九年级数学一元二次方程的几种解法

练习：说出下列方程的二次项系数、一 次项系数和常数项：
（1） x2 3x 2 0. 答：a=1, b=3, c= -2.
（2） 2x2 5x 3 0.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3）3x2 5x 2. 3x2 5x 2 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4）2x 13x 2 3. 6x2 4x 3x 2 3,
解： 3x2 7,
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3 21
x1 3 , x2
21 . 3
x 22 5.
将(x-2)看作一个
整体, 开平方，得: x 2 5.
x 2 5.
即：x1 2 5, x2 2 5.
2x 22 5.
解：系数化1，得 x 22 5 ,
6x2 x 5 0.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2.
二、一元二次方程的解法
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
2
2x 22 5.
解：系数化1，得 x 22 5 ,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次2方程，得
2
x1 2 , 10
x2 2
10 .
解法1：直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0) 或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
2x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
5x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
-3x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
2
4x2 0
2 x2 5 3
xx5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x2 2 y 3 0 （不是一元方程）
2xx 3 2x2 1
去括号：2x2 6x 2x2 1
合并同类项： 6x 1.
2 x2 5 3
xx5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x2 2 y 3 0 （不是一元方程）
a
当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
解法1、直接开平方法
如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,……等等.
x2=8.
解：x 8, x 2 2.
2x2=9.
解： x2 9 ,
2
x 9, 2
x3 2, 2
32
32
x1
2 , x2
. 2
-3x2+7=0.
2xx 3 2x2 1 （不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
一元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2=0 (a≠0)
（１）化为一般形式后， （２）二次项的系数是否为0
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
1、只含一个未知数的 一元方程；
2、未知数的最高次数是2的 二次方程；
3、整式方程.
x2 5x 150 x2 5x 150 0 (x 3)2 7 x2 6x 2 0
3x2 5x 0 1 x2 1 0
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
开平方，得
x 2 5.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
x2 4x 1 0.
x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
一元二次方程的几种解法
引例
剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使 它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的 长为（x+5) cm. 根据题意，得
x（x+5)=150. 去括号，得 x2+5x=150.
第十二章 一元二次方程
12.1 用公式解一元二次方程
第一节
是判断一元二次方程的关键.
例１、方程 3xx 1 2x 2 8 是否
为一元二次方程？如果不是，说明理由； 如果是，指出它的二次项、一次项系数 及常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8. 移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３， 一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
ax2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
4x2=36,
解：x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
4x2-36=0. 解： 4x2=36,
x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
形如 ax2 c 0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c.
x2 c .
移项：将常数项移到等号一边，得 x 2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x 2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
的一元二次方程都可用直接开平方法解.
x2 4x 4 5.
x 22 5.
写成（）2 的形式，得
x2 4x 4 5.
x 22 5.
x2 4x 1.
写成（）2 的形式，得
x2 4x 4 5.
x 22 5.
x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.