > 0, a) 解: dq = dl
y
2
d
E

1
4
0

d
r2
l
l actg( )
d l acsc2 d.
r2 a2csc2.
q0
q0


E1 E2 En Ei
q2
qi
q1
7
电场强度叠加原理

E Ei
电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自
产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。
电偶极子(Electric dipole)
电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷。
电偶极子（是理论是处理电介质分子 模型）
Ex d Ex Ey d Ey Ez d Ez
E
Ex2

E
2 y

Ez2
注意：直接对dE 积分是常见的错误 一般 E dE

d q dV dq dS


lim
V 0
q V

dq dV


lim
S 0
q S

dq dS
体密度 面密度
dE P
q r2
rˆ d S
dS

q
4 0 r 2

S
dS
E

q
40r2
4r2
q
0
q+
r
S
23
（2） 任一闭合曲面S包围该电荷
在闭合曲面上任取一面积元dS，通过面元的
电场强度通量
dΨe E d S

q
4 0 r 2
rˆ
d
S

q
4 0r 2
cos
电荷
电场
电荷
2. 场的物质性体现在：
a. 力的作用, b. 电场具有能量, c. 电场具有动量。
历史上：超距作用 （不需时间、不需媒介质）。
变化的电磁场以有限的 速度（光速）传播。
场和实物是物质存在 的不同形式。
同：能量、动量、质量。
异：实物不可入性， 场可以叠加。
5
3.电场性质
(1)力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力；
1. 用一族空间曲线形象描述场强分布 电场线(electric field line)或电力线
2. 规定 方向：力线上每一点的切线方向； 定性 疏密 大小： 定量 垂直面积 规定条数
定量规定：在电场中任一点处，通过垂直于场强 E 单位 面积的电场线数等于该点电场强度的数值。

S
E
19
20
非均匀电场 任意曲面
dEx x
dE
13
讨论
Ex

4
0
a
(cos1

cos2 )
Ey

4
0
a
(sin

2
sin1)
若 L , 1 0, 2 ,
Ex

2 0 a
Ey 0
L ,
E 2 0a
无限长均匀带电直线的场强 轴对称性
14
例： 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为 q ，
S
（4）闭合曲面S内包围多个电荷q1, q2, … qk ，同时
面外也有多个电荷qk+1, qk+2, … qn .
在一个与外界没有电荷交换的 系统内，不管发生什么物理过程， 正负电荷的代数和保持不变。
物体带电量的变化是不连续 的，它只能是元电荷 e 的整数 倍,即粒子的电荷是量子化的。
q ne n 1,2,3,
e = 1.60210-19C(库仑)，为电子电量。
密立根
1923年诺贝尔物理学奖授予美 国科学家密立根，表彰他对基 本电荷和光电效应的工作。




0,
M 时,
P

E
M

0
F
+q l
F

–q
E
10
任意带电体（连续带电体)电场中的场强：
（1） 将带电体分成很多元电荷 dq,先求出它产生 的场强的大小 dE 和方向
（2）按坐标轴方向分解，求得 d Ex ,d Ey ,dEz （3） （对带电体）积分，可得总场强：
E

E

E

q
4 0r3
(r

r )

(r

r )

l
E

ql
4 0r3

Pe
4 0r3
E+
EP
P
E-
r r r

-q l q
用 l 表示从 -q 到 +q 的矢
量，定义电偶极矩为：
Pe ql
9
例: 讨论电偶极子在均匀电场中所受的作用力。
F

G
m1m2 r2
所以要和大家讲这一点，是因为所有物理和数学 最前沿的研究工作，很大一部分力量要花在猜想上； 在别的方面可能也是这样，不过我不太熟悉罢了。当 然这并不是说可以乱猜，猜必须建筑在过去的一些知 识上面，你过去的知识愈正确、愈广泛，那么猜到正 确答案的可能性就愈大。
4
§2 电场与电场强度 电场： 1. 电场概念的引入
x
d Ey d E sin
1 d sin 4 0 R
E x
d Ex



0

cos 4 0
d R

0
或者分析对称性！
E y
d Ey



0

sin 4 0
d
R
q
2 20 R2
E

q
2 20 R2
j
17
均匀带电长直线（电荷线
穿入：
,
2
dΨe 0
穿出：
0 ,
2
dΨe 0

Ψe EdS
0
穿入
穿出 E
nˆ
nˆ
通过整个封闭曲面的电通量 就等于穿出和穿入该封闭曲 面的电力线的条数之差。
22
2. 高斯定理
（1） 当点电荷在球心时
Ψe


