2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

构造基本图形巧解含45o角的问题

本文以两道含有45o角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考.

一、试题呈现

题1(2017

年丽水中考题

)

如图

1xOy

中，直线y xm分别交

，在平面直角坐标系

x轴，y轴于A、B两点，已知点C(2,0).

(l)略;

(2)设P为线段OB的中点，连结PA，PC若CPA 45，则m的值是.

题2(2017年金华中考题)如图2，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数

k

的图象上

.作射线AB，再将射线AB绕点A按照逆时针方向旋转，交反比例函数

y45o x

的图象于点C，则点C的坐标是.

上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45o的特殊角.因此，如何利用45o角成为了解题的突破口，45o角的两边与x轴的交点都形成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法.

二、共同解法展示

1.构造“一线三等角”，利用相似三角形

丽水题解法1如图3，在y轴截取ODOC，此时PDC45，可以证得

ABP:

BP BA PDC，.

CD PD

进而得到方程m

:222m:(

m

2)，

22

解得m12.

金华题解法1如图4，过点A作等腰直角PNG，作ND NF，连结DF，易得NP NG 6，PG62.

设FN DN a，

可以证得APG:FDA，

得APDF，

PGDA

∴32a，

62a3

解得a1，

∴F(1,0).

求出AF的解析式为y3x3,

再与y 6

C点坐标为(1,6).

联列方程，得到

x

分析“一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中

看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45o的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程.

2.构造“三垂型”模型，利用全等三角形

丽水题解法2如图5，过点C作CD CP，交AP于点D，再作DE x轴，易得OPC ECD，

∴DE OC2，CEOP m

，2

m

AE OA OC CE2.

2

∵DE//OP，

∴DEAE，

OPAO

m 列出方程2:

解得m12.

m (2):m，

金华题解法 2 如图6，过点M 作MF AM ，构造如图所示的辅助线，易得

EFM DM .A

设 M 的坐标为(0,m)，

可得MD EF

2，AD

EM 3m .

因为点G 在直线y

1

x2上，可以求得点 G 的坐标为(2m

4,m)，

2 进而求得GE1 m ，GD 6 2m .

∵EF//AD ，

∴EF

GE

，列出方程2:

AD GD

(3m)

(1 m):(6 2m) ，

解得m

3 (m

3舍去).

所以点M 的坐标为(0, 3).

分析

“三垂型”模型是一个基本图形 .该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来

证明勾股定理.看到45o 角可以构造等腰直角三角形，进而形成

“三垂型”模型.

3.构造“角平分线”，运用内角平分线的性质

预备知识:如图7，

AD 是 ABC 的角平分线，则有

AB BD (证略).

AC

CD

丽水题解法 3如图8，过点P 作PD PA .

∵

APC 45，所以CP 为 APD 的角平分线，

∴

PDCD ’

PAAC ∵PD

1 ，并且求出D 的坐标( m

,0)，

PA

2

4

m

可得

1

2

4，

2

m2

解得m12.

金华题解法 3 如图9，方法同上.

分析

由于45o 是90o 的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基

本性质，45o 这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段

.

4.构造“正方形”，借用正方形旋转

预备知识:如图10，正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 和CD 上，且

EAF 45，

求证:BE

DF EF .(证略)

丽水题解法 4如图11，过点P 构造正方形OPDE .

ENDN

m ，OC

2，

4

根据预备知识得到

m 2.

CN

4

m

又∵CE 2，在 CEN 中有

2

(

m

2)

2

(m )2

(

m

2)2，

2 4 4

解得m

12.

金华题解法 4 如图12

，∵

NF

1 ，

AE

2

∴NF

3

3

2

，HG.

2

设点E 为(m,0)， 则DE

2 m ，GE

1m . 利用预备知识，

可得HE 7

m .

2

在直角 HGE 中，

(3)2

(1m)

2

(

7

m)2，

2

2

解得m1 ，得到E(1,0).

分析

“半角模型”也是一种常见的基本图形， 这类问题一般利用旋转完成，

可以得到全

等三角形，进而得到线段之间的关系.

5.构造“三角形的高”，回到匀股定理

丽水题解法 5 如图13，作CD AP ，可知

PCD 为等腰直角三角形.

由PO:AOCD:AD

1:2，

AC m2，

易得CD

5 (m2)，

5

PC

10

2).

5 (m

在Rt POC 中，利用勾股定理，得

(m )2

2

2

[

10

(m2)]2，

2

5