S
E
dS


S
1
4 0

S
d S R

4R2
R
R 1

4
24
（3） 闭合曲面S不包围该电荷
闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体角
绝对值相等而符号相反。

d S2 :
0
2

d Ω2 0
E
d
d S2
d S1 :

2

dΩ1 0
d Ω d Ω1 d Ω2 0
(2)能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要 对它作功。
电场强度
从力的角度研究电场
E

F
q0
单位正电荷（检验电荷）在电 场中某点所受到的力。
它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。
电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所 受的电场力。
6
电场强度的计算
电场强度的计算
F
（1）点电荷的电场 （2）场强叠加原理和点电荷系的电场 （3）连续分布电荷的电场
半径为R。
dq
解：
d
E

dq 4 0r2
d Ex d E cos
r
R
Px
由对称性 Ey Ez 0
E

L d Ex

L
dq
4 0r2
cos
0
L
dq
x

dE
y

cos 4 0r2
L d q
R
x
E

cos q 4 0r 2

4
qx 0(R2
x2 ) 32
密度为2）长度为b，与另一均
匀带电长直线（电荷线密度为
1）共面放置，如图所示，求
该均匀带电直线受的电场力。
解：取 dx
dF Edq

1 2 0x
2
d
x
1
x
a
2
dx b
E 1 2 0a
F

ab a
1 2 0x
2
d
x

12 2 0
ln
a
b a
18
电场线
2
库仑定律, 静电力的叠加原理
4. 库仑定律
1785年，法国库仑（C.A.Coulomb)
F12

k
qq 12 r132
r12
k
q1q2 r122
rˆ12

r
F
q2
叠加性
q1
F

k
i
q0qi ri3
ri

k
i
q0qi ri2
rˆi
有理化单位制 k 1
4 0
q1
r1
q2
d
S

q
4 0
d S r2
dS dS cos
锥体的顶角
d
dS
E
是dS在垂直于电场方向的投影。
dS对电荷所在点的立体角为
d


d S r2
dΨ e

q
4 0
d
Ψe

q
4 0
d
S

q
4 0
4
q
0
q+
S
半径为单位长 度的球面S''
d
S
-q 0 +q l
场点 p
r
l << r 场点到原点距离为r
电偶极矩 (Electric dipole moment):
Pe ql
由 -q 指向 +q
8
例：求电偶极子中垂线上一点的场强
解:
E

qr
4 0r3
rˆ r r
E

qr
4 0r3
r l r r r
r2
q0
真空介电常量
0 8.85 1012 C2/(N m2 )
F2
F1

F
3
历史上的库仑实验
扬振宁：上海物理学会演讲，1978年7月6日。
我曾经把库仑的文章拿来看了一看，发现他写出
的那个公式同实验的误差达到30%以上，估计他写这个
公式，一部分是“猜”出来的。
猜测的道理是因为他已知道牛顿的公式。
S1

S2
S
Ψe

q
4 0
d Ω
S

0
d S1
q+
d

d
S cos
r2
25
26
总结
（1） 当点电荷在球心时
Ψe


S
E
d
S

q 0
（2） 任一闭合曲面S包围该点电荷
Ψe


S
E
d
S

q 0
（3）闭合曲面S不包围该点电荷

Ψ e E d S 0
q
E
q0

场点
r
点电荷的电场
源点
F

1 4 0
q0q r2
rˆ
E

F q0

1
4 0
q r2
rˆ
球对称性


Fi
F2
电场强度叠加原理和点电荷系的场强
q0

n
F F1 F2 Fn Fi
E
F

i1
F1 F2 Fn
[附录]泰勒展开：
(R2
x

x
2
)
1 2
(1
R2 x2
)

1 2
1 1 (R)2 2x
.....
16
练习：计算半径为R均匀带电量为q 的半圆环中心0点的场强。
dq d q Rd
dE

1
4 0

dq R2
R
d

o


d E
dE
y
d Ex d E cos
1 d cos 4 0 R
解:设在均匀外电场中，电偶 极子电矩的方向与场强方向 间的夹角为θ，作用在电偶极 子正负电荷上的力的大小分
别为F+ 、F-。
F F qE
电偶极子在均匀外电场 中所受的合外力
F 0
由于F+ F- 不在同一直 线上,故有力矩的作用

M l F ql E
第12章 真空中的静电场
§12.1 §12.2 §12.3 §12.4 §12.5
电荷 库仑定律 电场与电场强度 高斯定理 电势 等势面与电势梯度
作业：练习册
选择题：1—10 填空题：1—10 计算题：1— 8
1
§1 电荷 库仑定律
电荷的基本性质 1. 两种电荷 2. 电荷守恒定律 3. 电荷量子化